Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực . Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài 1
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ A. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng * u1 , , a un 1 b u n f n n N trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và fn là biểu thức của n cho trước Dạng 1 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 , a . un 1 b . u n 0 (1.1) trong đó a,, b cho trước n N * Phương pháp giải n Giải phương trình đặc trưng a. b 0 để tìm  Khi đó un q (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1 Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2 Bài giải Ta có un 1 2 u n , u 1 1 (1.2) n Phương trình đặc trưng có nghiệm  2 Vậy un c.2 . Từ u1 1suy ra 1 c Do đó u 2n 1 2 n Dạng 2 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 ,, aun 1 bu n f n n N (2 .1) 2
3. trong đó fn là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có 0 * 0 un u n u n Trong đó un là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và * un là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy 0 n un q. q là hằng số sẽ được xác định sau * Ta xác định un như sau : * 1) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn * 2) Nếu  1 thì un n. g n với gn là đa thức cùng bậc với fn * Thay un vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của * un Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 2; un 1 u n 2 n , n N (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  1 0 có nghiệm  1 Ta có 0 * 0n * * un u n u n trong đó un c.1 c , u n n an b Thay un và phương trình (2.2) ta được n 1 a n 1 b n an b 2 n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 3a b 2 a 1 5a b 4 b 1 Do đó un n n 1 0 * Ta có un u n u n c n n 1 Vì u1 2 nên 2 c 1 1 1 c 2 2 Vậy un 2 n n 1 , hay u n n n 2 Dạng 3 Tìm un thoả mãn điều kiện 3
4. * u1 , , a un 1 bu n v  n n N (3.1) trong đó fn là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có 0 * 0 n * un u n u n Trong đó un c. , c là hằng số chưa được xác định , un được xác định như sau : * n 1) Nếu #  thì un A. * n 2) Nếu   thì un A n  * Thay un vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số * 0 * của un . Biết u1 , từ hệ thức un u n u n , tính được c Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện n * u1 1; un 1 3. u n 2 , n N (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  3 0 có nghiệm  3 Ta có 0 * 0n * n un u n u n trong đó un c.3 , u n a .2 * n Thay un a.2 vào phương trình (3.2) , ta thu được a.2n 1 3 a .2 n 2 n 2 a 3 a 1 a 1 n n n n Suy ra un 2 Do đó un c.3 2 n vì u1 1 nên c=1 Vậy un 3 2 Dạng 4 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 ,., a un 1 bu n f 1 n f 2 n n N (4.1) n Trong đó f1n là đa thức theo n và f2n v. Phương pháp giải 0 * * 0 Ta có un u n u1 n u 2 n Trong đó un là nghiệm tổng quát của phương * trình thuần nhất aun 1 bu n 0, un là một nghiệm riêng của phương trình 4
5. * không thuần nhất a un 1 b u n f 1 n , u2n là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất a un 1 b u n f 2 n Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện 2n * u1 1; un 1 2 u n n 3.2 , n N (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  2 0 có nghiệm  2 Ta có 0 * * 0n * 2 * n un u n u1 n u 2 n trong đó un c.2 , u n a . n b . n c , u2 n An .2 * 2 Thay un vào phương trình un 1 2. u n n , ta được a n 1 2 b n 1 c 2 an2 2 bn 2 c n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 2a c 1 a 1 a b c 4 b 2 2a 2 b c 9 c 3 * 2 * n Vậy u1n n 2 n 3 thay u2n vào phương trình un 1 2. u n 3.2 Ta được 3 A n 1 2n 1 2 An .2 n 3.2 n 2 A n 1 2 An 3 A 2 Vậy 3 u* n.2n 3 n .2 n 1 2n 2 n2 n 1 Do đó un c.2 n 2 n 3 3 n .2 . Ta có u1 1 nên n 1 2 1 2c 2 3 c 0 Vậy un 3 n .2 n 2 n 3 B. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng * u1 ,, , u 2  aun 1 bucu n n 1 fnN n 5
