Chuyên đề Một vài bài toán về tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Nội dung tóm tắt: Chuyên đề Một vài bài toán về tính đồng biến nghịch biến của hàm số

1. 1 5 7 x -∞ 3 1 3 3 +∞ _ _ y' 0 + 0 + 0 0 + y 1 5 7 +) Hàm số đồng biến trên các khoảng ; và ; 3 3 3 1 5 7 +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; và ; 3 3 3 Bài 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y -3 -1 O 2 x a) y f x2 4 b) y f x2 1 HD a) y f x2 4 +) y f x2 4 y ' x2 4 '. f ' x2 4 2xf ' x2 4 +) Dựa vào đồ thị y f ’ x , ta có x 0 x 0 2x 0 x2 4 3 x 1 2 +) y ' 0 2xf x 4 0 2 ( x 3 là f x 4 0 x2 4 1 x 3 2 x 4 2 x 6 nghiệm bội chẵn) +) Bảng biến thiên x -∞ - 6 - 3 -1 0 1 3 6 +∞ _ _ _ _ y' + 0 0 0 + 0 0 + 0 + 0 y Trang 10
2. +) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 6); ( 1;0) và (1; 6) +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 6; 1);(0;1) ; 4 và ( 6; ) b) y f x2 1 x +) y f x2 1 y' x2 1 . f ' x2 1 f ' x2 1 x2 1 +) Dựa vào đồ thị y f ’ x , ta có x 0 x x 0 0 2 x 2 x 1 3 +) y ' 0 f ' x2 1 0 x 1 x 2 2 ( 2 2 x 1 2 x 1 1 f ' x 1 0 x 0 2 x 1 2 x 0 là nghiệm bội lẻ) +) Bảng biến thiên x -∞ -2 2 0 2 2 +∞ _ _ y' 0 + 0 0 + y +) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2 2;0) và (2 2; ) +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 2 và (0;2 2) Bài 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. y -2 1 3 O x -1 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số a) y f 3x 2 3x 2 b) y f x2 2x (x 1)2 HD a) y f 3x 2 3x 2 Trang 11
3. +) y f 3x 2 3x 2 y ' 3x 2 '. f ' 3x 2 (3x 2)' 3 f ' 3x 2 3 3 f ' 3x 2 1 +) y' 0 f ' 3x 2 1 0 f ' 3x 2 1 +) Vẽ đường thẳng y 1 trên cùng hệ toạ độ với đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. y -2 1 3 O x -1 +) Dựa vào hình vẽ ta có 3x 2 2 x 0 5 +) f ' 3x 2 1 3x 2 1 x 1 ( x 0; x là nghiệm bội chẵn) 3 3x 2 3 5 x 3 +) Bảng biến thiên 5 x -∞ 0 1 3 +∞ _ y' + 0 + 0 0 _ y +) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) +) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) b) y f x2 2x (x 1)2 2 2 2 2 +) y f x 2x (x 1) y ' 2(x 1) f '(x 2x) 2(x 1) 2(x 1) f '(x 2x) 1 x 1 +) y ' 0 2(x 1) f '(x2 2x) 1 0 2 f '(x 2x) 1 +) Vẽ đường thẳng y 1 trên cùng hệ toạ độ với đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. Trang 12
4. y -2 1 3 O x -1 +) Dựa vào hình vẽ ta có x 1 x 1 2 x 1 x 2x 2 x 1 2 +) y ' 0 ( x 1; x 3 là nghiệm bội chẵn) 2 2 f '(x 2x) 1 x 2x 1 x 1 2 x 2x 3 x 3 +) Bảng biến thiên x -∞ -1 1- 2 1 1+ 2 3 +∞ _ _ y' + 0 + 0 0 + 0 0 _ y +) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1 2)và 1;1 2 +) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 2;1 và 1 2; Bài 4: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. y 4 1 -3 O 3 x -2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số a) y f 2x 1 2x2 b) y 2 f x2 2x (x 1)4 HD Trang 13
5. a) y f 2x 1 2x2 +) y f 2x 1 2x2 y ' 2. f '(2x 1) 4x 2 f '(2x 1) 2x 2 f '(2x 1) (2x 1) 1 +) y' 0 f '(2x 1) (2x 1) 1 0 f '(2x 1) (2x 1) 1 +) Đặt t 2x 1. Khi đó f '(2 x 1) (2 x 1) 1 trở thành f '(t) t 1 +) Vẽ đường thẳng y x 1 trên cùng hệ toạ độ với đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. y 4 1 -3 O 3 x -2 +) Dựa vào hình vẽ ta có x 1 2x 1 3 1 +) f '(2x 1) (2x 1) 1 2x 1 0 x 2 2x 1 3 x 2 +) Bảng biến thiên 1 x -∞ -1 2 2 +∞ _ _ y' 0 + 0 0 + y 1 +) Hàm số đồng biến trên khoảng 1; và 2; 2 1 +) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1) và ;2 2 b) y 2 f x2 2x (x 1)4 +) 2 4 2 3 2 2 y 2 f x 2x (x 1) y ' 4(x 1) f ' x 2x 4(x 1) 4(x 1) f ' x 2x (x 2x) 1 +) x 1 x 1 2 2 y ' 0 4(x 1) f ' x 2x (x 2x) 1 0 2 2 2 2 f ' x 2x (x 2x) 1 0 f ' x 2x (x 2x) 1 2 2 +) Đặt t x 2 2 x . Khi đó f '(x 2x) (x 2x) 1 trở thành f '(t) t 1 Trang 14
