Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về căn thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về căn thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh

1. Mã số -Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về căn thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh” - Lĩnh vực áp dụng: Lĩnh vực tự nhiên - Họ tên tác giả: : Nguyễn Thị Lụa - Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Tân Phong Tháng 1năm 2019 1
2. Họ tên, chữ ký người chấm điểm Điểm Mã số Người số 1: . Người số 2: . -Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về căn thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh” -Mô tả sáng kiến: +Nội dung của sáng kiến: *Thực trạng: . Khái niệm về căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục được sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Trong chương I- Đại số lớp 9 Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi, thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích như: điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, các phép biến đổi đơn giản biểu thức có chứa các căn thức bậc hai). Qua tình thực tế tại đơn vị mình tôi nhận thấy việc giải toán của HS về căn bậc hai rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, các công thức toán học. Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt, khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong chương I đại số 9 thì người thầy phải biết được các sai lầm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án giúp học sinh phát hiện và sửa chữa những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai. Những sai lầm học sinh thường gặp: -Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học -Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: AA2 -Những khó khăn , sai lầm thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức, mà phải biến đổi biểu thức lấy căn dưới dạng bình phương. -Sai lầm khi HS chưa nắm vững các căn thức đồng dạng. 2
3. -Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. -Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình. -Khi trục căn thức ở mẫu, khai phương một tích, khai phương một thương HS thường mắc phải một số sai lầm: * Các bước thực hiện giải pháp: Bước 1. Hệ thống các kiến thức cơ bản +Định nghĩa căn bậc hai số học: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a +Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai AA2 AB A B A 0, B 0 AA AB 0, 0 B B ABABB2 | | 0 ABABAB 2 0, 0 ABABAB 2 0, 0 A 1 AB AB 0, B 0 BB AAB B 0 B B CCAB() 2 2 AAB 0, AB AB CCAB() ABAB 0, 0, AB AB Bước 2. Xác định những sai lầm thường gặp và biện pháp khắc phục những sai lầm đó: 2.1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học: Định nghĩa CBHSH: Ví dụ: Bài tập1(sgk): Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng. *HS hay mắc sai lầm như sau: 169 =13 số 169 có 2 căn bậc hai là 169 = 13 *Cách giải đúng là: 3
4. Căn bậc hai số học của 169 là: 169 = 13, còn căn bậc hai của 169 là: 169 = 13; - 169 = - 13 . *Nguyên nhân: Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của số a không âm và căn bậc hai số học của một số a không âm, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này. *Biện pháp khắc phục: + GV cần phải làm rõ cho HS: -Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. - Số dương a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a . - Số 0 có đúng một căn bậc hai số học là số 0. - Khi nói đến a ta phải có: a 0 và a 0, nghĩa là a không thể âm. Vì vậy không được viết : Số 169 có hai căn bậc hai là 169 = 13. 2.2. Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: AA2 Ví dụ 1: Bài tập 9d (sgk toán 9) Tìm x, biết: 9x2 12 - HS hay mắc sai lầm như sau: 9x2 12 9x2 12 Vì 9x2 (3 x ) 2 3 x nên ta có: 3x 12 x 4 - Cách giải đúng là: Vì 9x2 (3 x ) 2 3 x nên ta có: 3x 12 3x 12 hoặc 3x 12 . Vậy x 4 hoặc x 4 Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9) Rút gọn biểu thức: (4 17)2 - HS hay mắc sai lầm như sau: HS: (4 17)2 4 17 4 17 - Cách giải đúng là: (4 17)2 4 17 17 4 Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một HS phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào cũng bằng nhau” và lập luận như sau: Ta lấy hai số a, b tùy ý. Gỉa sử a b Ta có : a2 2 ab b 2 b 2 2 ab a 2 hay a b 2 b a 2 (1) Khai phương hai vế ta được: a b 2 b a 2 Do đó: a b b a 4
