›
›
›

SKKN Khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán tính tích phân

doc 49 trang vanhoa 5953
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán tính tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docskkn_khac_phuc_sai_lam_thuong_gap_cua_hoc_sinh_khi_giai_bai.doc

Nội dung tóm tắt: SKKN Khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán tính tích phân

  1. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc S¬ yÕu lý lÞch Họ và tên: PHAN LẠC DƯƠNG Ngày tháng năm sinh: 01 - 08 - 1981 Năm vào ngành: 09 – 2003 Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Ba Vì Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Hệ đào tạo: Chính quy Bộ môn giảng dạy: Toán Ngoại ngữ: Anh văn Trình độ chính trị: Sơ cấp Đại học: Đại học Sư Phạm Hà Nội. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 1
  2. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng Môc lôc Trang A – PHẦN MỞ ĐẦU 4 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 4 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 5 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 6 VI. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 6 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 7 B– NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 8 I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN 8 II. GIẢI PHÁP 10 1. Những kiến thức liên quan 1.1. Nguyên hàm 10 1.2. Tích phân 11 2. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách 15 khắc phục 2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải 15 2.1.1. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm 15 2.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 17 2.1.3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân 18 2.1.4. Sai lầm khi đổi biến số 20 2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh vẫn thường mắc phải 22 2.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 22 2.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 24 2.2.3. Sai lầm vì dùng công thức không có trong SGK 2.2.4. Sai lầm do hiểu sai bản chất công thức 27 2.3. Các bài tập tự luyện 29 4. Thiết kế một giáo án chi tiết 31 III. HIỆU QUẢ CỦA SKKN: 40 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 2
  3. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng C – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 42 I. KẾT LUẬN 42 II. KHUYẾN NGHỊ 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Phụ lục Danh mục các từ và cụm từ viết tắt SKKN : sáng kiến kinh nghiệm THPT : trung học phổ thông SGK : sách giáo khoa SGV : sách giáo viên ĐH, CĐ và THCN : đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 3
  4. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng A – PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để có thể đáp ứng được yêu cầu của thời đại mới, trong những năm qua, ngành giáo dục không ngừng tổng kết kinh nghiệm, đổi mới về mọi mặt, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học, thay thế phương pháp truyền thụ áp đặt bằng phương pháp tích cực, sáng tạo. Người giáo viên đóng vai trò tổ chức định hướng, phát huy tính chủ động tích cực của học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức, hình thành kĩ năng, xây dựng thế giới quan và nhân cách. Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của chương trình giáo dục phổ thông. Mục tiêu chung của môn Toán là: Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp Toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực. Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành cho học sinh những phương pháp luận đặc trưng của Toán học, rất cần thiết cho thực tiễn cuộc sống. Từ đó hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất đạo đức, tác phong lao động khoa học, ý chí và khả năng tự học, tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học lên ĐH, CĐ và THCN và đi vào thực tiễn cuộc sống. Người giáo viên dạy Toán muốn dạy tốt thì cần phải thường xuyên tổng kết, rút kinh nghiệm giảng dạy, để có thể thiết kế ra những bài giảng có tính hệ thống và tính sư phạm cao. Trong chương trình Toán THPT , Tích phân và các ứng dụng của tích phân chiếm một vị trí quan trọng. Luôn có mặt trong tất cả các đề thi tốt nghiệp THPT, các đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ và THCN. Hơn thế nó là một công cụ để giải một trong những bài toán thực tiễn phổ biến nhất trong cuộc sống hằng ngày: Bài toán tính diện tích và thể tích. Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp khác trong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiều các học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sai lầm giống nhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 4
