Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP -Víi cos x 0 x k ,k ¢ . §Æt t tan x ,ta cã 2 2t 1 t 2 sin 2x , cos2x 1 t 2 1 t 2 2t 1 t 2 Ph­¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng 3 3 2t 3(1 t 2 ) 3(1 t 2 ) t 3 1 t 2 1 t 2 Hay tan x 3 tan x k ,k ¢ VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm C¸ch 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng sin 2x 3(1 cos2x) 2sin x.cos x 6cos2 x cos x 0 tan x 3 tan (sin x 3cos x)cos x 0 sin x 3cos x 0 cos x 0 x k ,k ¢ x k 2 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) sin x cos x 1; b) 3cos 2x 4sin 2x 1; Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) 2sin x 2 cos x 2 b) 3sin x 4 cos x 5 c) 3sin x 1 4 cos x 1 5 d) 3cos x 4sin x 5 e) 2sin 2x 2cos 2x 2 g) 5sin 2x 6cos2 x 13;(*) 4 4 1 h) sin x cos x (*) i) sin x 3 cos x 4 4 Chú ý: Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên dập khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài . Bài tập trắc nghiệm: 1 Câu 1. Các nghiệm của phương trình 2 sin x cos x cos 2x là: 2 3 2 A. k2 ,k Z B. k ,k Z C. k2 ,k Z D. k ,k Z 2 3 6 4 Câu 2: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A. 3 sin 2x cos 2x 2 B. 3sin x 4cos x 5 C. sin x cos D. 3 sin x cos x 3 4 Câu 3: Phương trình: 3.sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 10
2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1 1 1 A. sin 3x B. sin 3x C. sin 3x D. sin 3x 6 2 6 6 6 2 6 2 m Câu 4: Tìm m để pt sin2x + cos2x = có nghiệm là: 2 A. 1 5 m 1 5 B. 1 3 m 1 3 C. 1 2 m 1 2 D. 0 m 2 Câu 5: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: 5 A. x B. x C. x D. 6 6 12 Câu 6: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 4 4 4 4 A. 0 < m < B. 0 m C. m 0;m D. m < 0 ; m 3 3 3 3 DẠNG 3 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG 3. 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx a(sinx cos x) bsinx.cosx c Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có dạng a(sinx cos x) bsinx.cosx c Cách giải 1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin) Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R) (1) Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x t 2 4 t 2 1 2sin x cos x t 2 1 sin x cos x (*) 2 t 2 1 (1) at b. c 0 bt 2 2at 2c b 0 (1.1) . 2 Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t0 2 . 2 Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = t0 1 để tìm x. 2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng) Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R) (2) Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2 sin x t 2 4 t 2 1 2sin x cos x 1 t 2 sin x cos x ( ) 2 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 11
3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1 t 2 at b. c 0 (1) 2 . bt 2 2at 2c b 0 (2.1) Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t0 2 . 2 Thay giá trị t0 vào PT ( ) và giải PT sin2x = 1-t0 để tìm x Ví dụ : Giải các phương trình sau : a. sinx+sin2 x cos3 x 0 3 b. sin3 x cos3 x 1 sin 2x 2 c. 2 sinx+cosx t anx+cotx d. 3 cot x cosx 5 t anx-sinx 2 Giải a. sinx+sin2 x cos3 x 0 . sinx+sin2 x cos3 x 0 sinx 1 sinx cosx 1 sin2 x 0 sinx=1 x k2 1 sinx sinx+cosx 1-sinx 0 2 sinx+cosx-sinxcosx=0 2 t 2t 1 0 t 1 2 2 l 2 1 2 sin x 2 1 sin x sin t 2 1 4 4 2 x k2 4 Do đó : k Z 3 x k2 4 3 sin3 x cos3 x 1 sin 2x b. 2 (1) sinx+cosx 1 sinxcosx 1 3sin xcosx 2 t 2 1 t 2 1 3 t 2 2 3 t 1 Đặt : t sinx+cosx; t 2 1 t 1 1 3 t 2 2 2 2 t 1 3 2 2 t 3t 3t 1 0 t 1 t 4t 1 0 t 2 3 2 l . t 2 3 Do đó phương trình : 1 2 sin x 1 sin x x k2  x k2 4 4 2 2 3 2 3 2 sin x 3 2 x k2  x k2 sin x sin 4 4 2 4 4 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 12