6. trong đó a,b,c, ,  là các hằng số , a # 0 và fn là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Dạng 1 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , u 2  , aun 1 bu n c . u n 1 0, n N (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.2 b .  c 0 tìm  Khi đó n n 1) Nếu 1,  2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un A 1 B  2 , trong đó A và B được xác định khi biết u1, u 2 n 2) Nếu 1,  2 là hai nghiệm kép 1  2  thì un A Bn . , trong đó A và B được xác định khi biết u1, u 2 Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau u0 1, u 1 16, un 2 8. u n 1 16. u n (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng 2 8  16 0 có nghiệm kép  4 Ta có n un A B. n .4 (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình u0 1 A A 1 B 3 u1 1 B .4 16 n Vậy un 1 3 n .4 Dạng 2 Tìm un thoả mãn điều kiện 6
7. u1 , u 2  , a . un 1 b . u n c . u n 1 f n , n 2, (6.1) trong đó a # 0, fn là đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.2 b .  c 0 để tìm  . Khi đó ta 0 * 0 có un u n u n , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần * nhất a. un 1 b . u n c . u n 1 0 và un là một nghiệm tuỳ ý của phương trình a un 1 b u n c u n 1 f n 0 * Theo dạng 1 ta tìm được un , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un được xác định như sau : * 1) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn * 2) Nếu  1 là nghiệm đơn thì un n., g n g n là đa thức cùng bậc với fn * 2 3) Nếu  1 là nghiệm kép thì un n., g n g n là đa thức cùng bậc với fn , * * Thay un vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của un . 0 * Biết u1, u 2 từ hệ thức un u n u n tính được A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 1; u 2 0, un 1 2 u n u n 1 n 1, n 2 (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2  1 0 có nghiệm kép  1 Ta 0 * 0n * 2 có un u n u n trong đó un A B. n .1 A Bn , u n n a . n b * Thay un vào phương trình (6,2) , ta được 22 2 n 1 an 1 b 2 nanbn . 1 an 1 bn 1 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 7
8. 1 a 4 2a b 2 a b 2 6 9 3a b 8 2 a b a b 3 1 b 2 * 2 n 1 Vậy un n 6 2 Do đó 0 * 2 n 1 un u n u n A Bn n 6 2 Mặt khác 1 1 AB 1 A 4 6 2 11 1 1 B AB 2 4 0 3 3 2 Vậy 112 n 1 un 4 n n 3 6 2 Dạng 3 Tìm un thoả mãn điều kiện n u1 , u 2  , aun 1 bu n c . u n 1 d .  , n 2 (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.2 b .  c 0 để tìm  Khi đó ta có 0 * 0 un u n u n , trong đó un được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa * được xác định, un được xác định như sau * n 1) Nếu #  thì un k. * n 2) Nếu   là nghiệm đơn thì un k. n * 2 n 3) Nếu   là nghiệm kép thì un k n  8
9. * Thay un vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ 0 * tính được hệ số k . Biết u1, u 2 từ hệ thức un u n u n tính được A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiện n u1 0; u 2 0, un 1 2 u n u n 1 3.2 , n 2 Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2  1 0 có nghiệm kép  1 Ta 0 * 0n * n có un u n u1 n trong đó un A B. n .1 A Bn , u n k .2 * Thay un vào phương trình , ta được k.2n 1 2 k .2 n k .2 n 1 3.2 n k 6 *n n 1 0 *n 1 Vậy un 6.2 3.2 . Do đó un u n u n A bn 3.2 . (1) Thay u1 1, u 2 0 vào phương trình ta thu được 1 ABA 12 2 0 ABB 2 24 13 Vậy n 1 un 2 13 n 3.2 Dạng 4 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 , u 2  , aun 1 bucu n . n 1 fgn n n , 2 (8.1) n trong đó a # 0 , fn là đa thức theo n và gn v. Phương pháp giải 0 * * 0 Ta có un u n u1 n u 2 n trong đó un là nghiệm tổng quát của phương * trình thuần nhất aun 1 bu n c. u n 1 0 , u1n là nghiệm riêng tùy ý của * phương trình không thuần nhất aun 1 bu n c. u n 1 f n u2n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất aun 1 bu n c. u n 1 g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện 9