  5. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như : - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục; Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như : - Hàm số không liên tục trên vẫn sử dụng được công thức Newtơn- Leibnitz. - Đổi biÕn sè t = u(x) nhưng u(x) không ph¶i lµ mét hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trên [a; b]. - Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời. - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận ( không tìm được giá trị chính xác) Trước đây cũng đã có một số tác giả nghiên cứu và đề cập đến vấn đề này tuy nhiên những kết quả thu được còn hạn chế, hầu như chỉ dừng lại ở việc chỉ ra một vài sai sót của học sinh. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả của đồng nghiệp đi trước, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “ KHẮC PHỤC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN ”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập Nguyên hàm và tích phân từ đó: Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 5
  6. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng * Hình thành cho học sinh kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân. * Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán và cách khắc phục. * Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo. Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy say mê môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học tập và nghiên cứu. * Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân; các dạng bài tập cơ bản về Nguyên hàm và tích phân; - Chỉ ra một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán tính Tích phân và biện pháp khắc phục bằng một số ví dụ đơn giản; - Mở rộng thêm một số bài toán cho học sinh khá, giỏi. - Đưa ra được đường lối tư duy chung để giải quyết một bài toán tính Tích phân bất kì. - Đưa ra được hệ thống các bài tập áp dụng và củng cố. - Đánh giá được kết quả của việc áp dụng SKKN vào giảng dạy. IV. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 12 của trường THPT Ba Vì trong hai năm liên tiếp NĂM HỌC LỚP SĨ SỐ 12A1 48 2010 - 2011 12A2 43 12A1 47 2011 - 2012 12A2 49 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 6
  7. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 1. Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu về Nguyên hàm và tích phân trong chương III thuộc chương trình Giải Tích 12 - Ban cơ bản. - Đề tài được nghiên cứu, áp dụng và đánh giá kết quả trong hai năm học 2010- 2011 và 2011- 2012 cho hai lớp 12 của trường THPT Ba Vì; cùng với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy môn Toán THPT từ năm học 2003- 2004. VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lí luận Tôi đã nghiên cứu nhiệm vụ giáo dục THPT, chương trình toán học phổ thông ( SGK, SGV Giải tích 12), các cuốn sách “ Hướng dẫn thực hiện chương trình, SGK môn Toán THPT ” và một số tài liệu tham khảo về Tích phân của một số tác giả. 2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Đưa ra bàn luận trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và cùng thực hiện; - Tham khảo ý kiến các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm đã có nhiều kinh nghiệm; 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Dạy thực nghiệm trên 2 lớp 12 của trường là: 12A2 ( 2010-2011), 12A1( 2011-2012) và lấy kết quả đối chứng trên hai lớp 12A1 ( 2010- 2011), 12A2( 2011-2012). 4. Phương pháp đánh giá - Dự giờ, kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh; - Kiểm tra đánh giá trên 3 đối tượng: Giỏi - Khá - Trung bình, yếu, kém trong đó nội dung dạy học, phương pháp thực hiện và kết quả thu được đánh giá chủ yếu đối với đối tượng học sinh khá, trung bình, yếu, kém. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 7
