SKKN Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa Đại số và giải tích Lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh

Nội dung tóm tắt: SKKN Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa Đại số và giải tích Lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh

1. Bài tập 3: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000000 mà có tổng bằng 15 ? Bài tập 4: Có 12 cái hộp khác nhau được đánh số từ 1 đến 12 và 8 viên bi giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 viên bi vào 12 hộp sao cho tổng số các viên bi trong các hộp 1,2,3 là chẵn, còn tổng các viên bi trong các hộp 4,5,6 là lẻ ? Bài tập 5: Để bảo vệ máy tính của mình khỏi sự tấn công của hacker, một lập trình viên muốn thiết lập một mật khẩu cho máy tính của mình. Mật khẩu này bao gồm tất cả các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh, mỗi chữ cái một lần xuất hiện và các chữ nguyên âm không đứng cạnh nhau. Hỏi lập trình viên đó có bao nhiêu cách cài đặt mật khẩu? Bài tập 6: Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào một dãy ghế có 7 ghế sao cho các điều kiện sau đây được đông thời thỏa mãn. 1) Mỗi ghế có đúng một người ngồi; 2) Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy; 3)Ở giữa hai cô gái có không quá 3 chàng trai. 4. Kỹ thuật vách ngăn 4.1. Vách ngăn: Xếp k phần tử vào k vị trí ( trên một hàng) sẽ tạo ra (k 1) vách ngăn. Các phần tử còn lại sẽ được sắp vào (k 1) vách ngăn đó. 4.2. Ý nghĩa và cách áp dụng 4.2.1. Ý nghĩa: Kỹ thuật vách ngăn giúp chúng ta có thể giải được bài toán "Có bao nhiêu cách sắp xếp các phần tử trong đó có hai hoặc nhiều phần tử không đứng cạnh nhau." một cách nhanh chóng, đơn giản. 4.2.2. Cách áp dụng: Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẻ tạo ra m 1 vách ngăn. Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ (m 1) vách ngăn nói trên Bài toán 1: Có 5 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? Lời giải: + Trước hết ta xếp 5 học sinh vào một hàng, có 5! cách. + Lúc này giữa hai học sinh bất kỳ sẻ tạo ra một vách ngăn và 5 học sinh sẻ tạo ra 6 vị trí (vách ngăn) có thể xếp các thầy vào đó tính cả hai vị trí ở hai đầu hàng (hình minh họa bên dưới). 6 vị trí dấu nhân chính là 6 vách ngăn được tạo ra. 29
2. + Do đề yêu cầu hai thầy giáo không đứng cạnh nhau nên ta xếp hai thầy giáo vào 2 2 trong 6 vị trí vách ngăn được tạo ra có A 6 cách. 2 Theo quy tắc nhân ta có tất cả 5!.A6 3600 cách. Bài toán 2: Có bao nhiêu cách xếp cho 6 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 12 ghế sao cho hai bạn cùng giới không ngồi cạnh nhau trong các trường hợp sau: a) Ghế sắp thành hàng ngang. b) Ghế sắp quanh một bàn tròn Lời giải: a) + Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. + Khi đó 6 bạn nam tạo ra 7 vách ngăn. 6 + Xếp 6 bạn nữ vào 7 vị trí vách ngăn đó có A7 cách. 6 + Vậy có 6!.A7 3628800 cách b) + Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. + Khi đó 6 bạn nam ngồi vào vòng tròn tạo ra 6 vách ngăn. 6 + Xếp 6 bạn nữ vào 6 vị trí vách ngăn đó có A6 cách. 6 + Vậy có 5!.A6 86400 cách. Chú Ý. - Sắp xếp n phần tử vào n vị trí tạo thành một vòng tròn có (n 1)! cách. Đây là hoán vị vòng quanh. - Khi xếp n phần tử thành 1 dãy và xem mỗi phần tử là một vách ngăn thì sẽ tạo thành (n 1) vị trí nhưng nếu xếp thành vòng tròn thì sẽ tạo thành n vị trí Bài toán 3: . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. 30
3. Lời giải: + Sắp xếp 10 bạn thành 1 dãy có 10! cách. + Theo bài toán trên ta có số cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó An, Bình không 2 ngồi cạnh nhau là: 8!.A9 cách. 2 + Do đó có: 10! 8!.A9 cách sắp xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà chữ số 3 và 4 đứng canh nhau. Bài 2. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số này đứng cạnh nhau. Bài 3. Có 6 bạn nữ và 3 bạn nam xếp thành 1 vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau. Bài 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu a. Ghế sắp thành hàng ngang b. Ghế sắp quanh một bàn tròn. Chương III. Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm Việc tổ chức thực nghiệm sư phạm về Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất nhằm mục đích sau: - Thứ nhất, kiểm tra tính đúng đắn của đề tài. - Thứ hai, kiểm tra lại tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực tư duy Toán học cho học sinh. - Thứ ba, kiểm tra chất lượng của HS trong việc phát triển năng lực. - Thứ tư, giúp GV nhận thức được tầm quan trọng của việc phát triển năng lực tư duy Toán học thông qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất cho HS. 2.Tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm 2.1. Tổ chức thực nghiệm - Thực nghiệm sư phạm được tiến hành ở lớp 11C3 và lớp 11C4 của trường THPT Đông Hiếu. Trong đó, lớp 11C3 là lớp thực nghiệm , lớp 11C4 là lớp đối chứng . Theo sự gợi ý, hướng dẫn của GV ở trường thì hai lớp này là tương đương nhau. - Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ 22/10/2021 đến 12/01/2022. 31