6. +) Vẽ đường thẳng y x 1 trên cùng hệ toạ độ với đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. y 4 1 -3 O 3 x -2 +) Dựa vào hình vẽ ta có 2 x 0 x 2x 3 2 2 2 x 2 +) f '(x 2x) (x 2x) 1 x 2x 0 x 1 x2 2x 3 x 3 +) Bảng biến thiên x -∞ -1 0 1 2 3 +∞ _ _ _ y' 0 + 0 0 + 0 0 + y +) Hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 ; 1;2 và 3; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1); 0;1 và 2;3 Bài 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y f ’ x như hình vẽ. y -2 O 1 3 x Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2019 a) y f 2x 1 Trang 15
7. 3 b) y f x 2 1 HD 2019 a) y f 2x 1 2019 2018 +) y f 2x 1 y ' 2.2019. f 2x 1 . f ' 2x 1 2018 +) 2.2019. f 2x 1 0x và dấu bằng xảy ra tại hữa hạn điểm nên +) y' 0 f ' 2x 1 0; y' 0 f ' 2x 1 0 +) Dựa vào đồ thị hàm số y f ’ x ta có 1 1 2 2x 1 0 x +) y ' 0 f ' 2x 1 0 2 2 2x 1 3 x 2 1 x 2 2x 1 2 2x 1 2 1 +) y ' 0 f ' 2x 1 0 0 2x 1 1 0 2x 1 1 x 1 2 1 2x 1 3 1 2x 1 3 1 x 2 1 1 +) Hàm số đồng biến trên khoảng ; và 2; 2 2 1 1 +) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) và ;2 2 2 3 b) y f x 2 1 3 3x 2 +) y f x2 1 y ' f x2 1 f ' x2 1 x2 1 2 +) f x 2 1 0 x và dấu bằng xảy ra tại hữa hạn điểm nên 3x 3x +) y ' 0 f ' x2 1 0; y ' 0 f ' x2 1 0 x2 1 x2 1 +) Dựa vào đồ thị hàm số y f ’ x ta có x 0 2 x2 1 0 x 0 x2 1 3 f ' x2 1 0 3x x 2 2 +) y ' 0 f ' x2 1 0 x 0 2 x 0 x 1 2 2 2 x 0 x 1 2 2 f ' x 1 0 0 x2 1 1 2 1 x 1 3 Trang 16
8. x 0 x2 1 2 x 0 2 2 0 x 1 1 f ' x 1 0 3x 2 0 x 2 2 +) y ' 0 f ' x2 1 0 1 x 1 3 2 x 1 x 0 x 2 2 2 x 0 f ' x 1 0 2 2 x 1 0 2 x 1 3 +) Hàm số đồng biến trên khoảng 2 2;0 và 2 2 ; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2 2)và 2; 2 2 Bài 6: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ , thoả mãn f 1 f 3 2 và có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. y O 1 2 3 x Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2020 a) y f 2x 1 4 2 b) y f x 1 HD 2020 a) y f 2x 1 2020 2019 +) y f 2x 1 y ' 2.2020. f 2x 1 . f ' 2x 1 +) Dựa vào đồ thị hàm số y f ’ x và f 1 f 3 2 ta có bảng biến thiên của hàm số y f x x -∞ 1 2 3 +∞ _ _ y' + 0 0 + 0 -2 -2 y +) Từ bảng biến thiên f x 2 x f (2x 1) 2x  f (2x 1)2019 0x Trang 17
9. x 1 2x 1 1 3 +) y ' 0 f ' 2x 1 0 2x 1 2 x 2 2x 1 3 x 2 3 x -∞ 1 2 2 +∞ _ _ y' + 0 0 + 0 y 3 +) Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và ;2 2 3 +) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; và 2; 2 4 2 b) y f x 1 4 3 2 2 2 +) y f x 1 y' 8x. f x 1 f ' x 1 +) Dựa vào đồ thị hàm số y f ’ x và f 1 f 3 2 ta có bảng biến thiên của hàm số y f x x -∞ 1 2 3 +∞ _ _ y' + 0 0 + 0 -2 -2 y 2 2 3 +) Từ bảng biến thiên f x 2 x f (x 1) 2 x f (x 1) 0 x x 0 x 0 x2 1 1 y ' 0 8xf ' x2 1 0 x 1 +) 2 x 1 2 2 x 2 x 1 3 x -∞ - 2 -1 0 1 2 +∞ _ _ y' + 0 _ 0 + 0 0 + 0 y +) Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 ; ( 1; 0) và 1; 2 +) Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 1 ; 0;1 và 2 ; Trang 18
10. IV. DẠNG III: Cho đồ thị hàm số y f ’ u x . Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x Bài 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ , và có đồ thị hàm số y f ' 2x 1 như hình vẽ. y -3 O 2 4 x Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x . HD +) Từ đồ thị hàm số y f ' 2x 1 ta có 3 x 2 +) f ' 2x 1 0 x 4 x 3 +) f ' 2x 1 0 2 x 4 t 1 +) Đặt t 2x 1 x 2 t 1 3 2 2 7 t 3 +) f ' t 0 t 1 t 7 4 2 t 1 3 2 t 7 +) f ' t 0 t 1 3 t 7 2 4 2 +) Hàm số đồng biến trên khoảng 7;3 và 7; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 7 và 3;7 Bài 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ , và có đồ thị hàm số y f ' 1 2x như hình vẽ. Trang 19
11. y -3 -1 O 4 x Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x . HD +) Từ đồ thị hàm số y f ' 1 2x ta có x 3 +) f ' 1 2x 0 1 x 4 3 x 1 +) f ' 1 2x 0 x 4 1 t +) Đặt t 1 2x x 2 1 t 3 2 t 7 +) f ' t 0 1 t 7 t 3 1 4 2 1 t 3 1 2 3 t 7 +) f ' t 0 1 t t 7 4 2 +) Hàm số đồng biến trên khoảng 7;3 và 7; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 7 và 3;7 Trang 20