4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP sinx 0 c. 2 sinx+cosx t anx+cotx . Điều kiện : x k * . Khi đó phương trình (c) cosx 0 2 sinx cosx 1 trở thành : 2 sinx+cosx + 2 sinx+cosx sinxcosx=1 cosx sinx sinx.cosx t sinx+cosx  t 2 Đặt : t2 1 . Thay vào phương trình ta được : sinxcosx= 2 2 t 1 3 3 2 2t 1 2t 2t 2 0 t t 2 0 t 2 t 2t 1 0 2 t 2 2 sin x 2 sin x 1 x k2 k Z 4 4 4 Thỏa mãn điều kiện . sinx 0 d. 3 cot x cosx 5 t anx-sinx 2 . Điều kiện : x k * . cosx 0 2 cos x sin x 1 Khi đó : 3 sinx-cosx 2 2sin x 1 sinx cosx cosx cosx+sinx 1 cosx 3 cosx-sinx 1 2 sinx 1 sinxcosx cosx sinx+cosx-sinxcosx 2 cosx cosx+sinx-sinxcosx sinx+cosx-sinxcosx 3 cosx-sinx 2 0 sinxcosx cosx cosx+sinx-sinxcosx 3 cosx-sinx 2 0 cosx sinx cosx+sinx-sinxcosx=0 3 cosx-sinx 0 Trường hợp : cosx-sinx=0 tanx=1 x= k k Z 4 Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 . t sinx+cosx  t 2 Đặt : t2 1 Cho nên phương trình : sinxcosx= 2 t 2 1 t 1 2 2 l t 0 t 2 2t 1 0 2 t 2 1 2 sin x 2 1 4 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 13
5. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP x k2 2 1 4 sin x sin k Z 4 2 3 x k2 4 Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 3 sin x cos x 2sin 2x 3 0 b) sin x cos x 4sin xcos x 1 0 c) sin 2x 12 sin x cos x 12 0 d) sin3 x cos3 x 1 Bài tập 2: Giải các phương trình sau : 3 a. sinx+sin2 x cos3 x 0 b. sin3 x cos3 x 1 sin 2x 2 c. 2 sinx+cosx t anx+cotx d. 3 cot x cosx 5 t anx-sinx 2 DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx asin2 x bsin x.cosx ccos2 x d Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x là phương trình có dạng a.sin2 x b.sin x cos x c.cos2 x d a,b,c 0 Cách giải: Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung) 1 cos 2x b 1 cos 2x (1) a sin 2x c d 0 2 2 2 bsin 2x (c a)cos 2x (2d a c) . Caùch giaûi 2 (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx) Kiểm tra cos x có0 là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.  cos x 0 chia cả hai vế cho cos2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x : a d tan2 x b tan x c d 0 Ví duï: Giaûi phöông trình a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1) b. 4sin2x – 3sinxcosx + 3 4 cos2x = 4 (2) c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3) d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4) GIẢI a.(1) cos 2 x sin 2 x 3 sin 2x 1 cos 2x 3 sin 2x 1 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 14
6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1 3 1 cos 2x sin 2x cos 2x cos 2 2 2 3 3 b. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x 1 nghiệm đúng phương trình (2). Vậy (2) có nghiệm x k . 2 1 +Xét cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay 1 tan 2 x và đặt ăn cos 2 x phụ t = tanx : 3 Ta có : 4t 2 3t 3 4 4(1 t 2 ) t tan x tan x k 3 6 6 Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x k ; x k ; k Z 2 6 5 3 c. (3) 5(1 cos 2x) sin 2x (1 cos 2x) 3 2 2 7cos 2x 5sin 2x 7 d. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x 1 nghiệm đúng phương trình (2). Vậy (2) có nghiệm x k . 