  8. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng B – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân phối chương trình năm quá ngắn ( với số tiết bài tập là 3 tiết ứng với 3 bài của cả chương ) do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều, mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một số lượng ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi các đề thi vào Đại học, CĐ lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa. Do vậy học sinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân dù là cơ bản, học sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nâng cao, tâm lí đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán. Năm học 2009 - 2010, khi giảng dạy môn Toán khối 12 ở lớp 12A1, 12A10 của trường THPT Ba Vì, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính Tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 8
  9. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải. Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Những lớp tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học sinh trung bình, yếu, kém nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu, kém sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài với việc soạn giảng 03 tiết Luyện tập tính nguyên hàm, tích phân. Tiến hành điều tra ban đầu về học lực môn Toán đối với lớp thực nghiệm và lớp đối chứng tôi thu được kết quả: Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 9
  10. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng NĂM SĨ GIỎI KHÁ TB YẾU KÉM LỚP HỌC SỐ SL % SL % SL % SL % SL % 2010 12A1 48 10 21 16 33 15 31 7 15 0 0 - 2011 12A2 43 6 14 15 35 13 30 9 21 0 0 2011 12A1 47 13 27 18 39 12 26 4 8 0 0 - 2012 12A2 49 9 18 19 39 14 29 7 14 0 0 Đây là các lớp của khối 12 mà đối tượng học sinh khá, giỏi chiếm số đông bên cạnh đó có cả học sinh yếu kém. Vì thế yêu cầu kiến thức đưa ra cũng phải phù hợp với nhận thức và khả năng của các em, không gây sự chán nản, học chống đối để các em có thể nắm chắc kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, giải thành thạo một số dạng tích phân căn bản ở phần bài tập và sách bài tập và ngày càng say mê, hứng thú với bộ môn Toán hơn. Đối với lớp 12A1 (năm học 2009 – 2010) là một lớp có chất lượng học sinh cao nhất trong khối, tôi chưa áp dụng đề tài khi dạy mà chỉ giảng dạy bình thường như phân phối chương trình SGK. Sau khi kết thúc chương tôi đã tiến hành kiểm tra 45 phút theo phân phối chương trình. Kết quả thu được như sau: Điểm Số HS đạt Tỉ lệ % [8 - 10] 3 5,88 [6,5 - 8) 6 11,32 [5 - 6,5) 12 23,53 [3,5 - 5) 23 45,54 [0 – 3,5) 7 13,73 N = 51 Qua kết quả khảo sát nêu trên tôi nhận thấy: - Kết quả bài làm đạt không cao so với mặt bằng kiến thức của lớp. - Đa phần học sinh mắc những sai lầm thường gặp khi mỗi dạng bài. - Nhiều em bế tắc không biết cách giải những bài từ mức trung bình trở lên. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 10
  11. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng II. GIẢI PHÁP 1. Những kiến thức liên quan: 1.1. Nguyên hàm 1.1.1. Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K. 1.1.2. Định lí: * Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. * Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số. Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là f (x)dx khi đó: f (x)dx F(x) C ( C là hằng số) 1.1.3. Tính chất nguyên hàm : 1. ( f (x)dx)' f (x) và f '(x)dx f (x) C 2. kf (x)dx k f (x)dx (k là hằng số khác 0) 3. ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx 4. f (t)dt F(t) c f [u(x)]u '(x)dx F[u(x)] C 1.1.4. Sự tồn tại nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 1.1.5. Bảng công thức các nguyên hàm cơ bản Bảng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp STT Hàm số Đạo hàm Nguyên hàm 1 y = x y' = 1 dx x C 2 y = x y' = 2 .x 1 x 1 x dx C ( 1 1) 3 y = sin x y' = cosx cos xdx sinx C 4 y = cosx y' = sinx sin xdx cosx C Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 11