10. n u1 0; u 2 0, un 1 2 u n 3 u n 1 n 2 , n 2 (8.2) 2 Bài giải Phương trình đặc trưng  2  3 0 có nghiệm 1 1,  2 3 Ta có 0 * * un u n u1 n u 2 n trong đó 0n n * * n un A 1 B .3 , u1 n a bn , u 2 n k .2 * Thay u1n vào phương trình un 1 2 u n 3 u n 1 n , ta được a n 1 b 2 an b 3 a n 1 b n 4 a 1 n 4 a b 0 Vậy 1 a b 4 Do đó 1 u* n 1 n 4 * n Thay u2n vào phương trình un 1 2 u n 3 u n 1 2 , ta được 2 k.2n 1 2. k .2 n 3. k .2 n 1 2 n k 3 Do đó 2 1 u* .2n .2 n 1 2n 3 3 Vậy n 1 1 u u0 u * u * A 1 B .3n n 1 .2 n 1 (8.3) n n1 n 2 n 4 3 Ta thay u1 1, u 2 0 vào (8.3) ta được hệ phương trình 1 4 61 ABA 3 1 2 3 48 3 8 25 ABB 9 0 4 3 48 10
11. Vậy 61n 25 1 1 u . 1 .3n . n 1 .2 n 1 n 48 48 4 3 C. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng u1 , u 2  , u 3  , a . un 2 bu n 1 c . u n d . u n 1 f n , n 2 (a.1) trong đó a,b,c, d, ,  ,  là các hằng số , a # 0 và fn là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Phương pháp giải Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có 0 * 0 dạng un u n u n , trong đó un là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến * tính thuần nhất, un là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Xét phương trình đặc trưng a3 b  2 c  d 0 (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực 1,,  2  3 phân biết thì 0 n n n un a1  1 a 2  2 a 3  3 b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (#)1  2  3 thì 0 n n un (). a1 a 2 n 1 a 3  3 11
12. c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 ()1  2  3 thì 0 2 n un () a1 a 2 n a 3 n  1 * 2) Xác định nghiệm riêng un của phương trình (a.1) Xét fn là đa thức của n ta có * a) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn * b) Nếu  1 (nghiệm đơn ) thì un n. g n gn là đa thức cùng bậc với fn * 2 c) Nếu  1 (bội 2 ) thì un n. g n gn là đa thức cùng bậc với fn * 3 d) Nếu  1 (bội 3) thì un n. g n gn là đa thức cùng bậc với fn n Xét fn v. ta có * n a) Nếu #  thì un k n  * n b) Nếu   (nghiệm đơn ) thì un k. * s n c) Nếu   (nghiệm bội s ) thì un k n  Bài toán 9: Tìm dãy số an biết rằng u1 0, u 2 1, u 3 3, un 7 u n 1 11. u n 2 5. u n 3 , n 4 (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng 3 7  2 11  5 0 có 3 nghiệm thực 1  2 1,  3 5 n Vậy an c1 c 2 n c 3 5 Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 1 3 1 c ,, c c 116 2 4 3 16 12
13. 1 3 1 Vậy a n 1 .5n 1 n 16 4 16 D. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số an được xác định theo công thức sau a1 0; a 2 1, an 1 2 a n a n 1 1, n 2 (10.1) Chứng minh số A 4. an . a n 2 1 là số chính phương Bài giải Ta có an 1 2 a n a n 1 1 (10.2) Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được an 2 a n 1 a n 2 1 (10.3) Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được an 1 3 a n 3 a n 1 a n 2 0 (10.4) Phương trình đặc trưng của (10.4) là 3 3  2 3  1 0 có nghiệm  1 là nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là 2 n an ( c1 c 2 n c 3 n )1 Cho n=0, n=1, n=2 ta được 0 c1 c 0 1 1 c2 c 2 c 3 1 c2 c 3 3 c1 2 c 2 4 c 3 2 n n 1 Ta thu được a và từ đó ta có n 2 2 2 A 4 an . a n 2 1 n 3 n 1 Điều này chứng tỏ A là một số chính phương 13
14. Bài toán 11: Cho dãy số xn  được xác định theo công thức sau x1 7; x 2 50, xn 1 4 x n 5 x n 1 1975 n 2 (11.1) Chứng minh rằng x1996  1997 Bài giải Xét dãy số yn  với y1 7, y 2 50 và yn 1 4 y n 5 y n 1 22 n 2 (11.2) Dễ thấy yn x n mod1997 . Do đó chỉ cần chứng minh y1996  0 mod 1997 Đặt zn 4 y n 11 suy ra z1 39, z 2 211. Nhận xét rằng zn 1 4 y n 1 11 16 y n 20 y n 1 99 4 z n 20 y n 1 55 (11.3) Ta lại có zn 1 4 y n 1 11 suy ra 20yn 1 5 z n 1 55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta được zn 1 4 z n 5 z n 1 Suy ra zn 1 4 z n 5 z n 1 0 (11.5) Phương trình đặc trưng của (11.5) là 2  4  5 0 có nghiệm 1 1,  2 5 Nghiệm tổng quát của (11.1) là n n zn 1 5  Ta có 8 z1 5  39 3 z 25  211 25 2  3 Do đó ta nhận được 14