2 1 +Xét cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay 1 tan 2 x và đặt ẩn cos 2 x phụ t = tanx : Ta có : 1 t 3t 2 3(1 t 2 ) t 2 tan x 2 x arctan 2 k Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 3sin2 x 8sin xcos x 8 3 9 cos2 x 0 b) 4sin2 x 3 3sin 2x 2cos2 x 4 1 c) sin2 x sin 2x 2cos2 x d) 2sin2 x 3 3 sin xcosx 3 1 cos2 x 1 2 Phöông trình thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x sin x cos x cos 2 x (1) Giải cách 1: +ĐK: x m . 2 +(1) sin x sin x cos 2 x cos3 x (*) (đẳng cấp bậc 3). +cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 1 0 ; vô lý) +cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được : tan x(1 tan 2 x) tan x 1 t 3 1 t 1 tan x 1 x k (t = tanx) 4 Giải cách 2: Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 15
7. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (*) sin x(1 cos 2 x) cos3 x sin 3 x cos3 x ( ) tan 3 x 1 tan x 1 x k 4 Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau: ( ) sin 3 x cos3 x 0 (sin x cos x)(1 sin x cos x) 0 (sin x cos x)(2 sin 2x) 0 sin x cos x 0 tan x 1 x k . 4 Ví dụ 2 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4) Giải cách 1: + cosx = 0 thì sinx = 1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0 + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được: t 2 4t 3 0 t 1 t 3 Giải cách 2: (4) (3cos 4 x 3sin 2 x cos 2 x) (sin 2 x cos 2 x sin 4 x) 0 3cos 2 x(cos 2 x sin 2 x) sin 2 x(cos 2 x sin 2 x) 0 cos 2x 0 2 2 cos 2x(3cos x sin x) 0 tan x 3 Ví dụ 3: Giải phương trình : sin 6 x cos6 x cos 2 2x sin x cos x (5) Giải cách 1: Nếu biến đổi : sin 6 x cos6 x (sin 2 x cos 2 x)(sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x) = sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x Và biến đổi : cos 2 2x (cos 2 x sin 2 x) 2 cos 4 x sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x Thì PT (5) sin 2 x cos 2 x sin x cos x 0 (*) Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản + Nếu từ PT: sin 6 x cos6 x (cos 2 x sin 2 x) 2 sin x cos x (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: t 0 t 5 t 4 2t 3 t 2 t 0 (Với t = tanx ) 4 3 2 t t 2t t 1 0 (5.1) 1 1 1 1 Khi đó PT (5.1) t 2 t 2 0 t 2 t 2 0 (5.2) t t 2 t 2 t 1 PT (5.2) đặt ẩn phụ u t thì được PT bậc hai u 2 u 0 u 0  u 1 . t Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm. + Với t = 0 tan x 0 x k . Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên: k x k cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x = phù hợp với mọi 2 2 cách giải. Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 16
8. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Bài tập tương tự: 1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 4) Giaûi phöông trình : sin3 x cos3 x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3) 5) Giải phương trình : 3(sin 3x cos x) cos3x sin x (đẳng cấp bậc 3) 6) Giải phương trình : 3(cos3x sin x) sin 3x cos x (đẳng cấp bậc 3) 7) Giaûi phöông trình : sin3 x cos3 x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3) 8) Giaûi phöông trình : 4(sin4 x cos4 x) 3 sin 4x 2 (đẳng cấp bậc 4) 9) Giaûi phöông trình : 8 sin 6 x cos6 x 3 3 sin 4x 2 (đẳng cấp bậc 6) 10) Giaûi phöông trình : sin6 x cos6 x 2cos2 x 1 (đẳng cấp bậc 6) Bài tập trắc nghiệm : Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: sin 3x Câu 2: Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn 2 ;4  là: cos x 1 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 3. Phương trình 2sin2 x 2sin xcos x cos2 x 1 có nghiệm là: A. x k2  x k B. x k  x k2 6 C. x k  x k D. Đáp án khác. 8 2 Câu 4. Phương trình 6sin2 x 7 3sin 2x 8cos2 x 6 có các nghiệm là: 3 x k x k x k x k 2 4 8 4 A. B. C. D. 2 x k x k x k x k 6 3 12 3 Câu 5. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - 1. A)x k2 B) x k2 C) x k D) x k 2 2 Câu 6. Phương trình sin8x cos6x 3 sin6x cos8x có các họ nghiệm là: x k x k x k x k 4 3 5 8 A. B. C. D. x k x k x k x k 12 7 6 2 7 2 9 3 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 17
9. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Cách giải + Dùng các công thức biến đổi về các phương trình đã biết + Đưa về phương trình tích. + Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số 2 2 A 0 + Áp dụng tính chất: A B 0 B 0 A M hay A M A M + Áp dụng tính chất: B N hay B N B N A B M N A M A M + Áp dụng tính chất: B M B M A B Bài 1: Giải phương trình sin 3 x sin 2 x 2cos x 2 0 (1) Giải : (1) (1 cos x)(sin x cos x sin x cos x 1) 0 x k2 cos x 1 k sin x cos x sin x cos x 1 0 x 2 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Giải các phương trình: a) cosxcos7x = cos3xcos5x (1) b) sin2x + sin4x = sin6x (2) c) sin2 4x sin2 3x sin2 2x sin2 x (3) d) sin3 x cos3 x cos2x (4) Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác. Giải: 1 1 a) 1 cos8x cos6x cos8x cos2x cos6x cos2x x k k Z 2 2 4 Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) cos5xcos4x cos3xcos2x b) sin x sin 2x sin3x cos x cos2x cos3x c) sin3x sin5x sin 7x 0 d) tan x tan 2x tan3x Giải tương tự như bài tập 1 Bài tập 3: Giải các phương trình sau: Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 18
10. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 2 2 2 2 3 cos6x a) sin x sin 2x sin 3x sin 4x 2 b) sin4 x cos4 x 4 c) 2cos2 4x sin10x 1 Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi Bài tâp 4: Giải các phương trình sau: a) 1 sin 2x 1 tan x 1 tan x b) tan x tan 2x sin 3x cos x c) tan x cot2x 2cot4x Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) sin x 2 sin5x cos x b) 3 2sin xsin3x 3cos2x c) 2sin xcos2x 1 2cos2x sin x 0 Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x Bài tập trắc nghiệm: Câu 1. Nghiệm của phương trình sin cos x 1 là: A. x k2 ,k Z B. x k ,k Z C. x k2 ,k Z D. x k ,k Z 6 4 3 2 3 Câu 2. Phương trình 3tan x 3 có nghiệm là: cos2x A. x k , x k B. x k2 , x k 2 6 2 6 C. x k , x k D. x k , x k 3 2 3 Câu 3. Cho phương trình cos5xcos x cos4xcos2x 3cos2 x 1 . Các nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình là: 2 2 A. , B. , C. , D. , 3 3 3 3 2 4 2 2 sin 3x Câu 4. Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn 2 ;4  là: cos x 1 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 5: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: 2 A. x ; x B. x ; x C. x ; x D. x ; x 18 6 18 9 18 2 18 3 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 19
11. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC – THPTQG KD-2002: Tìm x 0;14 nghiệm đúng pt: cos3x 4cos2x 3cos x 4 0 KB-2002: sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x cos3x sin3x KA-2002: Tìm nghiệm thuộc 0;2 của pt: 5 sinx cos2x 3 1 2sin 2x 2 x 2 2 x KD-2003: sin tan x cos 0 2 4 2 2 KB-2003: cotx t anx 4sin 2x sin 2x cos2x 1 KA-2003: cotx 1 sin2 x sin 2x 1 t anx 2 KD-2004: 2cos x 1 2sinx cos x sin 2x sinx KB-2004: 5sin x 2 3 1 sinx tan2 x KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác) 4 4 3 KD-2005: cos x sin x cos x .sin 3x 0 4 4 2 KB-2005: 1 sinx cos x sin 2x cos2x 0 KA-2005: cos2 3x.cos2x cos2 x 0 KD-2006: cos3x cos2x cos x 1 0 x KB-2006: cotx sinx 1 t anx.tan 4 2 2 cos6 x sin6 x sin xcos x KA-2006: 0 2 2sinx 2 x x KD-2007: sin cos 3cos x 2 2 2 KB-2007: 2sin2 2x sin7x 1 sin x KA-2007: 1 sin2 x cos x 1 cos2 x sin x 1 sin 2x CĐ-2008: cos3x 3cos3x 2sin 2x KD-2008: 2sin 1 cos2x sin 2x 1 2cos x KB-2008: sin3 x 3cos3 x sin x.cos2 x 3sin2 x.cos x Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 20
12. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1 1 7 KA-2008: 4sin 4 sin x 3 4 sin x 2 2 CĐ-2009: 1 2sin x cos x 1 sin x cos x KD-2009: 3cos5x 2sin3x.cos2x sin x 0 KB-2009: sin x cos x.sin 2x 3cos3x 2 cos4x sin3 x 1 2sin x cos x KA-2009: 3 1 2sin x 1 sin x KD-2010: sin 2x cos2x 3sin x cos x 1 0 KB-2010: sin 2x cos2x cos x 2cos2x sin x 0 1 sin x cos2x sin x 4 1 KA-2010: cos x 1 tan x 2 sin 2x 2cos x sin x 1 KD-2011: 0 tan x 3 KB-2011: sin 2x.cos x sin x.cos x cos2x sin x cos x 1 sin 2x cos2x KA-2011: 2 sin x.sin 2x 1 cot2 x KD-2012: sin3x cos3x sin x cos x 2 cos2x KB-2012: 2 cos x 3sin x cos x cos x 3sin x 1 KA-2012: 3sin 2x cos2x 2cos x 1 2 KA-2013: 1 tan x 2 2 sin x KB- 2013: sin 5x 2cos x 1 4 KD-2013: sin 3x cos 2x sin x 0 CĐ – 2013: cos x sin 2x 0 2 KA- 2014 : sin x 4cosx 2 sin2x 2 THPTQG-2015 Tính giá trị của biểu thức P (1 3cos 2 )( 2 3cos 2 ) biết sin 3 THPT QG - 2016 Giải phương trình: 2sin2 x 7 sin x 4 0 . Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 21
13. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phần III KẾT LUẬN Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung. Vì vậy, bản thân tôi rất chú trọng khi dạy phần này cho học sinh. Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương trình lượng giác cho học sinh. Tuy bản thân rất cố gắng tìm tòi học hỏi, nhưng chắc hẳn bài viết còn nhiều hạn chế, mong các thầy cô chân tình góp ý và bố sung. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục. 2) Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục. 3) Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG các năm. 4) Giải toán Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất bản Giáo dục. - Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến có thể sử dụng làm giáo án giảng dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường. 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Trình độ chuyên môn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và có phương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh. Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình học tập. 10. Kết quả đạt được : Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương pháp giải phù hợp. Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tôi thu được kết quả cụ thể như sau: Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 11A2 30 01 3,3 08 26,7 15 50 04 13,4 01 3,3 11A4 42 02 4,8 12 28,6 20 47,6 05 11,9 03 7,1 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu : TT Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến l 11A2 Trường THPT Triệu Đại số và giải tích 2 11A4 Thái – Vĩnh Phúc Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 22
14. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Lập Thạch, ngày 04 tháng 02 năm 2020 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thanh Nhàn Lập Thạch, ngày tháng năm 2020 Lập Thạch, ngày tháng năm 2020 Thủ trưởng đơn vị CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 23