  12. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 5 y = tgx 1 dx y'= ,x k tgx C cos2 x 2 cos2 x 6 y = cotgx 1 dx y'= ,x k cot gx C sin2 x sin 2 x 7 y = lnx 1 dx y' = ,x R* ln x C ( x 0) x x 8 y = log x 1 1 a y' = , dx log x C x ln a x ln a a * x R ,0 a 1 9 y = ex y' = ex exdx ex C 10 y = ax y' = ax lna a x a xdx C ()0 a 1 ln a ()0 a 1 Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm hợp thường gặp: COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN COÂNG THÖÙC HÀM HỢP dx x C u 'dx u C x 1 u 1 x dx C u '.u dx C 1 1 dx u ' du ln x C dx ln u C x u u x x e dx e C u u u'.e dx e C x x a au a dx C u '.au dx C ln a ln u cos x.dx sin x C u '.cosudx sin u C sin x.dx cos x C u 'sin udx cosu C 1 dx (1 tan2 x)dx tanx C u' 2 dx u'.(1 tan2 u)dx tanu C cos x cos2 u 1 2 dx (1 cot x)dx cotx C u' 2 2 dx u'.(1 cot u)dx cotu C sin x sin2u Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 12
  13. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 1.1.6. Một số phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số : Phương pháp này dựa vào định lí sau: Nếu f (t)dt F(t) c và t=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục , thì f [u(x)]u '(x)dx F[u(x)] C b. Phương pháp nguyên hàm từng phần: Phương pháp này có được dựa và định lí sau: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x).v '(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx Hay viết gọn là: udv u.v vdu 1.2. Tích phân 1.2.1. Định nghĩa tích phân: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí b hiệu là f (x)dx a b b (côngf (x )thứcdx Newtơn-F(x) Leibnitz) F b . F a a a * Ý nghĩa hình học của tích phân : Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b], thì tích b phân f (x)d x là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị a của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b . Vậy: b S f (x)d x. a Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 13
  14. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 1.2.2. Tính chất của tích phân: a ) Tính chất 1: b b kf (x)dx k f (x)dx (k là hằng số). a a b ) Tính chất 2: b b b [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx. a a a c ) Tính chất 3: b c b f (x)dx f (x)dx f (x)dx (a < c < b). a a c 1.2.3. Phương pháp tính tích phân : a) Phương pháp đổi biến số: Đ ịnh lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số x (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ;  ] sao cho ( ) a, ( ) b và a (t) b với mọi t [ ;  ]. b  Khi đó f (x)dx f ( (t)) '(t)d t. a b) Phương pháp tính tích phân từng phần: Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây. Đ ịnh lí: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì : b b u(x)v'(x)dx u(x)v(x) |b u'(x)v(x)dx a a a b b b hay ud v uv a vd u . a a Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 14
  15. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 2. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục: 2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải: 2.1.1. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm: 3 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I = x 1dx 0 Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng 3 3 3 3 1 I = x 1dx = x 1d(x 1) I = x 1dx = (x 1) 2 d(x 1) 0 0 0 0 3 3 3 1 1 1 1 2 3 2 = = = = (x 1) 2 (x 1)3 2 x 1 0 4 2 2 3 0 3 0 2 14 = (8 1) 3 3 - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. * Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? 1 * Ví dụ 2 : Tính tích phân : I = (2x 1)5dx 0 Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng 1 1 1 1 I = (2x 1)5dx I = (2x 1)5dx = (2x 1)5d(2x 1) 0 0 2 0 1 1 1 1 = (2x 1)6 = (2x 1)6 6 0 12 0 1 1 = (1 1) 0 = (1 1) 0 6 12 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 15
  16. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng ( Có thể hướng dẫn các em cách giải khác: đổi biến số t=2x-1) - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm xn 1 hàm hợp, đã dùng xn dx c (với n ≠ –1) thay vì n 1 (ax b)n 1 (ax b)n dx c (n 1)a .* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lập ra bảng nguyên hàm của hàm hợp ứng với u = ax+b. Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 16