4. - GV dạy lớp thực nghiệm: Nguyễn Thị Lương . - GV dạy lớp đối chứng: Nguyễn Thị Xuyến. 2.2. Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành trong dạy học chủ đề tổ hợp xác suất theo hướng phát triển năng lực tư duy Toán học cho HS. 3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 3.1. Kết quả định tính Thông qua các giờ dạy chủ đề tổ hợp xác suất theo hướng phát triển năng lực tư duy Toán học cho ta thấy: - Việc áp dụng các biện pháp sư phạm cũng đã đem lại một kết quả nhất định. - Trong quá trình học tập HS cũng đã tích cực suy nghĩ, tham gia xây dựng bài, tích cực tham gia phát biểu ý kiến làm cho các giờ học sôi nổi hơn. - Các em dần dần nắm được các kiến thức cơ bản của chủ đề một cách vững chắc hơn. - Thông qua các chủ đề dạy học làm cho học sinh cảm thấy thích thú hơn với việc học tập, học sinh bị cuốn hút vào các công việc học tập, tạo cho HS lòng ham học, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, khơi dậy khả năng tìm ẩn của mỗi HS. Đồng thời cũng giúp cho HS cảm thấy thêm yêu môn toán hơn. 3.2. Kết quả định lượng Kết quả làm bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng được thống kê và tính toán thông qua bảng dưới đây: – Về mức độ hứng thú với tiết học: Ta có bảng kết quả đối chiếu giữa đối chứng và thực nghiệm như sau: Tiết học bình Tiết học không Tiết học hứng thú Nhóm đối Số lượng thường hứng thú tượng HS SL TL SL TL SL TL 11C3– TN 41 HS 30 73.17 11 26.83 0 0 11C4– ĐC 41 HS 20 48,78 18 43.90 3 7.32 Bảng 1. Số lượng và tỉ lệ % các mức độ đạt được của 3 tiêu chí đánh giá 32
5. Thông qua bảng một số biểu hiện về phát huy tính tích cực và phát triển năng lực của học sinh minh họa mức độ hứng thú của học sinh. Qua đó giúp học sinh hình thành và phát triển các năng lực về giao tiếp, tính toán, kĩ thuật thực hành và sáng tạo, tạo đà cho các em phát triển tương lai sau này. – Về kết quả đánh giá học tập: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 41 5 12.20 13 31.71 18 43.90 5 12.12 0 0 11C3–TN HS 41 4 9.76 12 29.27 20 20,51 4 9.76 0 0 11C4–ĐC HS Bảng 2. Số lượng và tỉ lệ % kết quả đánh giá học tập các em học sinh Biểu đồ đánh giá kết quả học tập Nhận xét: Qua kết quả thống kê trên ta thấy bước đầu thực hiện việc dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận cho HS là thành công. Các biện pháp sư phạm được đề ra là khả thi và hợp lí. 33
6. PHẦN III: KẾT LUẬN 1. Kết luận Đề tài được tôi lập đề cương từ tháng 9 năm 2021, đề cương chi tiết từ tháng 11 năm 2021. Trong quá trình nghiên cứu và dạy học học sinh lớp 11( năm học 2021- 2022) tôi thấy rõ tính hiệu quả, sát với đối tượng. Đề tài tôi bao quát đến các nhóm đối tượng khác nhau, từ trung bình đến giỏi. Thời lượng dành cho học sinh giỏi khá cao. Bởi vì, bản chất các dạng toán này muốn hay phải hướng đến đối tượng học sinh khá giỏi toán. Tôi thấy, ở mức trung bình, học sinh rất hứng thú với sự phân biệt các khái niệm qua các phân tích và giải theo nhiều cách. Học sinh đã tránh được nhầm lẫn bởi cách lập bảng trong giải các bài toán về số tự nhiên (dạng đơn giản), bài toán chọn bi ( nhiều màu), bài toán chọn người ( cả nam và nữ). Với học sinh khá, các em đã biết cách độc lập tự suy nghĩ, biết vận dung linh hoạt, tìm tòi để phát triển vấn đề cao hơn và có thể tổng quát hóa được nhiều vấn đề mà tôi cho là khá mới. . Tôi hi vọng, đề tài mang đến nhiều điều bổ ích cho các em học sinh cũng như đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy học tập phần này. 2. Kiến nghị Để hoàn thành bản sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của BGH nhà trường và các đồng nghiệp trong tổ. Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã chuẩn bị chu đáo, song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi xin chân thành cảm ơn những đóng góp quý báu của quý thầy cô giáo để bản sáng kiến được hoàn thiện hơn. 34
7. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Đại số & giải tích 11, NXB Giáo dục. 2.Sách bài tập Đại số & giải tích 11, NXB Giáo dục. 3. Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư phạm Hà Nội. 4. Chương trình giáo dục phổ thông 2018. 5. Một số bài giảng của các giáo viên trên trang tuyển sinh 247. 35
8. PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: Mẫu phiếu điều tra Câu hỏi Nội dung Số ý kiến Tỉ lệ % Em đánh giá như thế nào về việc học các tiết học chủ đề đại số tổ hợp hiện nay? A. Hệ thống lý thuyết dễ học, dễ hiểu. Làm được Câu 1 hầu hết các bài tập trong SGK và SBT. B. Hệ thống lý thuyết, phương pháp giải còn hạn chế. Chỉ làm được những bài toán đơn giản và thường gặp khó khăn, sai lầm trước những bài toán phức tạp hơn. Em muốn các tiết học tự chọn chủ đề đại số tổ hợp theo hướng nào ? A. Giáo viên dạy theo hướng truyền thống: Giáo Câu 2 viên ra đề, học sinh tìm lời giải B. Giáo viên dạy theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học của học sinh 36