Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng véc tơ giải toán hình học

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng véc tơ giải toán hình học

1. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ A F K D B C dt(ABF) FA     x Giả sử BF xBK (1). Giả thiết BK BA BD BA BC (2). dt(CBF) FC     BA xBC Mà BF (3) nên từ (1)(2)(3) suy ra x = -3/2.  x Bài 5. (TH&TT T6/345) Trên 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy 2 điểm AE CD E, D sao cho . Gọi M là giao điểm của BD và CE. Xác định vị trí của E, D EB DA sao cho diện tích tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo diện tích của tam giác ABC. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: AE CD  dt(ABC) dt(ABC) dt(BDC) AC BD Giả sử . Ta có . . . EB DA m dt(BMC) dt(BDC) dt(BMC) DC BM DA AC BD dt(ABC) Ta có m m . Đặt x (m )x. Ta đi tính x. DC DC BM dt(BMC) +) BD xBM MD ( x)MB CD ( x)CB  x  CM CA CB  ( x) ( m)x x  (2) (vì CD CA. ).  m +) Giả sử x  y  y m m  CM yCE ; m x x  m ( m)x  m m(m ) dt(ABC)  dt(ABC) Từ đây suy ra m   dt(BMC) . dt(BMC) m  13
2. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ II. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Từ kinh nghiệm biểu diễn véc tơ trong mặt phẳng, HS có thể mở rộng phương pháp véc tơ trong không gian giải quyết được nhiều dạng toán như CM đồng phẳng, CM song song, CM vuông góc, tính góc, tính tỉ số đoạn thẳng Sau đây là một số minh họa. 1. QUAN HỆ SONG SONG Bài 1. (Bài 32-t56, SBTHH11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB (O BD  AC ) SI a) Tìm I SD  (AMN). b) Tính . ID Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: s I M D A O N B C a) Xem hình vẽ.        uur uur  AS xAD s xd b) Đặt AS s, AB b, AD d. Giả sử IS xID. Khi đó AI . 1 x 1 x  1   1   3 1     Mặt khác AM s b d , AN AB AO b d. Do 3 véc tơ AI, AM , AN 2 2  4 2  đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: AI mAM nAN hay 1  m  3 1  (s xd) s b d n b d 1 x 2 4 2 1 m 1 x 2 1  m m 3n m n  m 3n 3 (s xd) s b d suy ra 0 x . 1 x 2 2 4 2 2 4 5 m n x 2 1 x 14
3. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Hãy xác định đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng AC’ và BA’ đồng thời song song với B’D’. AI b) Gọi I (d)  AC '; J (d)  BA'. Tính . AC ' Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: A’ D’ B’ C’ A D B C         Giả sử AA' a, AB b, AD d và AI xIC ', JB yJA'. Khi đó:   1 AI x a b c , AJ ya b và 1 y    y 1   I J AJ AI x a x b xc. Mặt khác D'B' b d và IJ song 1 y 1 y y 1 song với D’B’ nên tồn tại một số thực k sao cho: x 0, x k, x k. 1 y 1 y 1 Ta tính được x 1; y . Từ đây suy ra cách dựng đường thẳng (d) và tính được 2 AI 1 . AC ' 2 Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm M và N lần BM NC lượt thay đổi trên các đoạn thẳng SB, AC sao cho: x(0 x 1). Gọi G MS NA là trọng tâm tam giác SCD. a) CMR MN luôn song song một mặt phẳng cố định khi x thay đổi. b) Tìm x để (GMN) //(SAD). c) Tìm x để NG //(SAB). Hướng dẫn: 15
4. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Phương pháp véc tơ: s M C D O N A B         a) Đặt AS s, AB b, AD d. Giả thiết suy ra MB xMS, NC xNA hay      AB xAS b xs  AC b d AM , AN suy ra 1 x 1 x 1 x 1 x  1  1  x     MN d xs AD AS hay MN, AD, AS đồng phẳng hay 1 x 1 x 1 x MN //mp(SAD).    b) Ta tìm x để GM // mp(SAD) hay tìm x sao cho: GM , AD, AS đồng phẳng.  1    1  Ta có AG AS AD AC s b 2d . Từ đây ta có 3 3    x 1 1 1 2  GM AG AM s b d. 1 x 3 1 x 3 3       GM , AD, AS đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: GM mAD nAS hay x 1 1 1 2   s b d ns md. Từ đây suy ra x = 2. 1 x 3 1 x 3 3    1 1 1 1 2  c) GN AN AG s b d. 3 1 x 3 1 x 3       NG //(SAB) GN, AB, AS đồng phẳng hay GN mAB nAS hay 1 1 1 1 2  1 s b d ns mb từ đây tính được x . 3 1 x 3 1 x 3 2 16
5. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là một điểm trên đoạn AB’ sao cho AM/MB’ = 5/4. mp(P) qua M và (P) song song với A’C và BC’ cắt NC CC’ tại N. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mp(P). Tính . NC ' Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: A’ C’ B’ N M A C B      Đặt AA' a, AB b, AC c. Dễ dàng tính được A'C c a, BC ' a b c .  5   5  5 Từ giả thiết ta có: MA MB' nên AM AB' (a b). Giả sử   4 9 9    AC xAC ' x NC xNC ' AN a c.Ta có 1 x 1 x    x 5 5 MN AN AM a b c. 1 x 9 9 Từ giả thiết ta có MN, A’C, BC’ đồng phẳng hay ta có sự biểu diễn:    x 5 5 MN mA'C nBC ' hay a b c ( m n)a nb (m n)c. Từ đây tính 1 x 9 9 được x = -2. BÌNH LUẬN: Nhiều học sinh khi giải bài tập này rất dễ vẽ nhầm hình do lấy điểm M trên đoạn AB’ không chính xác dẫn tới điểm N nằm ngoài đoạn CC’. Bằng cách giải trên ta có thể “điều chỉnh” hình vẽ hợp lý dẫn tới thiết diện dựng được chính xác. 17
6. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Bài 5. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’, G’. Chứng minh rằng: SG SA SB SC 3 . SG ' SA' SB' SC ' Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: S A' C' G' B' A G C B SA SB SC SG         Đặt a, b, c, t SA aSA',SB bSB',SC cSC ',SG tSG '. SA' S B' SC ' SG '    Ta có 3SG SA SB SC 3tSG ' aSA' bSB' cSC '.   Trong mặt phẳng xét điểm I: aIA' bIB' cIC ' 0, khi đó       aSA' bSB' cSC ' (a b c)SI hay 3tSG ' (a b c)SI hay SG’ // SI vậy I thuộc đường thẳng SG hay I SG  (P) G '.   Suy ra 3tSG ' (a b c)SG ' hay 3t a b c. Cách khác: Gọi I’, I lần lượt là trung điểm đoạn B’C’ và BC. Ta có: SB' SC ' dt(SB'C ') dt(SB'I ') dt(SC 'I ') . SB SC dt(SBC) 2dt(SBI) 2dt(SCI) SB' SC ' SI ' SB' SC ' SB SC SI . 2 (1). Mặt khác: SB SC 2SI SB SC SB' SC ' SI ' SA' SI ' dt(SA'I ') 2dt(SA'G ') dt(SG 'I ') . hay: SA SI dt(SAI) 3dt(SAG) 3dt(SGI) SA' SI ' 1 SG ' 2SA' SI ' SA 2SI SG . 3 (2). Từ (1) và (2) suy ra SA SI 3 SG SA SI SA' SI ' SG ' SG SA SB SC 3 . SG ' SA' SB' SC ' 18
7. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm M di động trên cạnh SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. a) CMR (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. SB SD SC b) Tìm H : H (P)  SB, K : K (P)  SD. CMR có giá trị không SH SK SM đổi. Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: s M K C H D O A B a) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD. b) Dễ thấy KH // BD. Gọi I là giao điểm của SO với AM. Dễ thấy O’ là trung điểm SD SB SC SO      của đoạn KH. Đặt d, b, t. Từ SA SB SC SD 4SO ta có    SM SH SK SO' SA bSH bSK d SM 4tSO'.     Gọi I  là điểm  nằm  trên mp(AHMK)  thoả mãn: IA bSH bIK d IM 0. Khi đó SA bSH bSK d SM (1 b c d)SI hay SI // SO’ suy ra I SO  (AHMK)   hay (1 2b d)SI 4tSO' 1 2b d 4t.         Mặt khác SB SD 2SO,b(SH SK) 2bSI 2tSI 2bSI hay b = t. SB SD SC Từ đó suy ra 2t - d 1 1. SH SK SM . 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB a,BC CA a 2 Tính góc giữa các đường thẳng (SA,BC),(SB, AC). Hướng dẫn 19
8. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Phương pháp véc tơ: S a a a A a 2 C a a 2 B    HD. Dùng bộ 3 véc tơ gốc: SA, SB, SC dễ thấy đôi một có tích vô hướng dễ tính do các góc giữa 2 véc tơ dễ xác định.   a2     SA.SB a2.cos600 , SB.SC SA.SC 0. 2     | SA.BC | cos(SA,BC) | cos(SA,BC) | . SA.BC    a2      SA. SC SB 1 Chú ý: SA.BC SA(SC SB) nên cos(SA,BC) 2 . a.a 2 a2 2 2 2 Tương tự tính góc còn lại. 20
9. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Bài 8. Gọi M, N, I, J, K lần lượt là trung điểm của đoạn AC, CC’, AD, BB’, DD’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) CMR tam giác A’MN là tam giác vuông. b) CMR IJ  A'C. c) Tính góc (A’B, AC’) và (CK, A’D). D' C' B' A' K N J D C I M A B Hướng dẫn      Chọn bộ 3 véc tơ gốc AB b, AD d, AA' a đôi một vuông góc,b d a a. .    1  a) A'M AM AA' (b d) a; ; 2    b d a MN AN AM .   2 Ta có A'M.MN 0 suy ra tam giác A’MN vuông tại M.    a d b) IJ AI AJ b ;    2  2   A'C AC AA' b d a . Suy ra A'C.IJ 0 . c) Việc tính góc thực hiện như bài tập 12. Bài 9. (KB-03) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc B·AD = 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’ và CC’. CMR 4 điểm B’, M, N, D cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MBN là hình vuông. Hướng dẫn. 21
10. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___       a2 + Đặt AA' a, AB b, AD d. Ta có a.b a.d 0,d.b ;| a | x . 2   a  a  Ta có biểu diễn: AN b d , AM , AB' a b. 2 2 B' C' B A' D' N a a C A M B a C D 600 a A D     Dễ dàng suy ra : AN 1.AB' 1.AD 1.AM Hay 4 điểm N,M ,D,B' đồng phẳng. Nhận xét: Dễ thấy từ giác B’MDN là hình thoi.    a     a DM AM AD d ; DN AN AD b . 2 2 x2 a2 Ta có DM.DN 0 0 AA' x a 2. 4 2 Bài 10. (Vinh, kD-2000) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi E, F tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB và DD’. 1) CMR đường thẳng EF song song với mp(BDC’) và tính độ dài EF. 2) Gọi K là trung điểm của cạnh C’D’. Tính khoảng cách từ đỉnh C tới mp(EKF) và xác định góc giữa 2 đường thẳng EF và BD. Hướng dẫn. r uuur r uuur r uuur Đặt a = AA',b = AB,d = AD , ba véc tơ đôi một vuông góc, độ dài bằng 2. uur uuur uuur 1) Ta chứng minh: ba véc tơ. EF,BD,BC' đồng phẳng. 22
11. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___    a  b Ta có: EF AF AE d , 2 2     BD AD AB d b,     BC ' AC ' AD a d. D' K C' D C A' B' F J I A E B D C I A E B  1  1  uur uuur uuur Ta có đẳng thức sau: EF BD BC ' nên ba véc tơ. EF,BD,BC 'đồng phẳng 2 2 suy ra đường thẳng EF song song với mp(BDC’). 2  a b  Mặt khác: EF d 6. 2 2 uur uuur EF.BD 6 6 2) * Trước hết: cos(EF,BD) = = = . EF.BD 6.2 2 * Giả sử H là hình chiếu của C lên (EFK). Ta có uuur uur uuur uur uur uur CH = CE + EH = CE + mEF + nFK . uuur uur uuur uur Ta tìm m,n sao cho: CH ^ EF,CH ^ FK .  1   m m   n n Ta có CE b d;mEF a b d;nFK a b . 2 2 2 2 2     1 1 Suy ra CH.EF 0 7m 3n 2 ; CH.FK 0 n m 2 2 23
12. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___  a b 1  22 22 22 hay CH d CH 3. 2 2 2 2 BÌNH LUẬN: tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp véc tơ rất phức tạp học sinh nên tọa độ hóa để tính thì ngắn gọn. KẾT LUẬN Để áp dụng được phương pháp VÉC TƠ cho các quan hệ hình học, ta cần lựa chọn bộ véc tơ gốc phù hợp, nếu không tính toán sẽ rất phức tạp. Phương pháp thích hợp cho những bài toán chứa sẵn yếu tố vuông góc lấy từ tam giác cân, vuông, hình chữ nhật hay tứ giác có các đường chéo vuông góc với nhau Giải bài toán theo cách này có ưu điểm là thuật toán đơn giản nhưng tính toán nhiều và không phải mọi bài toán hình có thể làm theo cách làm này. Các bài toán trên có thể giải bằng phương pháp tọa độ, đơn giản hơn. Tuy vậy có nhiều bài toán giải bằng PP véc tơ lại sáng sủa hơn, đặc biệt là những bài toán chứng minh quan hệ thẳng hàng hay song song. Số lượng các bài tập còn ít, đơn điệu. Hy vọng với sự bổ sung của nhiều người, nội dung này sẽ phong phú hơn. Học sinh lớp 11, 12 sử dụng phương pháp véc tơ trong HHKG cũng sẽ thu được kết quả rất tốt. Phương pháp tọa độ trong không gian có rất nhiều ứng dụng trong luyện thi đại học, do khuôn khổ đề tài nên không đề cập. GV và HS có thể tìm thấy trong nhiều tại liệu luyện thi. Ở đây tác giả chỉ dừng lại ở phương pháp véc tơ trong không gian vì nội dung này ít được để ý mặc dù ứng dụng khá rộng rãi và không quá khó để thực hiện. III. BÀI TẬP THỰC HÀNH Sau đây là một số bài tập tương tự, có thể giải được bằng phương pháp véc tơ. GV có thể sử dụng làm tư liệu bồi dưỡng HSG. BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Qua 3 đỉnh A, B, C vẽ các đường thẳng song song với nhau cắt (O) lần lượt tại A,B,C. Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC,BCA,CAB thẳng hàng. Bài 2. Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt thay đổi trên các AM BN CP DQ ER FS cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA sao cho: . Chứng AB BC CD DE EF FA minh rằng trọng tâm hai tam giác ANP và CMQ đối xứng nhau qua 1 điểm cố định O. HD. O là điểm thoả mãn: OA OB OC OD OE OF . 24
13. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, gọi I, J, K là các điểm được xác định bởi AI pAB;AJ qAC và AK rAD. Chứng minh rằng điều kiện để I, J, K thẳng hàng là:    . q p r Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng vuông góc với AC qua D cắt BC tại I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng DC và CI. Chứng minh rằng AE  DF. Bài 5. Trên hai cạnh góc vuông AB, AC của tam giác ABC vuông lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho AB.AB’ = AC.AC’. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh rằng: AM  B’C’. Bài 6. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác vuông cân ABC tại C, lấy các điểm MB NC PA M, N, P sao cho: . Chứng minh rằng: CP  MN và CP = MN. MC NA PB Bài 7. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, kẻ EF  AC (F thuộc cạnh BC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng: MN  DF. Bài 8. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm P, trên cạnh AD lấy điểm Q sao cho AP = AQ. Kẻ AH vuông góc DP tại H. Chứng minh rằng CH QH. Bài 9. Cho tam giác ABC, cân tại đỉnh A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu vuông góc của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM  BD. Bài 10.Cho ∆ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm ∆ACD. Chứng minh rằng: IE  CD. Bài 11.(NamTư 95) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi D là chân đường vuông góc từ C tới AB, E là chân đường vuông góc từ D đến AC, F là điểm thuộc đoạn DE DA DE sao cho . Chứng minh rằng BE  CF. FE DB Bài 12.(NamTư 83)Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, người ta lấy điểm M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng AD, AB, BC, CD. Chứng minh rằng PQ  RS và giao điểm của chúng nằm trên một đường chéo của hình chữ nhật. Bài 13.Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt thay đổi trên các AM BN CP DQ ER FS cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA sao cho: . Chứng AB BC CD DE EF FA minh rằng trọng tâm hai tam giác ANP và CMQ đối xứng nhau qua 1 điểm cố định O. Bài 14.Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC, kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứng với C qua điểm H. Kẻ tia Ky vuông góc với BM, gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính ·AIM . 25
14. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Bài 15.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AD là đường phân giác của góc A. Biết 2 1 1 AB = c, AC = b, AD = d. Chứng minh rằng: . d b c BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Cho mp(P) đi qua AM và song song với BD. Tìm 2 điểm B’, D’ lần lượt là giao SB' SD' điểm của (P) với 2 cạnh SB, SD. Tính tỉ số , . SB SD S M D' I I D C B' O B A HD.     Hướng dẫn: 4 điểm A, B’, D’, M đồng phẳng. SA SC SB SD Bài 17.Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là SC' trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tìm tỉ số . SC Bài 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SB lấy SB' 1 SD' 2 điểm B’, trên cạnh SD lấy điểm D’ sao cho: ; . mp(AB’D’) cắt SC tại SB 3 SD 3 SC' C’. Tìm tỉ số . SC Bài 19.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang đáy AD và BC, AD 2BC. Gọi M là trung điểm cạnh SD, mp(ABM) cắt SC tại N. Tính tỉ số SN/SC. HD. Các Bt trên có thể dùng PP véc tơ hoặc PP tỉ số diện tích tam giác hoặc ĐL talet để giải.    KA 2KC; KD 2KB SK 26
15. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ S M C' A N D A D I O K B C B C Bài 20.Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. I là điểm trên cạnh IA AB sao cho: IG // mp(SBC). Tính tỉ số . TB Bài 21.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Các điểm M, N lần lượt thuộc đoạn AD, A’C AM 1 CN sao cho MN //(BC’D). Biết . Tính . AD 5 CA' Hd.    3 véc tơ MN, BC ', BD đồng phẳng. Biểu diễn 2 véc tơ này qua bộ 3 véc tơ chuẩn    CN AB, AA', AD với giả thiết: k. CA' TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hình học 10 nâng cao. Nhà xuất bản giáo dục, 2006. [2] Bài tập hình học 10 nâng cao. Nhà xuất bản giáo dục, 2006. [4] Bài tập hình học 10 nâng cao. Nhà xuất bản giáo dục, 2006. [5] Đề thi học sinh giỏi các tỉnh, các nước trong nhiều năm. [6] Báo toán học & tuổi trẻ. [7] Đề thi đại học nhiều năm. 27
16. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ MỤC LỤC Trang Lời giới thiệu . 1 Chương I: Kiến thức cơ bản . 2 Chương II: Một vài kết quả nghiên cứu . 3 I. Phương pháp véc tơ trong mặt phẳng . 3 1. Tính góc. Chứng minh quan hệ vuông góc . 4 2.Chứng minh quan hệ cùng phương, thẳng hàng, song song, đồng quy . 7 3. Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích . 10 II. Phương pháp véc tơ trong không gian . 14 1. Quan hệ song song . 14 2. Quan hệ vuông góc . 19 III. Bài tập thực hành . 24 Kết luận 24 28
17. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ 7. VỀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN Với học sinh trung bình, chỉ cần làm tốt phần phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương. Với học sinh khá, có thể áp dụng để giải một số bài toán chứng minh thẳng hàng, vuông góc Với học sinh giỏi có thể sử dụng để giải các bài tập khó hơn, mở rộng sang nhiều dạng toán khác. 8. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Sáng kiến này áp dụng tốt nhất cho những học sinh từ lớp 10 đã học kiến thức tích vô hướng véc tơ. 9. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Áp dụng sáng kiến trên giúp cho học sinh có một cách tiếp cận phương pháp véc tơ không quá khó khăn vì việc chỉ chọn một bộ véc tơ gốc phù hợp (chung gốc, vuông góc ). Từ đó phân tích các véc tơ khác qua chúng và thực hiện các kĩ thuật áp dụng véc tơ để giải toán (chứng minh vuông góc, thẳng hàng, đồng phẳng ). Ý kiến của tổ chức, cá nhân: 10. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Số Tên tổ chức/cá Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực TT nhân áp dụng sáng kiến 1 2 29
18. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ Lập Thạch, Lập Thạch, Lập Thạch, ngày tháng năm 2020 ngày tháng năm 2020 Ngày15 tháng 02 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Đỗ Xuân Thủy 30
19. SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ___ 31