  17. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 2 A x 4dx, 2 1 B= (2x 1)3dx, 0 2 dx C= , 2 1 (2x 1) 1 dx D= 2x 1 0 e 4 dx E = , 1 3x 1 /12 F = cos( 4x)dx, 6 /6 7 1 G dx x 3 3 2.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân: 2 dx * Ví dụ 1 : Tính tích phân : : I = 2 2 (x 1) Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng 2 2 1 dx d(x 1) Hàm số y = 2 không xác định I = 2 = 2 (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1) tại x = -1  2;2 suy ra hàm số không 1 2 1 4 = - = - -1 = - x 1 2 3 3 liên tục trên  2;2 do đó tích phân trên không tồn tại. - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 17
  18. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 1 * Nguyªn nh©n sai lÇm : Hàm số y = không xác định tại x= -1 (x 1) 2  2;2 suy ra hàm số không liên tục trên  2;2 nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc định nghĩa tích phân. Giúp b các em tạo thói quen: Khi tính f (x)dxcần chú ý xem hàm số y=f(x) a có liên tục trên a;b không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 5 dx 3 1 A= . B=x(x 2 1) 2 dx . 4 0 (x 4) 2 2 1 1 x 3 .e x x 2 C= dx D= dx 4 3 0 cos x 1 x 2.1.3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân: 1 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I = xe xdx 0 Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng 1 u x du dx x Đặt: . Ta có: I = xe dx x x dv e dx v e 0 1 1 1 1 I xe x e xdx = . xdx e xdx 0 0 0 0 1 2 1 1 1 x x x e = . e e 2 0 0 0 2 e 2 1 . 1 1 e 1 = ( 1) e 2 2 e 2e Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 18
  19. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc nguyên hàm b b b u(x).v(x).dx u(x)dx v(x)dx của một tích, nên đã dùng = . a 0 a thay vì dùng công thức tích phân từng phần: b b u(x)v'(x)dx u(x)v(x) |b u'(x)v(x)dx a a a .* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hóa các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần: -Cách làm : biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx. + chọn u sao cho du dễ tính . + chọn dv sao cho dễ tính v = dv . + áp dụng công thức . - Dấu hiệu: hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau không thỏa mãn công thức nguyên hàm hàm hợp. DẠNG I : sin kx cos kx sin ax b p(x). tgkx dx cosax a đặt u = p(x) : đa thức ; dv = tgax dx . ekx ax kx e m b DẠNG II : p(x).ln x.dx đặt u = lnx ; dv = p(x).dx . a kx b kx e e sin lx sinlx . .dx kx .dx DẠNG III : kx coslx đặt u = ; dv = hai lần. a m m coslx ( Hoặc ngược lại ). Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 19
  20. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 1 A x.2x 1dx , 0 0 B= x ln(x 2)dx , 1 2 C= x log2 xdx 1 D (x ecos x )sin xdx , 0 /2 E = (x2 x)cos xdx , 0 F = sin x.e xdx 0 2.1.4. Sai lầm khi đổi biến số: 1 2 2 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I = 1 x dx 0 Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng Đặt x= sint suy ra dx=costdt Đặt x = sint suy ra dx=costdt 1 x 0 t 0 2 I 1 sin2 t.cost.dt 1 x t 0 2 6 1 1 2 2 2 1 cos 2t cos t.dt dt 6 6 2 2 2 0 0 I 1 sin t.cost.dt cos t.dt 1 0 0 2t sin 2t 2 1 sin1 . 4 4 6 1 cos 2t 3 0 dt . 0 2 12 8 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 20
  21. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không đổi cận. * Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi. 1 dx I * Ví dụ 2 : Tính tích phân : 5 0 (2x 1) Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng Đặt t = 2x + 1 Đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx x 1 t 3 x 1 t 3 x 0 t 1 x 0 t 1 3 dt t 4 3 20 3 dt t 4 3 1 1 10 I . I 5 4 1 . 5 2t 8 1 8 3 81 1 t 4 1 81 1 - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt. * Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 21
  22. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 2 1 dx A 4 x2dx, B = , 2 0 01 x /2 e2 dx C = sin5 xdx , D = , xln x 0 e /2 3 1 E = sin x.ecosxdx, F (ln x)3dx , x 0 1 /2 2 cosxdx 2x2 x 1 G = , I = dx 1 sin x x 1 0 0 * Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải tính nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phân Để khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài. 2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh vẫn thường mắc phải: 2.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số: 2 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I 4x2 4x 1dx 0 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 22
  23. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng 2 2 I 4x2 4x 1dx I 4x2 4x 1dx 0 0 2 2 1 2 (2x 1)2 dx (2x 1)2 dx 2x 1d(2x 1) 0 0 2 0 1 2 1 (2x 1)d(2x 1) 1 2 1 2 (1 2x)d(2x 1) (2x 1)d(2x 1) 2 0 2 2 1 2 0 (2x 1)2 9 1 2 2 2 4 4 1 0 (1 2x)2 2 (2x 1)2 1 9 5 . 4 4 4 4 2 0 1 2 - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng phép biến đổi sai: (x 3)2 x 3; với x [0,4] thay vì phải dùng với(x 3)2 x 3; x [0,4] . * Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ 2n 2n chứa hàm số dạng: f x thì dùng phép biến đổi b b 2n 2n 2n 2n f x f x ( n ≥ 1, n nguyên). f x dx f x dx , a a khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 3 3 2 A = 1 sin 2x dx ; B = x 2x x dx 0 0 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 23
  24. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 2 3 1 2 2 x 2 2 tg x cot g x 2 C = 2 dx; D = dx 1 x 2 6 1 x 2 1 dx * Ví dụ 2 : Tính tích phân : I= 4 11 x Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng 1 1 1 x2 1 1 1 1 1 2 I dx x2 x 1 x4 2x2 2x2 I dx 2 dx 1 1 2 1 x 1 1 1 2 2 x 2 x 1 x x dx 2 2 1 (x x 2 1)(x x 2 1) 1 1 dt 1 dx 1 Đặt t = x+ 2 1 2x 2 2x 2 x x dx 2 2 x2 x 2 1 x2 x 2 1 với x = -1 thì t = -2 ; 1 1 1 x2 x 2 1 với x=1 thì t =2; ln 2 2 2 x x 2 1 1 2 dt 1 2 2 I= 2 ln . 2 t 2 2 2 2 2 1 1 1 = ( )dt 2 2 2 t 2 t 2 2 1 t- 2 = ln 2 2 t+ 2 2 1 t 2 2 1 2 2 ln ln 2 2 t 2 2 2 2 2 ( có thể hướng dẫn học sinh cách làm khác: tìm nguyên hàm trước rồi áp dụng định nghĩa tích phân để tính) - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 24
  25. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng phép biến đổi 1 1 x 2 1 2 x 4 là sai vì trong  1;1 chứa x = 0 nên không thể chia cả 1 x 1 2 x x 2 tử cả mẫu cho x = 0 được . * Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi tính tích phân mà dùng phép biến đổi chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0. Nếu đoạn lấy tích phân có chứa điểm x = 0 thì ta phải dùng phương pháp khác. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 6 2 3 2 (x2 1)dx (x2 1)dx A= 4 B= 4 2 1 x 1 3 x x 1 1 2 (x 2)dx 2 (2x2 1)dx C= 4 2 D= 4 0 x 3x 4 2 4x 1 2.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số: 1 4 x3 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I dx 2 0 1 x Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng Đặt x = sint suy ra dx = costdt . 2 2 2 Đặt t 1 x t 1 x x 0 t 0; 2tdt 2xdx xdx tdt Đổi cận: 1 1 x 0 t 1; x t arcsin 4 4 Đổi cận: 1 15 x t 1 arcsin 4 4 4 sin3 t I cost.dt 15 2 0 1 cos t 4 (1 t 2 )( tdt) 1 1 arcsin arcsin I 4 3 4 t sin t 1 cost.dt sin3 t.dt cost 15 15 0 0 4 3 4 2 t (1 t )dt t Đến đây học sinh thường rất 3 1 1 lúng túng vì cận là số lẻ, do đó 15 15 15 2 33 15 2 192 4 3 192 3 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 25
  26. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng các em không tìm ra được đáp số chính xác. - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng phép đổi biến đúng khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 x2 ( thông thường ta đặt x = sint hoặc x = cost), nhưng đối với bài toán này khi mà cận là giá trị không đặc biệt, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể với x = 1/4 ta không tìm chính xác được t. * Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ b dạng I c2 x2dx , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích a phân bằng cách đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo biến t nếu cận của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt, còn nếu không thì ta phải tìm phương pháp khác. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 26
  27. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 4 3 dx * Ví dụ 2 : Tính tích phân : I= 0 1 sin x Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng x 2dt dx Đặt t =tan thì dx = ; 2 1 t 2 I = 0 1 sin x x 0 t 0; Đổi cận: 4 4 x 4 3 3 d x t 3 dx 2 4 3 0 0 2 x 3 3 1 cos x cos 2dt 2dt 2 2 4 I= (1 t)2 = (1 t)2 4 0 0 x 3 2 tan 0 tan( ) 1 Do hàm dưới dấu tích phân = 2 4 3 4 không xác định tại 1 3;0 3 1 2 1 3 1 1 3 3 1 Nên tích phân đã cho không tồn tại. - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : x * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng phép đổi biến đặt t = tg 2 4 x x 0; nhưng tại x = thì tg không có nghĩa. 3 2 * Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi sử dụng phép đổi biến đặt t = u(x) cần xét xem hàm số có xác định trên đoạn nối hai cận ? Nếu không xác định thì ta phải tìm phương pháp khác. Ví dụ: khi gặp tích phân hàm b msinx ncosx p lượng giác dạng I dx , nếu tích phân tồn tại thì thông a sinx cosx  x thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = tg đổi cận, chuyển về tính 2 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 27
  28. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng tích phân theo biến t nhưng cần chú ý xét t trên đoạn [a; b], nếu không xác định thì ta phải tìm phương pháp khác. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 7 x 3 2 dx dx A = 2 B = 2 0 1 x 1 x x 1 dx dx C = D = 0 sin x 0 1 cos x 2.2.3. Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa: 0 1 I dx * Ví dụ 1 : Tính tích phân : 2 1 x 2x 2 Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng 0 1 0 1 0 1 I dx I dx dx 2 2 2 1 x 2x 2 1 x 2x 2 1 (x 1) 1 0 1 Đặt x + 1 = tant dx (x 1)2 1 1 1 dx dt (1 tan2 t)dt . arctan(x 1) 0 cos2t 1 arctan0 arctan( 1) x 0 t ; 4 Đổi cận: 4 x 1 t 0 4 1 I .(1 tan2 t)dt 2 0 1 tan t 4 dt t 4 0 0 4 - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 28
  29. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng công thức SGK hiện hành 1 không có: dx arctanx c ( thường có trong các sách tham khảo). 1 x2 * Cách khắc phục: - Giúp các em nhớ công thức và cách chứng minh một số công thức nguyên hàm mở rộng. Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân dạng này thì không được áp dụng thẳng mà phải chứng minh trước rồi mới sử b 1 dụng. Ví dụ: khi gặp tích phân dạng I dx , thì ta tính tích phân 2 2 a c x bằng cách đặt x = c.tant (hoặc x = c.cott). Chú ý công thức 1 1 1 tan2 t ; 1 cot2 t cos2t sin2 t Một số công thức nguyên hàm mở rộng 1 1 x 1)dx arctg C x 2 a 2 a a 1 1 x a 2) dx ln C x 2 a 2 2a x a 1 x dx arcsin C 3) 2 2 a x a 1 dx ln x x 2 a 2 C 4) 2 2 x a 2 2 2 x 2 2 a x 5) a x dx a x arcsin C 2 2 a 2 2 2 x 2 2 a 2 2 6) x a dx x a ln x x a C 2 2 Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 1 2 A=dx B=x2 1.dx 0 4 x2 1 2 2 C= dx D=2 x2 .dx 1 2 0 x 2 2 1 1 1 E= dx F= dx 0 x2 2 0 4x2 5 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 29
  30. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 2.2.4. Sai lầm do hiểu sai bản chất công thức: 2 x * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I xe dx 0 Cách giải sai của học sinh Cách giải đúng u x u' 1 u x du dx Đặt x x Đặt x x v' e v e dv e dx v e 2 2 2 2 I xex exdx I xex exdx 0 0 0 0 2 2 2e2 ex 2e2 ex 0 0 2e2 e2 1 e2 1 2e2 e2 1 e2 1 - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích u x u' 1 u x du dx phân từng phần nên đã viết x x thay vì. x x v' e v e dv e dx v e * Cách khắc phục: Giải thích cho học sinh hiểu cặn kẽ vai trò và ý nghĩa của từng công thức, từng kí hiệu. * Trên đây là một số sai lầm khá tinh vi mà học sinh mắc phải khi tính tích phân, đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh. Những sai lầm này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Để khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên vẫn cần phải giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 30
  31. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài. Giáo viên cũng nên tạo cho học sinh thói quen “tự vấn”, “ tự phản biện” khi làm bài để phát hiện và hạn chế tối đa các sai lầm mắc phải. 2.3. Các bài tập tự luyện tổng hợp: / 4 2 2 1 2sin x (KB-O3) 2 (KB-O3) 1. dx 2. x x dx 0 1 sin 2x 0 2 x e 1 3ln x.ln x 3. dx (KA-O4) 4. dx (KB-O4) 1 1 x 1 1 x 3 / 2 2 (KD-O4) sin 2x sin x (KB-O5) 5. ln(x x)dx 6. dx 2 0 1 3cos x / 2 /2 sin 2x cos x (KB-O5) sinx (KD-O5) 7. dx 8. (e cosx)cosxdx 0 1 cos x 0 1 /2 sin2x (KA-O6) 2x (KD-O6) 9. dx 10. (x 2)e dx 2 2 0 cos x 4sin x 0 ln5 dx e (KB-O6) x3.ln2 xdx 11. x x 12. ( K D -07) ln3 e 2e 3 1 6 4 tg x 4 sin x dx dx 4 13. cos2 x ( K A-08 ) 14. 0 0 sin 2x 2 1 sin x cos x 2 ln x (KB-O8) dx 15. 3 ( K D-08 ) 1 x Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 31
  32. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 4. Thiết kế một giáo án chi tiết Giáo án tiết tự chọn tuần 20 Bài tập TÍCH PHÂN ( Tiết 1) I. Mục tiêu bài học: Qua bài học,học sinh cần nắm được: 1. Về kiến thức - Hiểu và nhớ định nghĩa tích phân . - Hiểu và nhớ công thức đổi biến số và công thức tích phân từng phần. - Biết 2 phương pháp tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần. 2. Về kĩ năng: - Vận dụng thành thạo và linh hoạt 2 phương pháp này để giải các bài toán tính tích phân - Nhận dạng bài toán tính tích phân,từ đó có thể tổng quát hoá dạng toán tương ứng. - Biết nhận ra những lỗi thường gặp trong khi giải toán và khắc phục được. 3. Về tư duy, thái độ - Tích cực, chủ động,độc lập, sáng tạo - Biết quy lạ về quen - Biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn - Tư duy lôgic và làm việc có hệ thống * Trọng tâm: Biết nhận ra những lỗi thường gặp trong khi giải toán và khắc phục được II. Chuẩn bị phương tiện dạy học : 1. Chuẩn bị của giáo viên : - Giáo án, sách giáo khoa; - Câu hỏi phát vấn cho học sinh vừa mang tính chất gợi mở, vừa chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường xuyên mắc phải trong quá trình tính tích phân nhưng vẫn tạo được niềm tin và sự hứng thú cho học sinh, tránh gây sự chán nản, mất đi hứng thú trong quá trình học tập, tìm tòi và tư duy. 2. Chuẩn bị của học sinh : - Học bài cũ và ôn lại những kiến thức về tích phân đã được học. - Các đồ dùng học tập, SGK, vở ghi , nháp. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 32
  33. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng III. Phương pháp dạy học chính: Kết hợp các phương pháp: Vấn đáp gợi mở, luyện tập thực hành và hoạt động nhóm trên nền tảng là phương pháp nêu vấn đề và giải quyết vấn đề. IV. Tiến trình dạy học: 1. Ổn định tổ chức lớp ( 2 phút ): - Kiểm tra sĩ số. - Ổn định tổ chức lớp. - Chia nhóm học sinh. 2. Kiểm tra bài cũ( 4 phút ): - Giáo viên (GV) nêu đề bài và yêu cầu học sinh (HS) lên bảng trình bày lời giải. Bài toán: Nhắc lại định nghĩa của tích phân - GV gọi một HS nhận xét. - GV chuẩn kiến thức - GV dẫn dắt vào bài mới. 3. Bài mới (35 phút). * Gợi động cơ, hướng đích: ( 1 phút ) Trong các tiết trước chúng ta đã tìm hiểu các khái niệm, tính chất của tích phân và các phương pháp tính. Trong các tiết luyện tập ta đã giải quyết một số dạng toán tính tích phân. Tuy nhiên còn nhiều bạn còn lúng túng, bế tắc khi làm bài, có bạn thì biết làm nhưng lại ra kết quả sai, hoặc nhầm phương pháp. Vậy đâu là những sai lầm thường gặp khi giải toan? Và cách khắc phục ra sao? Trong bài học hôm nay, thầy và trò chúng ta cùng nhau tìm hiểu để làm sáng tỏ điều đó. GV giới thiệu nội dung và mục tiêu bài học. 3.1. Hoạt động 1: Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm ( 10 phút ) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung bài học - Gọi học sinh lên bảng. - Học sinh chú ý tìm * BT1 : Tính tích phân : - GV nhận xét và đánh lời giải. 3 I = x 1dx giá, chỉ ra những sai lầm 0 mà học sinh thường mắc Lời giải đúng 3 phải trong quá trình giải . I = x 1dx = Ví dụ: học sinh thường 0 3 1 làm BT1 như sau: (x 1) 2 d(x 1) 0 3 I = x 1dx = 3 2 3 0 = (x 1) 2 3 0 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 33
  34. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 3 3 2 x 1d(x 1) = (x 1)3 0 3 0 3 1 - Học sinh chú ý 2 14 = = (8 1) . 3 3 2 x 1 0 lắng nghe, ghi chép 1 1 1 = để không mắc phải * BT 2 : Tính tích phân 4 2 2 những sai lầm như 1 Ví dụ: học sinh thường I = (2x 1)5dx trên. 0 làm BT2 như sau: 1 Lời giải đúng 5 I = (2x 1) dx 1 5 0 I = (2x 1) dx = 0 1 1 = (2x 1)6 1 6 1 5 0 (2x 1) d(2x 1) 2 0 1 = (1 1) 0 1 6 1 = (2x 1)6 12 - