Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Vi-ét để ôn luyện thi vào 10

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Vi-ét để ôn luyện thi vào 10

1. dạng nào? Sau đó tư duy chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải đó và khai thác bài toán tốt hơn III. Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh trường THCS Yên Sở phần lớn các em học còn yếu về môn toán, với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận và trình bày. Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi vào 10. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này Sau đây là hệ thống bài tập mà tôi đã áp dụng vào luyện tập, ôn tập, ôn thi cho học sinh lớp 9 và có hiệu quả tốt. B/ NỘI DUNG I. Lý thuyết: 2 + Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 thì b S = x1 +x2 = a c P = x1.x2 = a + Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Vi-ét đảo) II. Nội dung: Vận dụng Định lý Vi-ét và Vi-ét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau: Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x 2 Ví dụ : Cho x1 3; x2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x 2 5 Theo hệ thức Vi-et ta có P x1 x 2 6 2 2 Vậy x1; x 2 là nghiệm của phương trình có dạng: x Sx P 0 x 5 x 6 0 Bài tập áp dụng: Cho: 1. x1 = 8 và x2 = -3 2. x1 = 3a và x2 = a 3. x1 = 36 và x2 = -104 4. x1 = 1 2 và x2 = 1 2
2. Hãy lập phương trình bậc hai lần lượt chứa hai nghiệm trên 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: 2 V í dụ: Cho phương trình : x 3 x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 1 y1 x 2 và y2 x 1 x1 x2 Ta có: 1 1 1 1 x1 x 2 3 9 S y1 y 2 x 2 x 1( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 3 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 2 1 1 1 1 9 P y y ( x )( x ) x x 1 1 2 1 1 1 2 2x 1 x 1 2 x x 2 2 1 2 1 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 9 9 hay y2 y 0 2 y 2 9 y 9 0 2 2 Dạng bài tập này đã khó hơn một chút, đòi hỏi học sinh phải biết suy luận. Bài tập áp dụng: 2 1/ Cho phương trình 3x 5 x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 . Không giải phương 1 1 trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x 1 và y2 x 2 x2 x1 5 1 (Đáp số: y2 y 0 hay 6y2 5 y 3 0 ) 6 2 2 2/ Cho phương trình : x 5 x 1 0 có 2 nghiệm x1; x 2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có 4 4 ẩn y thoả mãn y1 x 1 và y2 x 2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : y2 727 y 1 0 ) 2 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 x m 0 có các nghiệm x1; x 2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y 2 sao cho : a) y1 x 1 3 và y2 x 2 3 b) y1 2 x 1 1 và y2 2 x 2 1 (Đáp án a) y2 4 y 3 m 2 0 b) y2 2 y (4 m 2 3) 0 ) Dạng 2:Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 = a
3. + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = - a Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 3x2 - 5x + 2 = 0 b) -7x2 - x + 6 = 0 Giải: a) Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm c 2 x1 = 1, x2 = = a 3 b) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm c 6 x1= -1, x2 = - = a 7 Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm theo hệ thức Vi-ét, xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau a) x2 - 7x + 10 = 0 b) x2 + 6x +8 = 0 Giải: a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5 b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên x1 = -2, x2 = -4 Dạng 3:Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + 5 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại Giải: Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p = 13 . Theo hệ thức Viét ta có 2 5 5 x1x2 = mà x1= 2 nên x2 = 2 4 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có 5 5 x1 x2 = mà x1 = 2 nên x2 = . 2 4 p p 5 13 Mặt khác x1+ x2 = = 2 + p = 2 2 4 2 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại Giải:
4. Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1 Ví dụ 3 : Cho phương trình : x2 7 x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. Giải: Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x 2 11 và theo Vi-et ta có x1 x 2 11 x 1 9 x1 x 2 7, ta giải hệ sau: x1 x 2 7 x 2 2 Suy ra q x1 x 2 18 Ví dụ 4: Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0, biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Giải: Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2 x 2 và theo Vi-et ta có x1 x 2 50 . Suy ra 2 2 2 x2 5 2x2 50 x 2 5 x2 5 Với x2 5 thì x1 10 Với x2 5 thì x1 10 Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Cho phương trình: ax2 bx c 0 (a 0) . Khi đó: 1.Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 0 2.Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu P 0 0 3.Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0 4.Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 5.Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ac 0 nghiệm dương S 0 Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 Phương trình có hai nghiệm 0 Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau: a) x2 - 2 3 x + 4 = 0 b) x2 + 5x - 1 = 0
5. c) x2 - 2 3 x + 1 =0 d) x2 + 9x + 6 = 0 Giải: a) Ta có '= -1 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có =57; S = -9 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau Giải a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P 0 Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là và S Dạng 5:Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho .Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x 2 ) và x1 x 2
6. 2 2 2 2 2 a/ xx12 ( x 1 2 xxx 122 ) 2 xx 12 ( xx 12 ) 2 xx 12 b/ xx3 3 xxxxxx 2 2 xx xx 2 3 xx 12 121122 12 12 12 2 2 44222222 22 2 22 c/ xxx121 ( ) ( x 2 ) xx 12 2 xx 12 ( xx 12 ) 2 xx 12 2 xx 12 5 5 3 3 2 2 2 2 d/ x1 x 2 = (x1 x2 )(x1 x2 ) x1 .x2 (x1 x2 ) 1 1 x x đ/ 1 2 x1 x 2 x 1 x 2 2 2 2 e/ x1 x 2 ? Ta biết xx12 xx 12 4 xxxx 1212 xx 12 4 xx 12 2 2 2 g/ x1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 = (x1 x2 ) 4x1 x2 .(x1 x2 ) 2 h/ x3 x 3 = xxxxxx 2 2 xx xx xx = . 1 2 121122 12 12 12 4 4 2 2 2 2 i/ x1 x 2 = x1 x 2 x 1 x 2 = 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 k/ x1 x 2 = ()()x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 = 6 6 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 l/ x1 x 2 (x1 ) (x2 ) (x1 x2 )(x1 ) x1 .x2 (x2 )  Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: 2 2 3 3 a) x1 + x2 b) x1 + x2 c) x1 x 2 Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1 2 2 2 2 a) x1 + x2 = (x1 +x2) - 2x1x2 = m - 2 3 3 3 3 b) x1 + x2 = (x1+x2) - 3x1x2(x1+ x2) = -m + 3m 2 2 2 2 c) (x1 - x2) = (x1 +x2) - 4x1x2 = m - 4 nên x1 x 2 = m 4 Ví dụ 2: Cho phương trình x2- 4x + 1 = 0 . Không giải PT, tính giá trị của biểu thức 4 A 2 x1 8 x 1 9 5 x 1 ( với x1 là một nghiệm của phương trình đã cho) Giải: 2 Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a) để đưa A về dạng A= 5x1 a 5 x 1 Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x1+ a > 0 từ đó tính được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể: Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên : 2 4 2 x1 = 4x1-1 x1 = 16x1 - 8x1+ 1
7. 2 2 2 A 32 x1 8 x 1 11 5 x 1 25 x 1 7 x 1 8 x 1 11 5 x 1 2 25x1 7(4 x 1 1) 8 x 1 11 5 x 1 2 5x1 2 5 x 1 5 x 1 2 5 x 1 x1 x 2 4 0 Phương trình đã cho có ' > 0 nên theo hệ thức Viét ta có: x1 x 2 1 0 x1 > 0 5x1+ 2 > 0 A =2 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + x - 1 = 0 và x1,x2 là nghiệm của phương trình (x1 < x2) . Không giải PT tính giá trị của biểu thức 8 2 B = x1 8 x 1 2 x 1 21 x 1 Giải: 2 4 2 Từ giả thiết ta có: x1 = 1 - x1 x1 = x1 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + 2 8 2 x1 = 9x1 - 12x1+ 4 8 2 2 2 x1 8 x 1 2 x 1 21 x 1 = x1 10 x 1 25 x 1 x 1 5 x 1 Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< 0 Vậy B = x1 5 x 1 = 5 - x1+ x1 = 5 Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6 m 1 x 9 m 3 0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x 2 x 1. x 2 Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 l à : m 0 m 0 m 0 m 0 2 2 2 ' 3 m 21 9( m 3) m 0 '9 m 219 m m 270 '9 m 10 m 1 6(m 1) x x 1 2 m Theo hệ thức Vi-et ta có: và từ giả thiết: x1 x 2 x 1 x 2 . Suy ra: 9(m 3) x x 1 2 m 6(m 1) 9( m 3) 6(m 1) 9( m 3) 6 m 6 9 m 27 3 m 21 m 7 m m