15. 8n 25 z . 1 .5n (11.6) n 3 3 Từ (11.6) ta suy ra 8 25.51996 z 1996 3 Ta cần chứng minh z1996 11 mod1997 Do 51996 1 1997 1996 5 1 3 Nên 51996 1 3.1997 . Từ đó , ta có 51996 3n .1997 1, và khi đó 8 25 3n .1997 1 z 25. n .1997 11 1996 3 3 Vậy z1996 11 mod 1997 E. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức của dãy số xn thoả mãn các điều kiện sau 1) x1 11, xn 1 10. x n 1 9 n ,  n N 2) x0 2, x 1 8, xn 2 8. x n 1 9 x n 2 3) x0 1, x 1 3, 2. xn 2 5 x n 1 2 x n n 2 n 3 2 4) x0 0, x 1 1, xn 1 4 x n 4 x n 1 n 6 n 5 5) x1 1, x 2 2, xn 2 5 x n 1 6 x n 4 Bài 2: Cho dãy số an  thoả mãn điều kiện an a n 1 2. a n 2 n N n 3 a1 a 2 1 15
16. Chứng minh rằng an là một số lẻ Bài 3: Cho dãy số bn  xác định bởi bn 2. b n 1 b n 2 n N n 3 b1 1, b 2 2 n 5 Chứng minh rằng bn ,  n N 2 Bài 4: Cho dãy số un  thoả mãn điều kiện un 2 2. u n 1 u n 2 n N n 2 u0 1, u 1 0 Chứng minh rằng un là một số chính phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số un  thoả mãn như sau un Z,  N u0 1, u 1 9 un 10. u n 1 u n 2  n N , n 2 Chứng minh : k N, k 1 2 2 1) uk u k 1 10 u k . u k 1 8 2 2) 5.uk u k 1 4 va 3. u k 1  2 (  kí hiệu chia hết ) Bài 6: Cho dãy số un  thoả mãn điều kiện * un 2 2 u n 1 2 u n u n 1 , n N Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M 4. an 1 a n đều là số chính phương Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356) 16
17. Cho dãy số ui  ( i=1,2,3,4 )được xác định bởi a1 1, a 2 1, an a n 1 2 a n 2 , n 3,4, Tính giá trị của biểu thức 2 2 A 2. a2006 a 2006 . a 2007 a 2007 Bài 8: Cho dãy số nguyên dương un  thoả mãn điều kiện * u0 20, u 1 100, un 2 4. u n 1 5. u n 20, n N Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất an h a n  1998 , n N F. XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình  1  9 0 2 8  9 0 (12.1) phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số un được xác định theo công thức sau un 2 8. u n 1 9. u n 0 có thể cho u0 2, u 1 8. Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau 17
18. Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định như sau xn 2 8. x n 1 9. x n 0 n N x0 2, x 1 8 Xác định công thức của dãy số xn Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định như sau xn 2 8. x n 1 9. x n 0 n N x0 2, x 1 8 Tính giá trị của biểu thức A x2006 5. x 2007 4 Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình  1 2 0 2 2  1 0 (12.2) phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số un được xác định theo công thức sau un 2 2. u n 1 u n 2 có thể cho u0 1, u 1 0 khi đó vận dụng thuật toán trên xác định được công thức tổng quát của dãy số 2 xn n 1 Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số xn thoả mãn các điều kiện sau xn 2 2 x n 1 x n 2 n N x0 1, x 1 0 Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định như sau xn 2 2 x n 1 x n 2 n N x0 1, x 1 0 Chứng minh rằng xn là một số chính phương Bài toán 3: Cho dãy số xn xác định như sau 18
19. xn 2 2 x n 1 x n 2 n N x0 1, x 1 0 Xác định số tự nhiên n sao cho xn 1 x n 22685 KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết quả nhất định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán 3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán 19
20. bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ”. Qua đó ta có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục - 2003 20