5. Từ đó : 2a 2 b a b Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau. HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi khai phương hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: a b b a , chứ không thể có a b b a . Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau: A 2 a2 5 a a 0 - HS hay mắc sai lầm như sau: A 2 a2 5 a 2 a 5 a 2 a 5 a 3 a a 0 - Cách giải đúng là: A = 2a2 5 a = 2a 5 a 2 a 5 a 7 a a 0 * Nguyên nhân: HS chưa nắm vững hằng đẳng thức AA2 , giá trị tuyệt đối của một số âm. *Biện pháp khắc phục: Để tránh sai lầm khi giảng dạy phần này GV cần giải thích cho HS hiểu rõ hằng đẳng thức AA2 , với mọi biểu thức A . 2.3. Những khó khăn , sai lầm thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức mà phải biến đổi biểu thức lấy căn dưới dạng bình phương: Ví dụ: Tính 23 8 7 - HS hay mắc sai lầm như sau: 2 23 8 7 1 8 7 1 8 7 - Cách giải đúng 2 23 8 7 4 7 4 7 * Nguyên nhân: + HS chưa biết tách để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của tổng. *Biện pháp khắc phục: + Củng cố lại các hằng đẳng thức bình phương của tổng hoặc hiệu: +GV có thể hướng dẫn HS một số dạng biến đổi tổng quát như sau: Đối với biểu thức có dạng: 2 x 2 a b với a 0, b 0 và x a b thì x 2 a b a b 2.4. Sai lầm khi HS chưa nắm vững các căn thức đồng dạng. Ví dụ: Bài tập 58c (SGK toán 9) Rút gọn biểu thức sau: 20 45 3 18 72 -HS hay mắc sai lầm như sau: 5
6. 20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2 2 5 3 5 9 2 6 2 5 15 2 14 7 -Cách giải đúng là: 20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2 25359262152 5 *Nguyên nhân: Sai lầm ở chỗ HS chưa nắm vững các căn thức đồng dạng. xAyBzAm xz AyBm ( AB 0, 0; x,,, y z m R ) *Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu mà tránh những sai sót. 2.5. Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. 50 50 -Ví dụ 1 Có HS giải thích : 2 . 8 2. 8 và như 2 2 sau: + Vì 2 . 8 16 4 và 2. 8 2 . 8 16 4 nên 2 . 8 2. 8 75 75 50 50 50 + Vì 25 5 và 25 5 nên 3 3 2 2 2 - Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính 6 2 11 HS hay mắc sai lầm như sau: 6211 9622 9622 2 2 3 2 3 3 2 - Ví dụ 3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x -HS hay mắc sai lầm như sau: Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng tìm giá 2 1 1 trị nhỏ nhất của A bằng cách biến đổi x x x 2 4 2 1 1 1 A x x x 2 4 4 1 1 1 min A x 0 x 4 2 4 1 1 Vậy min A x 4 4 6
7. - Cách giải đúng: x xác định khi x 0 . Do đó: A x x 0 min A 0 x 0 * Nguyên nhân: + Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại. + HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia hai căn bậc hai. *Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định,. 2.6. Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình. Ví dụ1: Rút gọn: A 52 x 3 2 x 4 x (với x 0 ) -HS hay mắc sai lầm như sau: A 52 x 3 2 x 9 x 5 x 3 x 3 x x -Cách giải đúng là : Với x 0 . Ta có: A 52 x 3 2 x 9 x 5x 3 x 3 x 5 x 3 x 3 x 5 x Ví dụ 2: Bài 3b (SBT toán 9 – trang 27) 3 Rút gọn biểu thức: M 2 x 48 x x -HS hay mắc sai lầm như sau: 3 3x2 M 2 x 48 x 2 4 3 x x x 2 3x 4 3 x 6 3 x - Cách giải đúng là: 3 M 2 x 48 x . Điều kiện để M xác định là: x 0 . x 3 x 2 Khi đó: M 2 16. 3 x 2 3 x 4 3 x 2 3 x x Ví dụ 3: Bài tập1 (Sách nâng cao toán 9) Giải phương trình : 14 x x 2 (*) -HS hay mắc sai lầm như sau: (*) x 2 2 14 x 7
8. x2 3 x 10 0 x 2 5 x 2 x 10 0 x 5 x 5 x 2 0 x 2 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 5; x2 2 -Cách giải đúng là : x 2 0 x 2 (*) 2 2 x 2 14 x x 4 x 4 14 x x 2 x 2 2 x 5 x 2 x 10 0 x 5 x 2 0 x 2 x 5 x 5 x 2 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x 5 Ví dụ 4: Giải tập sau: y2 xy x Rút gọn biểu thức: M y y -HS hay mắc sai lầm như sau: y2 xyx xy y 2 xy x y x M y y y y y y. y x y x x x x x 1 1 1 yy y y y y -Cách giải đúng là : Đk để M xác định: xy 0 ; y 0 . Ta xét hai trường hợp: * x 0 ; y 0. y2 xyx y 2 xy x M y y2 y y x x x 1 1 2 y y y * x 0 ; y 0. y2 xy xy y x x M y y y y. y y x x x x 1 1 yy y y x Vậy: nếu x 0 ; y 0 thì M 1 2 và nếu x 0 ; y 0 thì M 1 y 8