8. (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x 2 x 1. x 2 2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn a) 3x1 + 2x2 = 1 2 2 b) x1 -x2 = 6 2 2 c) x1 + x2 = 8 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 m 1 a) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ: x1 x 2 2 (1) 3x1 2 x 2 1 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7 x1 x 2 m (3) Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ: 2 2 x1 x 2 6 (1) 5 1 x1 x 2 2 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 2 2 x1 x 2 m (3) Thay vào (3) ta được m = - 5 (thoả mãn điều kiện) 4 2 2 2 c) x1 + x2 = (x1+ x2) - 2x1x2 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6 Giải: Để phương trình có nghiệm thì 0 hay m2 - 12 0 m 2 3 hoặc m -2 3 Kết hợp với hệ thức Viét ta có x1 x 2 m (1) 6 m 3m 6 3x1 x 2 6 (2) giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 2 2 x1 x 2 3 (3) Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn) 2 Ví dụ 4: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x + 2mx + 4 = 0. 4 4 Xác định m để x1 + x2 32 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 hay m2 - 4 0 m 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: x + x = (x + x ) - 2x x = x x 2 x x 2( x x )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9. x1 x 2 2 m Theo hệ thức Viét ta có: x1 x 2 4 4 4 2 2 nên x1 + x2 32 (4m - 8) - 32 32 m2 2 2 2 m 2 2 2 m 2 Kết hợp với điều kiện ' 0 ta được m = 2 hoặc m = -2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 và P = x1x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1 1 Phương trình đã cho có nghiệm ' 0 m - 2 x1 x 2 2( m 1) (1) b ) Theo hệ thức Vi-ét ta có 2 x1 x 2 m (2) 2 x1 x 2 x1 x 2 Từ (1) ta có m = 1 thay vào (2) ta được x1 x 2 1 hay 2 2 2 4x1x2 = (x1 + x2 - 2) là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Vi-ét ta có hai biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm. Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ) Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải : Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
10. 2(m 3) 6 x1 x 2 2 (1) m m m 1 1 x x 1 (2) 1 2 m m 6 Ta có (2) 6x1x2 = 6 + (3). Cộng vế theo vế của (1) và (3) m ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8. Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 8 2 Ví dụ 3 : Gọi x1; x 2 là nghiệm của phương trình : m 1 x 2 mx m 4 0. Chứng minh rằng biểu thức A 3 x1 x 2 2 x 1 x 2 8 không phụ thuộc giá trị của m. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m 1 m 1 0 m 1 m 1 2 4 ' 0 m ( m 1)( m 4) 0 5m 4 0 m 5 Theo hệ thức Vi-et ta c ó : 2m x x 1 2 m 1 thay vào A ta c ó: m 4 x. x 1 2 m 1 2m m 4 6 m 2 m 8 8( m 1) 0 A 3 x x 2 x x 8 3. 2. 8 0 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1 4 Vậy A = 0 với mọi m 1 và m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m 5 Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Dạng 8:Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức A 2 2 = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Giải: Ta có ' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + 6 > 0 nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5 2 2 2 2 x1 + x2 = (x1+x2) - 2x1x2 = 4(m - 1) - 2(m - 5)
