Báo cáo tóm tắt sáng kiến kinh nghiệm - Giới thiệu một số ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong một số ngành học

Nội dung tóm tắt: Báo cáo tóm tắt sáng kiến kinh nghiệm - Giới thiệu một số ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong một số ngành học

1. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN: GIỚI THIỆU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MA TRẬN TRONG MỘT SỐ NGÀNH HỌC 1. Những yếu tố mới và sáng tạo của sáng kiến: Sáng kiến hoàn toàn mới được áp dụng lần đầu tiên: + Giới thiệu các ứng dụng của Phươg trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học là đề tài lần đầu tiên được áp dụng trong nội bộ trường cao đẳn KTKT Kiên Giang. + Tác giả đã kết hợp dạy lý thuyết và giới thiệu ứng dụng theo ngành ngay trên lớp. + Sáng kiến là một quyển tài liệu tham khảo hoàn toán mới trong trường. 2. Hiệu quả và phạm vi áp dụng của sáng kiến - Sáng kiến đã đạt được những hiệu quả như sau: + Năm trước, tôi cũng có một đề tài nghiên cứu về ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận, nhưng không phải các ứng dụng trong các ngành nghề mà là trong đời sống, hay nói cách khác, đó là những ứng dụng vui trong đời sống để tạo sự vui nhộn và phấn khởi trong giờ dạy. Riêng đối với đề tài này, giới thiệu trực tiếp, chuyên sâu vào trong các ngành nghề, điều này không những giúp tạo sự thú vị cho các em mà còn góp phần làm cho các em tin và yêu môn học hơn, từ đó học tốt hơn. + Việc giới thiệu các ứng dụng rõ ràng là quá cần thiết và cấp bách. Thế nhưng chương trình giáo dục đại học ở nước ta đã không chú trọng nhiều đến việc này. Riêng với trường ta, tôi nghĩ, phải khác biệt, nghĩa là dạy lý thuyết phải kết hợp ngay với thực hành, ứng dụng. Và điều này phải được thực hiện ở bất cứ môn học nào từ môn chung đến môn chuyên ngành. Với ý nghĩ đó, tôi đã mạnh dạn tiên phong thực hiện đề tài này cho môn Toán cao cấp A2, với 2 chương chính là Phương trình vi phân và Ma trận. + Ở thư viện trường ta, chỉ có các giáo trình toán cao cấp rất hàn lâm, ít hoặc không có những giáo trình có ứng dụng. Trên internet cũng rất hiếm tài liệu tiếng Việt viết về ứng dụng. Cho nên, sáng kiến này sẽ là một quyển tài liệu mới mẻ, bổ ích cho các anh chị em đồng nghiệp trong và ngoài trường, cũng như là một quyển tài liệu hiếm hoi để sinh viên tự tham khảo. - Sáng kiến có thể áp dụng trong cơ quan, đơn vị và có thể nhân rộng ra ở một số đơn vị trong tỉnh: làm tài liệu hổ trợ cho các đồng nghiệp trong và ngoài trường ; làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ở ngành điện, kinh tế, nông nghiệp. 1
2. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1. Dẫn nhập - Để trả lời câu hỏi tại sao tôi lại chọn đề tài này, tôi sẽ kể một câu chuyện nhỏ: Trong một buổi lên lớp ở lớp Điện tử truyền thông CĐ9, có một em đã hỏi tôi về ứng dụng của phương trình vi phân. Hôm đó tôi dạy bài Phương trình biến số phân ly. Cuối buổi học, tôi trả lời câu hỏi của em bằng việc nêu ra ứng dụng Xác định thời gian tử vong của nạn nhân bằng phương trình làm lạnh của Newton ( đã được giới thiệu trong sáng kiến năm trước ). Sau đó, em vẫn chưa thỏa mãn, em ấy bày tỏ rằng muốn biết những ứng dụng trong ngành nghề của em hơn là những ứng dụng ngoài ngành như vậy, em ấy nói rằng: “cái này có liên quan gì ngành nghề của em đâu!” Thế là tôi ấp úng và chưa trả lời em trên lớp được. Điều ấy thúc đây tôi trở về bắt đầu nghiên cứu những ứng dụng của Phương trình vi phân trong ngành điện. - Thiết nghĩ, mong muốn biết được những ứng dụng của những điều mình học vào ngành học của mình là một mong muốn của bất cứ ai. Và như vậy thì, sinh viên ở các lớp khác cũng sẽ cần đến những ứng dụng của phương trình vi phân. Từ đó tôi tiếp tục nghiên cứu những ứng dụng của phương trình vi phân vào các ngành học khác. Song song với chương Phương trình vi phân, chương Ma trận cũng khá khó nhưng cũng có rất nhiều ứng dụng bổ ích. Trên đà tìm những ứng dụng của Phương trình vi phân, tôi nghiên cứu thêm những ứng dụng của Ma trận để góp phần hoàn thiện cho học phần Toán cao cấp A2, một môn học được cho là khó khăn và là “sát thủ” của sinh viên. - Thêm một động lực rất lớn để tôi thực hiện tiếp đề tài, đó là sắp tới đây, khoa Khoa học cơ bản sẽ soạn lại giáo trình Toán cao cấp thành Toán ứng dụng cho tất cả các ngành ( xin lưu ý, ý tưởng về đề tài xuất hiện trước khi có kế hoạch về giáo trình Toán ứng dụng, và trong khoảng thời gian tác giả đang viết đề tài thì kế hoạch về giáo trình Toán ứng dụng mới được đưa ra ). Do đó, tôi hi vọng việc nghiên cứu đề tài này sẽ cống hiến được nhiều ứng dụng cho cuốn giáo trình Toán ứng dụng trong tương lai. Như vậy, việc đi tìm những ứng dụng của các nội dung trong học phần Toán cao cấp nói chung, Phương trình vi phân và Ma trận nói riêng, đang là vấn đề quan trọng và cấp bách. Việc này, không những góp phần tạo sinh động cho từng bài học trên lớp với những ứng dụng thú vị cho từng nội dung, làm sinh viên hứng thú với từng vấn đề mà các em được học, mà còn góp phần làm thay đổi sắc diện của một môn học khô khó trở thành một môn học gần gũi và đáng yêu hơn bao giờ hết trong một tương lai tươi sáng không xa. 2. Những khó khăn - Như trên, tôi đã nêu ra một số những vấn đề khó khăn thúc đẩy tôi viết đề tài này. 2
3. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học - Thêm nữa, trong quá trình tìm kiếm tài liệu phục vụ cho đề tài, tôi nhận thấy có ít tài liệu tiếngViệt viết về ứng dụng của phương trình vi phân, nếu có cũng còn nhiều tài liệu sơ xài. Do đó cần thiết phải có một tài liệu tham khảo tiếng Việt đầy đủ và chi tiết hơn. Để trước hết là làm tài liệu hỗ trợ trong quá trình lên lớp của GV toán trong và ngoài trường. Sau đó sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên tự nghiên cứu. - Bước đầu tiên trong kế hoạch viết sáng kiến của tôi là giao đề tài làm việc nhóm về nhà cho sinh viên, với yêu cầu tìm các ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong ngành nghề các em đang học. Sau đó trong buổi thảo luận đề tài trên lớp ( buổi này là sắp xếp riêng với lớp, không có trong lịch trình ) sẽ chỉnh sữa và bổ sung cho các em thêm các ứng dụng trong sáng kiến của tôi. Đồng thời có thể thu nạp thêm những ứng dụng hay của sinh viên vào sáng kiến của mình. Tuy nhiên hầu hết các bài làm của nhóm đều viết sơ xài và chưa chi tiết (chỉ đề cập đến những vấn đề chung chung, được giới thiệu đôi nét trên trang wikipedia, xem hình bên dưới ). Một trong những nguyên nhân chính các em cho biết là do không tìm được tài liệu thấu đáo để tự nghiên cứu. Nói tóm lại, với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học”. Với 3 mục tiêu: Thứ nhất, bản thân có thể sử dụng các ứng dụng đã được trình bày trong sáng kiến để giới thiệu cho sinh viên từng ngành trong quá trình lên lớp, góp phần tạo bài giảng sinh động hơn, giúp các em yêu môn Toán A2 hơn, yêu ngành nghề của mình hơn. Thứ 2, hi vọng sáng kiến có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích cho anh chị em đồng nghiệp trong và 3
4. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học ngoài trường. Thứ 3, đề tài sẽ góp phần vào công cuộc xây dựng giáo trình Toán ứng dụng cho Khoa Khoa học cơ bản, trường cao đẳng kinh tế kỹ thuật Kiên Giang, mà nếu thành công thì đối với tôi, tôi xem như đây là một cuốn giáo trình tuyệt vời nhất về Toán cao cấp ở Việt Nam. 3. Những giải pháp khắc phục khó khăn 3.1. Các bước thực hiện: Để thực hiện đề tài này, các công đoạn tôi sẽ tiến hành như sau: + Đầu tiên, tôi tìm kiếm tài liệu trên Internet, sách, báo và tham khảo ý kiến từ các người thầy, là các tiến sĩ dạy cao học của tôi; đồng thời tham khảo một số kiến thức chuyên môn của các giáo viên khác (tương ứng với từng ngành tôi nghiên cứu) ở trong và ngoài trường. + Đọc và dịch những tài liệu đã thu thập được. Sau đó phân tích, tổng hợp và viết lại cho hoàn chỉnh (gồm có hai file: file word cho sáng kiến và file trình chiếu powerpoint dùng để giới thiệu cho sinh viên khi lên lớp). + Giao đề tài cho các nhóm về tự nghiên cứu và viết thành bài báo cáo. + Tổ chức một buổi để chỉnh sửa các bài làm của nhóm, đồng thời giới thiệu (bằng việc trình chiếu và diễn giải) một số ứng dụng tiêu biểu của sáng kiến đến sinh viên. 3.2. Nội dung hoàn chỉnh của các ứng dụng: I. Một số ứng dụng trong ngành Điện, Điện tử truyền thông: 1. Ứng dụng của phương trình vi phân Phương trình vi phân được ứng dụng bên ngành điện trong việc giải mạch điện, nghĩa là tìm các đại lượng dòng điện i và điện áp u trong một mạch. Với dòng điện và điện áp là những hàm số biến thiên theo ẩn số thời gian t. Sau đây là một số bài toán minh họa: Bài toán 1: Cho mạch điện gồm điện trở R = 12  , cuộn cảm L = 4H, một nguồn điện với hiệu điện thế E = 60V và một khóa K. Khóa K đóng khi t = 0, dòng điện trong mạch bằng 0, nghĩa là i(0) = 0. Tìm: R 12 L 4 a) Hàm dòng điện theo thời gian i(t). b) Dòng điện sau khi đóng mạch được 1s. + c) Giá trị giới hạn của dòng điện này. E 60 4 K
5. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học d) Thay nguồn điện bằng máy phát điện với hiệu điện thế E 60sin 30tV . Tìm i(t). Giải: a) Chọn chiều vòng là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Theo định luật Kirchhoff 2 ta có: U L U R E Li' Ri E (*) 4i' 12i 60 i' 3i 15 ( với i là hàm số theo t ) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ( cách giải phương trình này sinh viên khối ngành kỹ thuật đã được học trong học phần Toán cao cấp A2). Bây giờ chúng ta đi tìm nghiệm, nghĩa là tìm hàm i(t), cho phương trình vi phân này. Ta biết, công thức nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 là: 3dt i e 15e3t dt C e 3t 5e3t C 5 Ce 3t Vì i(0) 0 nên ta có: 0 5 Ce 0 C 5 Vậy: i(t) 5(1 e 3t ) b) Sau khi đóng mạch 1s thì dòng điện trong mạch là: i(1) 5(1 e 3 ) 4,75A c) Giới hạn của dòng điện là: lim i(t) lim 5(1 e 3t ) 5A t t d) Khi E 60sin30t(V), ta có: (*) 4i' 12i 60sin30t i' 3i 15sin30t Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 này là: 3dt 3dt 3t 3t i e 15sin 30t.e dt C e 15sin 30t.e dt C (1) Ta giải tích phân J 15sin 30t.e3t dt bằng phương pháp tích phân từng phần: du 3e3t dt u e3t Đặt 1 dv 15sin 30tdt v cos30t 2 1 3 1 Suy ra: J cos30t.e3t cos30t.e3t dt cos30t.e3t J (2) 2 2 2 1 5
6. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học 3 Tiếp tục từng phần một lần nữa cho tích phân J cos30t.e3t dt 1 2 u e3t du 3e3t dt 1 1 Đặt 3 1 dv1 cos30tdt v1 sin 30t 2 20 1 3 1 J Suy ra J sin 30t.e3t sin 30te3t dt sin 30t.e3t , thay vào (2), ta có: 1 20 20 20 100 1 1 J J cos30t.e3t sin 30t.e3t 2 20 100 1 1 100 cos30t.e3t sin 30t.e3t 2 20 50 5 J cos30t.e3t sin 30t.e3t 101 101 101 Thay J vào (1) ta được: 50 5 i e 3t cos30t.e3t sin 30t.e3t C 101 101 50 5 cos30t sin 30t Ce 3t 101 101 5 sin 30t 10cos30t Ce 3t 101 5 10 Vì i(0) 0 nên ta có: 0 (sin 0 10cos0) Ce 0 C 101 101 5 50 Vậy: i sin 30t 10cos30t e 3t 101 101 Nguồn tham khảo: 1) Trang web: khoacoban.tnut.edu.vn/download/ /Giai%20tich%202%202014%20Chuong%205.p 2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications của tác giả Bill Good Wine, xuất bản ngày 19/3/2008 Bài toán 2: Cho mạch điện gồm một điện trở R = 40 L R  , cuộn cảm L = 1H, tụ điện C = 16.10-4 F, một nguồn điện E = 100cos10t V, và một khóa K. + E 6 K C
7. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học Ta biết điện dung và dòng điện trong mạch là những hàm số theo thời gian t, nghĩa là i(t) và q(t). Trong đó, dòng điện i(t) là tốc độ thay đổi của q(t): i = q’. Cho biết thêm, khi K đóng ( thời điểm t = 0 ) thì dòng điện và điện dung trong mạch bằng 0, nghĩa là i(0) = 0 và q(0) = 0. Hãy tìm các hàm số i(t) và q(t)? Giải: Chọn chiều vòng là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Theo định luật Kirchhoff 2 ta có: q U U U E Li' Ri E L R C C 1 Mà i = q’ nên ta có Lq" Rq' q E q" 40q' 625q 100cos10t (*) C Phương trình (*) là phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất hệ số không đổi ( cách giải phương trình này sinh viên khối ngành kỹ thuật đã được học trong học phần Toán cao cấp A2 ). Giờ ta giải phương trình tìm nghiệm q(t). 2 r 20 15i Phương trình đặc trưng: r 40r 625 0 r 20 15i 20t Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: q0 e (C1 cos15t C2 sin15t) Giờ ta đi tìm nghiệm riêng Q của phương trình (*): Do vế phải f(t) = 100cos10t và 15i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của (*) có dạng: Q Acos10t Bsin10t Suy ra Q' 10Asin10t 10Bcos10t Q" 100Acos10t 100Bsin10t . Thay vào (*), ta được: 100Acos10t 100Bsin10t 40( 10Asin10t 10Bcos10t) 625(Acos10t Bsin10t) 100cos10t (525A 400B)cos10t (525B 400A)sin10t 100cos10t 525A 400B 100 A 84/ 697 525B 400A 0 B 64/ 697 84 64 Suy ra: Q cos10t sin10t 697 697 Vậy nghiệm tổng quát của (*): 7
8. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học 84 64 q(t) q Q e 20t (C cos15t C sin15t) cos10t sin10t 0 1 2 697 697 Suy ra: i(t) q'(t) 840 640 e 20t ( 2oC 15C )cos15t ( 15C 20C )sin15t sin10t cos10t 1 2 1 2 697 697 84 464 Vì q(0) = 0 và i(0) = 0 nên ta tìm được C ;C 1 697 2 2091 Tóm lại ta tìm được: 84 464 84 64 q(t) e 20t ( cos15t sin15t) cos10t sin10t 697 2091 697 697 20t 640 13060 840 640 i(t) e cos15t sin15t sin10t cos10t 697 2091 697 697 Nguồn tham khảo: 1) Trang web: khoacoban.tnut.edu.vn/download/ /Giai%20tich%202%202014%20Chuong%206.p 2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications của tác giả Bill Good Wine, xuất bản ngày 19/3/2008 2. Ứng dụng của ma trận Ma trận cũng được ứng dụng trong việc giải mạch điện, khi trong mạch có nhiều phần tử. Khi đó ta cần tìm dòng điện đi qua nhiều nhánh. Ta xét các bài toán sau: Bài toán 3: Xét mạch điện gồm hai nguồn E1 = 70V; E2= 45V và sáu điện trở R1 10, R2 30, R3 15, R4 20, i R5 25,R6 35 . 1 A i2 R1 R2 Cho chiều các dòng điện như hình vẽ. i3 + R3 Hãy tìm i1,i2 ,i3 ,i4 ,i5 ,i6 ? + I II E2 E1 Giải: R6 R5 C D B Trong mạch điện trên, ta thấy có 6 nhánh i i (tương ứng cho 6 dòng điện i được kí hiệu 6 III 5 i4 8 R4
9. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học trong hình); 4 nút được kí hiệu là A, B, C, D như hình. Theo phương pháp dòng điện nhánh, ta có thể lập được 3 phương trình ( tại 3 nút nào đó ) theo định luật Kirchhoff 1, và 3 phương trình ( cho 3 vòng nào đó ) theo Kirchhoff 2. Cụ thể: Tại nút A: i1 i2 i3 0 (1) Tại nút B: i3 i6 i5 0 (2) Tại nút C: i1 i4 i6 0 i1 i4 i6 0 (3) Vòng I: u1 u3 u6 E1 R1i1 R3i3 R6i6 E1 10i1 15i3 35i6 70 (4) Vòng II: u2 u3 u5 E2 R2i2 R3i3 R5i5 E2 30i2 15i3 25i5 45 (5) Vòng III: u4 u5 u6 0 R4i4 R5i5 R6i6 0 20i4 25i5 35i6 0 (6) Từ các phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta có hệ phương trình tuyến tính: i1 i2 i3 0 i i i 0 3 6 5 i1 i4 i6 0 10i1 15i3 35i6 70 30i 15i 25i 45 2 3 5 20i4 25i5 35i6 0 Để giải hệ phương trình này một cách hiệu quả, chúng ta sẽ sử dụng công cụ ma trận và phương pháp khử Gauss ( cách giải này sinh viên các khối ngành kỹ thuật được học trong học phần Toán cao cấp A2 ). Công việc được tiến hành như sau: Ma trận bổ sung: 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 d : d d 1 0 0 1 0 1 0 3 3 1 0 1 1 1 0 1 0 d4: d4 10d1 10 0 15 0 0 35 70 0 10 25 0 0 35 70 0 30 15 0 25 0 45 0 30 15 0 25 0 45 0 0 0 20 25 35 0 0 0 0 20 25 35 0 9
10. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 d : d 10d 0 0 1 0 1 1 0 4 4 2 0 0 1 0 1 1 0 d2 d3 d5: d5 30d2 0 10 25 0 0 35 70 0 0 15 10 0 45 70 0 30 15 0 25 0 45 0 0 45 30 25 30 45 0 0 0 20 25 35 0 0 0 0 20 25 35 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 d : d 15d d : d 3d 4 4 3 0 0 1 0 1 1 0 5 5 4 0 0 1 0 1 1 0 d5: d5 45d3 d6: d6 2d4 0 0 0 10 15 60 70 0 0 0 10 15 60 70 0 0 0 30 70 15 45 0 0 0 0 115 195 255 0 0 0 20 25 35 0 0 0 0 0 5 155 140 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 d6: 23d6 d5 0 0 0 10 15 60 70 0 0 0 0 115 195 255 0 0 0 0 0 3370 2965 Từ ma trận cuối cùng ta thu được hệ: 1769 i 1,31A 1 1348 i1 i2 i3 395 i i i 0 i2 i3 i4 i6 i2 0,3A 1 2 3 1348 i i i i 0 i3 i5 i6 2 3 4 6 541 i 1,61A 15i 60i 70 3 i3 i5 i6 0 i 5 6 337 4 10 10i4 15i5 60i6 70 853 195i 255 i4 0,63A 6 1348 115i5 195i6 255 i5 115 489 3370i6 2965 i 0,73A 593 5 674 i6 674 593 i 0,88A 6 674 Nguồn thàm khảo: Giáo trình Mạch điện của Khoa điện, bộ môn cung cấp điện của trường cao đẳng nghề Quy Nhơn. Bài toán 4: Cho mạch điện gồm: 10
11. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học i R1 R2 8, R3 3,125 i1 A 2 1 L 6 i C 3 R2 R1 R3 0 0 E1 50 2 sin(t 45 ),E2 50 2 sin(t 135 ) Hãy tìm các dòng điện i ,i ,i ? 1 2 3 C L I II Giải: + Chiều dòng điện trong các nhánh được chọn + E2 như hình, và chiều vòng là chiều cùng chiều E1 kim đồng hồ. Đầu tiên ta biểu diễn nguồn và các phần tử tải về dạng số phức, ta được: B E1 35,4 35,4 j E2 35,4 35,4 j Z1 R1 jL 8 6 j 1 Z R j 8 6 j 2 2 C Z 3 R3 3,125 Dễ thấy trong mạch có 2 nút và 3 nhánh. Theo phương pháp dòng điện nhánh ta sẽ lập được 1 phương trình (tại 1 nút nào đó) theo định luật Kirchhoff 1, và 2 phương trình ( theo 2 vòng nào đó ) theo Kirchhoff 2. Cụ thể như sau: Tại nút A: i1 i2 i3 0 (1) Vòng I: i1Z 1 i3Z3 E1 (8 6 j)i1 3,125i3 35,4 35,4 j (2) Vòng II: i2Z 2 i3Z3 E2 (8 6 j)i2 3,125i3 35,4 35,4 j ( 8 6 j)i2 3,125i3 35,4 35,4 j (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: i1 i2 i3 0 (8 6 j)i1 3,125i3 35,4 35,4 j ( 8 6 j)i2 3,125i3 35,4 35,4 j Ta sẽ giải hệ phương trình bằng công cụ định thức của ma trận. 11
12. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học 1 1 1 8 6 j 0 3,125 150 0 8 6 j 3,125 Vì 0 nên hệ phương trình trên là hệ Cramer ( cách giải hệ này sinh viên khối ngành kỹ thuật được học trong học phần Toán cao cấp A2 ). Để giải hệ này ta tính tiếp các định thức còn lại: 0 1 1 1 34,5 34,5 j 0 3,125 716,8 292 j 34,5 34,5 j 8 6 j 3,125 1 0 1 2 8 6 j 34,5 34,5 j 3,125 292 716,8 j 0 34,5 34,5 j 3,125 1 1 0 3 8 6 j 0 34,5 34,5 j 414 414 j 0 8 6 j 34,5 34,5 j Nghiệm của hệ là: 716,8 292 j i 1 4,78 1,95 j 1 150 292 716,8 j i 2 1,95 4,78 j 2 150 414 414 j i 3 2,67 2,67 j 3 150 Suy ra: 2 2 i1 4,78 1,95 5,16A 2 2 i2 ( 1,95) ( 4,78) 5,16A 2 2 i3 2,67 ( 2,67) 3,78A Nguồn tham khảo: Trang web: www.hnue.edu.vn/ /a50457d5-8cad-49d3-9285-713b8b55fa97Bai-giang Ky-thua II. Một số ứng dụng trong kinh tế 1. Bài toán tìm vốn tích trữ khi biết cường độ đầu tư: 12
13. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học Bài toán 5: Vào tháng 01/2016, ông A có đầu tư số vốn 10000 USD vào công ty X, với cường độ đầu tư: i(t) 3 t . Hỏi đến tháng 03/2016, số vốn tích trữ của ông A trong công ty X là bao nhiêu? Số vốn tích trữ là hàm số theo thời gian t ( đơn vị là tháng ), gọi là k(t). Phương trình vi phân biểu diễn mối quan hệ giữa vốn tích trữ và cường độ tích trữ là: dk dk i(t) 3 t dk 3 tdt dk 3 tdt k(t) 2t 3/ 2 C dt dt Xem tháng 01/2016 là mốc thời gian t = 0, ta có: k(0) 10000 C 10000 Vậy hàm vốn tích trữ: k(t) 2t 3/ 2 10000 Vào tháng 03/2016, nghĩa là t = 2, thì vốn tích trữ của ông A trong công ty X là: k(2) 2.23/ 2 10000 10005.6USD 2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá được báo trước Bài toán 6: Xét mô hình thị trường về giá của một loại hàng hóa như sau: Qd 40 2P 2P' P" Qs 5 3P Qd Qs Với điều kiện ban đầu là P(0) 12,P'(0) 1. Tìm hàm giá cả theo thời gian P(t) và cho biết giá cân bằng P có ổn định động hay không? Giải: Từ hệ phương trình mô hình ở trên, ta có: 40 2P 2P' P" 5 3P P" 2P' 5P 45 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất hệ số không đổi. Giờ ta đi giải phương trình tìm nghiệm tổng quát P(t): Phương trình đặc trưng: r 2 2r 5 0 r 1 2i 13
14. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học t Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: P0 e (C1 cos2t C2 sin 2t) Dễ thấy nghiệm riêng P của phương trình không thuần nhất là P = P 9 t Suy ra: P(t) P P0 9 e (C1 cos2t C2 sin 2t) t t Suy ra: P' e (C1 cos2t C2 sin 2t) e ( 2C1 sin 2t 2C2 cos2t) P(0) 12 9 C1 12 C1 3 Cho điều kiện ban đầu: P'(0) 1 C1 2C2 1 C2 6 Vậy cuối cùng ta có hàm: P(t) 9 e t (3cos2t 6sin 2t) Ta có: lim P(t) lim [9 e t (3cos2t 6sin 2t)] 9 P t t Cho nên giá cân bằng P có tính ổn định động. Nguồn tham khảo: Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế, của TS Nguyễn Hải Thanh, trường đại học nông nghiệp hà nội, 2008. 3. Bài toán tính lãi suất ngân hàng Bài toán 7: Một người gửi 1000 USD trong tài khoản tiết kiệm với lãi xuất 1,1% mỗi năm. Giả sử cứ mỗi tuần người đó được gửi tự động vào tài khoản tiết kiệm 20$. Tính tổng số tiền gửi sau 5 năm. Giải: a) Giả sử một năm có 52 tuần và số tiền gởi là liên tục, khi đó ta có phương trình vi phân biểu diễn hàm tiền gởi theo thời gian t năm: dP 0,011P 1040 P' 0,011P 1040 dt Với 1040 là số tiền được cộng vào tài khoản mỗi năm. Ta thấy phương trình vi phân trên là phương trình tuyến tính cấp 1. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là : ( 0,011)dt ( 0,011)dt 0,011t 0,011t P(t) e 1040.e dt C e 1040.e dt C 1040000 1040000 e0,011t e 0,011t C Ce 0,011t 11 11 14
15. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học Vì ban đầu ( t = 0 ) tài khoản là 1000$, nghĩa là P(0) = 1000 1040000 1040000 1051000 Ce 0 1000 C 1000 95545,45455 11 11 11 1040000 P(t) 95545,45455.e0,011t Vậy : 11 Để tìm tổng số tiền gửi sau 5 năm, ta tính giá trị của P(5) và nhận được: 1040000 P(5) 95545,45455.e0,011.5 6402,2 USD 11 Nguồn tham khảo: Trang 125 trong sách Differential Equation – Blanchard-Devaney- Hall 4. Mô hình input – output mở Leontief: Ma trận được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, nó được xem như một công cụ để lưu giữ các số liệu một cách gọn nhẹ, hơn nữa, bằng việc ứng dụng nó để giải các hệ phương trình trong kinh tế, sẽ làm cho các bài toán trong kinh tế trở nên dễ dàng hơn. Sau đây ta xét một bài toán mô hình input – out put mở Leontief: Bài toán 8: Cho biết ma trận vào ra của 3 ngành kinh tế: 0,3 0,1 0,1 A 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 0,2 a) Nói ý nghĩa kinh tế của phần tử a23 trong ma trận A? Ý nghĩa kinh tế của cột đầu tiên của ma trận A? b) Tìm giá trị sản lượng của 3 ngành, nếu ngành mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung cấp cho nó những lượng sản phẩm tương ứng 70, 100, 30? Giải: a) a23 0,3 . Con số này có nghĩa là ngành 2 cần cung cấp 0,3 đơn vị nguyên liệu để sản xuất được 1 đơn vị sản phẩm cho ngành 3. 15
16. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học Cột đầu tiên của ma trận A là a11 0,3;a21 0,1;a31 0,2 . Cột này có nghĩa là để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm cho ngành 1 thì cần 0,3 đơn vị nguyên liệu của ngành 1; 0,1 đơn vị nguyên liệu của ngành 2; 0,2 đơn vị nguyên liệu của ngành 3. 70 x 1 b) Ma trận cầu B 100 ; ma trận sản xuất X x2 30 x3 Ta có hệ phương trình dạng ma trận: X (I A) 1.B Do các ma trận này là các ma trận vuông có cấp là 3, nên ta có thể sử dụng máy tính 89,75 casio để tìm mà trận X. Kết quả là: X 92,95 . Nghĩa là cần sản xuất 89,75 đơn vị sản 77,3 phẩm ngành 1; 92,95 đơn vị sản phẩm ngành 2; 77,3 đơn vị sản phẩm cho ngành 3. Nguồn tham khảo: Trang web: 1) 2) III. Một số ứng dụng trong ngành nông nghiệp 1. Mô hình toán học cho việc quản lý nguồn cá hiệu quả: Trong những năm gần đây, vì rất khó tìm được nguồn thủy sản nên chi phí đánh bắt cá ngày càng tốn kém hơn. Và tất nhiên điều này là do đánh bắt quá mức và việc nuôi trồng thủy sản không đủ đáp ứng nhu cầu. Cá là một trong những nguồn protein tốt nhất mà chúng ta có được từ thiên nhiên và omega 3 có thể cải thiện được lượng cholesterol trong cơ thể con người. Chúng ta có thể tiến đến một ngành công nghiệp đánh bắt thủy sản bền vững với kế hoạch thích hợp và hạn ngạch được thực hiện nghiêm túc. Một cách để đat được kế hoạch tốt là đưa ra mô hình quản lý gồm các yếu tố đầu vào ( thực phẩm có sẵn, tỷ lệ con giống, nhiệt độ nước, chất gây ô nhiễm, thời tiết, ) và các kết quả đầu ra ( hao hụt tự nhiên, đánh bắt cá thương mại, ô nhiễm công nghiệp ). Mô hình này có thể thực hiện được bằng các phương trình vi phân. Phương trình vi phân này liên quan đến tỷ lệ thời gian tức thời việc thay đổi thời hạn khai thác, trong đó x là trữ lượng cá ở biển, và t là thời gian ( theo tháng hoặc năm ). Được xây dựng trong mỗi phương trình nguồn cá là thành phần dương ( tăng trưởng ) (phụ thuộc vào nguồn cung cấp thực 16
17. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học phẩm, tỷ lệ chăn nuôi, ), và một thành phần âm (ức chế) ( do giới hạn về thực phẩm sẵn có, ). Dưới đây là một ví dụ rất đơn giản của một mô hình cho số lượng cá dự kiến trong một khu vực cụ thể giới hạn bởi một số ranh giới địa lý cố định ( như một vịnh, cửa biển, ) dx x(1 kx) dt Bài toán 9: Một cửa vịnh có nguồn cá trữ lượng ban đầu là 0,5 ( đơn vị là 100000 tấn ), sau một năm người ta có số liệu là 1,268. a) Viết và giải phương trình vi phân mô phỏng. b) Dự báo trữ lượng cá vào năm thứ 4. Khi nào thì nguồn thủy sản tại khu vực này bảo hòa. Giải: a) Từ phương trình: dx dx dx x(1 kx) dt dt dt x(1 kx) x(1 kx) x 1 ln t C x(t) kx 1 k Ce t 1 Với t 0; x(0) 0,5 0,5 k C 1 Với t 1; x(1) 01,268 1,268 k Ce 1 k 0,8366228569;C 1,916337714 1 12 Khi đó: x(t) 0,8366228569 1,916337714e t 1 23e t b) dự báo trữ lượng cá vào năm thứ 4: Thay t = 4 vào x(t), tìm được x(4) 8,443 (100000 tấn) Để tìm thời điểm khu vực này bảo hòa nguồn trữ lượng thủy sản dựa vào đồ thị x(t) ta tính giới hạn: 17
18. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học 12 lim x(t) lim t 12 t t0 t t0 1 23e Vậy thời điểm bảo hòa khoảng t = 10 đến t = 11 (năm). Nguồn tham khảo: Trang 549 – 8.STEWART Calculus Concepts and Contexts 2. Bài toán dự báo phát triển dịch bệnh Phương trình vi phân có thể dùng để dự báo sự phát triển của vật nuôi, vi khuẩn đang chịu tác động bởi các yếu tố khách quan. Hàm số logistic mô tả một thành phần tác động và một thành phần ngăn cản, có thể dùng để dự báo tốc độ sự phát triển của dịch bệnh. Gọi N = N(t) là số vật nuôi bị nhiễm bệnh tại thời điể t, P là tổng vật nuôi ( hằng số ); c là hằng số phát triển. Ta có phương trình vi phân mô phỏng sau: dN cPN cN 2 dt Bài toán 10: Giả sử một trang trại chăn nuôi gà có 50000 con đang nhiễm H5N1. Virus do 100 con nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu và thống kê cho thấy có 1000 con mắc bệnh sau 10 tuần. a) Viết phương trình vi phân mô tả và giải phương trình này. b) Dự báo xem bao lâu thì nửa số gà trong trang trại sẽ mắc phải H5N1. Giải: a) Phương trình vi phân mô tả: dN dN dN 50000PN cN 2 dt dt dt 50000cN cN 2 50000cN cN 2 ln N ln | 50000 N | t K 50000c 50000 Hay N(t) 1 50000Ke 50000ct 18
19. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học 50000 499 Thay t 0, N(0) 1 0 0, ta có phương trình: 100 K 1 50000C 50000 50000 50000 Suy ra N(t) 499 50000ct 1 50000 e 50000ct 1 499e 50000 Thay t 10, N(10) 1000 , ta có phương trình: 50000 1 1000 c 0,46416e 5 1 499e 50000.10c 500000ln(49 / 499) 50000 Vậy N(t) 1 499e 0,232080 t b) Dựa vào hàm N(t), giải phương trình N(t) = 25000 tìm t: 50000 1 25000 e 0,232080t t 26,76924 27 tuần 1 499e 0,232080t 499 Nguồn tham khảo: Trang 559 - STERWART “calculus Concepts and Contexts” - 17. One model for the spread of an epidemic. 4. Kết quả thực hiện - Đề tài đã giới thiệu được 10 bài toán ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong 3 ngành nghề điện, điện tử truyền thông (tác giả gọp 2 ngành này lại thành 1 ngành vì chúng giống nhau về các ứng dụng được trình bày), kinh tế, và nông nghiệp. Những ứng dụng được trình kỹ các bước làm cụ thể để người đọc thuận tiện trong quá trình tham khảo sáng kiến. - Các bài toán được đưa ra có mức độ vừa sức với sinh viên ngành cao đẳng. Hơn thế các bài toán đều đưa đến việc giải một vấn đề (có thể là một phương trình vi phân cấp 1 hoặc cấp 2, có thể là giải một hệ phương trình, có thể là nhân hai ma trận), mà tất cả đều đã được học trong môn Toán cao cấp A2. Do đó, có thể đan xen chúng làm ngay phần ví dụ, phần bài tập trong từng nội dung cụ thể trong từng buổi lên lớp. - Sau khi giới thiệu một số ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận cho các em sinh viên (học kỳ này tôi chỉ tiến hành ở lớp ĐTTT cao đẳng 9). Các em đã có phản 19
20. Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học hồi rất tốt. Các em tập trung theo dõi, đặt ra nhiều câu hỏi, thể hiện sự quan tâm của các em về nội dung mình đang học hơn. 5. Kết luận - Trên đây, tôi đã trình bày những khó khăn, cấp bách thúc đẩy tôi lựa chọn đề tài “ Giới thiệu một số ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong một số ngành học” cho sáng kiến kinh nghiệm của mình; quá trình tôi viết sáng kiến và những kết quả đạt được sau sáng kiến được hoàn thành. Tôi cũng đã áp dụng với lớp ĐTTT-CĐ9 (giới thiệu các ứng dụng cho lớp), và thu được sự quan tâm khá sâu sắc của sinh viên về Phương trình vi phân và ma trận, 2 nội dung mà các em dường như bàng quang và sợ hải rất nhiều trước đó. Từ đó, tôi có thể rút ra kết luận rằng, một khi giáo viên giới thiệu được các ứng dụng chuyên ngành vào từng bài dạy, sinh viên sẽ cảm thấy hứng thú hơn và từ đó sẽ học tốt hơn. - Bên cạnh những kết quả đạt được, đề tài cũng còn một số hạn chế: chưa giới thiệu được các ứng dụng trong nhiều ngành còn lại. Đồng thời, trong cách triển khai các ứng dụng đến sinh viên, cũng có một số mặt hạn chế: chưa đan xen được từng ứng dụng vào từng bài học, từng nội dung cụ thể, điều này là do đề tài chỉ mới thực hiện rất gấp rút và mới hoàn thành trong học kỳ này, nên chưa kịp giới thiệu theo cách như vậy đến sinh viên, mà như đã nói, chỉ tổ chức một buổi riêng và giới thiệu toàn bộ các ứng dụng trong chỉ một buổi đó. Điều này sẽ được giải quyết dễ dàng vì sẽ được giới thiệu đan xen vào các buổi học ở những học kỳ sau và có thể đưa vào giáo trình Toán ứng dụng theo cách như vậy, nghĩa là các ứng dụng sẽ được giới thiệu ngay trong phần nội dung bài học trên lớp. Một hạn chế nữa là chỉ mới giới thiệu đến một lớp, đó là lớp ĐTTT-CĐ9 cũng do quá gấp rút và tác giả sẽ triển khai rộng ở các lớp còn lại trong các học kỳ sau. 20