9. *Nguyên nhân: HS năm chưa vững quy tắc ABAB2 với B 0, Cách đưa một thừa số vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương. *Biện pháp khắc phục: Khi dạy GV cần cho HS nắm vững: + ABAB2 với B 0 ABABAB 2 0, 0 + ABABAB 2 0, 0 + A tồn tại khi A 0 x 0 + a 0 , a x 2 x2 a a AA + Nếu A 0, B 0 thì B B 2.7. Khi trục căn thức ở mẫu, khai phương một tích, khai phương một thương HS thường mắc phải một số sai lầm: Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9) Tính - Cách giải đúng là: 1,44.1,21 1,44.0,4 1,44 1,21 0,4 1,44.0,81 1,2.0,9 1,08 Ví dụ 2: Giải các bài tập sau: 625 Tính: a. 81.256 ; b. 16 -HS hay mắc sai lầm như sau: a. 81.256 9. 16 3. 4 12 625 25 5 5 b. 164 2 2 - Cách giải đúng là: a. 81.256 81. 256 9.16 144 625 625 25 b. 1616 4 Ví dụ 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu -HS hay mắc sai lầm như sau: 9
10. 5 2 7. 5 2 35 2 a. 2 7 7 7 22 5 1 2 5 1 5 1 b. 2 5 1 5 1 5 1 2 22 5 1 2 5 1 5 1 hoặc 5 1 5 1 5 1 5 1 3 22 5 1 2 5 1 2 5 1 5 1 hoặc 2 5 1 5 1 5 1 5 1 25 1 12 2 2 5 1 2 5 1 hoặc 2 5 1 5 1 5 1 5 1 1 22 5 1 2 5 1 5 1 hoặc 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5 5 7 5 7 5 7 c. 2 7 3 2 7. 7 3 2.7 3 17 hoặc 5 573 573573 573 2 7 3 2 7 3 . 7 3 2. 7 9 4 4 - Cách giải đúng là: 52 7(52) 35 14 a. 2 7 7 7 22 5 1 2 5 1 5 1 b. 5 1 5 1 5 1 5 1 2 55 2 7 3 10 7 15 10 7 15 c. 2 7 3 (2 7 3) 2 7 3 28 9 19 *Nguyên nhân: + Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ ABAB ” tương tự như ABAB ( với A 0 và B 0) để tính . + HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương. + HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức. 10
11. + HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: ABABAB2 2 *Biện pháp khắc phục: + GV cần nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng ABAB tương tự như ABAB ( với A 0 và B 0) . + Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức. + Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau. + Cần khắc sâu các công thức: AAB , với B 0 B B C CAB  , với A 0 và AB 2 AB AB 2 C CAB  , với AB 0, 0 và AB AB AB +Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng bản thân tôi thấy sáng kiến này có tác dụng nhiều trong quá trình giảng dạy học sinh đại trà môn toán 9, tôi đã vận dụng sáng kiến này sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập, các buổi chuyên đề và ôn thi vào thpt. -Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: + Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả. 1. Lợi ích đối với giáo viên: -Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm quý báu trong quá trình giảng dạy bộ môn toán của bản thân tôi trong những năm tiếp theo. - Giúp giáo viên nâng cao chuyên môn nghiệp vụ trong giảng dạy. 2. Lợi ích đối với người học: - Nâng cao hứng thú và động lực học tập giúp các em khắc phục nhưng sai lầm. +Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, các nhân: 1. Đối với lớp: Học kì I ( năm học 2016-2017) Học kì I ( năm học 2017-2018) 11
12. Lớp trước khi áp dụng sau khi áp dụng /Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu số SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % 9A 5 16,1 15 48,4 10 32,3 1 3,2 7 22,5 17 54,8 7 22,6 0 0 (31) 9B 6 19.4 16 51,6 8 25,8 1 3,2 8 25,8 18 58,1 5 16,1 0 0 (31) 2. Đối với trường: - Tăng về số lượng học sinh giỏi và học sinh khá, giảm số lượng học sinh TB và yếu của bộ môn Toán. Đạt kết quả cao đối với thi vào lớp 10 THPT. (xếp thứ 4/14 trường trong huyện) -Thông tin cần được bảo mật: Không có. d. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Đối với giáo viên thường xuyên nghiên cứu các tài liệu tham khảo, các đề thi vào THPT. - Đối với học sinh cần chủ động, tích cực học tập tham khảo các tài liệu, sưu tầm thêm các đề thi vào 10. - Phương tiện dạy học: bảng phụ, máy chiếu thiết bị dạy học thông minh upointer, máy tính cầm tay. đ.Về khả năng áp dụng của sáng kiến Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng bản thân tôi thấy sáng kiến này có thể áp dụng trong quá trình giảng dạy học sinh đại trà môn toán 9 cho tất cả các trường THCS trong Huyện. Tôi đã vận dụng sáng kiến này sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập, các buổi chuyên đề và ôn thi vào thpt. Danh sách các tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu STT Tên tổ chức/ Địa chỉ Phạm vi/ Lĩnh vực áp cá nhân dụng sáng kiến 1 Lớp 9A,9B Trường THCS – huyện Phạm vị: Áp dụng tại thuộc khối 9 Bình Xuyên- Vĩnh Phúc trường THCS cho các khối lớp, cho tổ KHTN. Lĩnh vực áp dụng: Khối KHTN 12
13. Tân Phong, ngày tháng 01 năm , ngày tháng năm2019 Tân Phong, ngày 10 tháng 01 năm 2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 2019 Hiệu trưởng SÁNG KIẾN CẤP Tác giả sáng kiến (Ký tên, đóng dấu) HUYỆN (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Thủy Nguyễn Thị Lụa 13