11. 2 2 5 31 31 = 4m - 10m +14 = 2m 2 4 4 5 31 5 Dấu bằng xảy ra khi m = . Vậy Amin = khi m = 4 4 4 Ví dụ2: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình 2012x2 - (2012m - 2013)x - 2012 = 0 Chứng minh 2 32 x1 x 2 1 1 A= x1 x 2 2 24 2 2 x1 x 2 2012m 2013 Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 = và x1x2 = -1 2012 2 2 nên A = 6(x1 - x2) = 6( (x1 + x2) + 4) 24 Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Vi-ét đảo vào bài tập Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết x y 3 x y 2 a) 2 2 b) 2 2 x y 5 x y 34 Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ S 3 S 3 2 SP 2 5 P 2 Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2 . Vậy (x ; y) 2;1 ; 1;2  SS 2 2 b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ 2 SPP 2 34 15 Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình 2 X - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y) 3;5 ; 5;3  Thực chất dạng này được ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn. Ta xét tiếp ví dụ sau Ví dụ 2: Giải hệ x2 xy y 2 4 xy( x 1)( y 2) 2 a) b) 2 2 x xy y 2 x x y 2 y 1 Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ SP2 4 S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5 SP 2 Suy ra x, y là nghiệm phương trình X2 - 2X = 0 hoặc X2 + 3X + 5 =0
12. Vậy (x ; y) 0;2 ; 2;0  b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau: SP 2 2 suy ra S, P là nghiệm phương trình X - X - 2 = 0 SP 1 Giải ra ta được x1= -1; x2 = 2 x2 x 1 x2 x 2 Từ đó ta có 2 hoặc 2 y 2 y 2 y 2 y 1 Vậy (x ; y) 1;1 ; 2;1  Hệ thức Vi-ét đảo còn được ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào các bài toán chứng minh khác. Ta xét các ví dụ sau Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau: a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng: a 3 , b > 0, c > 0 và b2 + c2 2a2 Giải: Từ a + b + c = abc b + c = a(bc - 1) = a( a2 - 1) mà bc = a2 nên b, c là nghiệm của phương trình: X2 - (a3 - a) X + a2 = 0 Ta có =(a3 - a)2 - 4a2 0( vì PT trên có nghiệm là b và c ) (a2 - 1)2 4 a2 3 a 3 ( vì a > 0) Khi đó b+ c = a( a2 - 1) > 0 và bc = a2> 0 nên b > 0, c > 0. ( b - c)2 0 b2 +c2 2bc b2 +c2 2a2 Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình x2 + ax + bc = 0 (1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thoả mãn phương trình x2 + cx + ab = 0 Giải: Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 và (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1 x2). Ta có: 2 x0 ax 0 bc 0 2 ( a - b)(x0 - c) = 0 x0 = c ( vì a b) x0 bx 0 ca 0 Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (1) và phương trình (2) ta có: x1 b x0 x 1 a x0 x 2 b x1 x 2 c và x2 a x0 x 1 bc x0 x 2 ca x1 x 2 ab a b c 0 2 Do đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x + cx + ab = 0 (phương trình này luôn có nghiệm vì = c2 - 4ab = (a + b)2- 4ab = (a - b)2> 0). D/ Kết luận:
13. Trên đây là nội dung ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập mà tôi đã hệ thống trong quá trình dạy cho học sinh lớp 9, ôn thi vào 10 bằng cách hệ thống thành nhiều dạng: Dạng1: Lập phương trình bậc hai Dạng 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức nào đó Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số Dạng 8: Tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức của biếu thức chứa nghiệm Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu và áp dụng, bản thân tôi xét thấy đề tài này có tác dụng rất lớn trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn tập, ôn thi các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên. Vì thế việc áp dụng hệ thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ thi hay trong các bài kiểm tra không còn khó khăn nữa và các em biết vận dụng linh hoạt khi tiếp tục học lên chương trình THPT. Phần ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã có nhiều bạn đọc quan tâm, là một phần có nhiều ứng dụng hay. Tuy nhiên tôi đã trình bày theo quan điểm của mình, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp 9 nhiều năm và cho thấy có hiệu quả tốt. Rất mong được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú hơn. Xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 15 tháng 3 năm 2019 Người viết Nguyễn Thị Bích Thọ
14. Nơi nhận: - Phòng Văn hóa và Thông tin; - Lưu VT. Hà Nội, ngày 29 tháng 7 năm 2019 NGƯỜI VIẾT HIỆU TRƯỞNG Đỗ Thu Hà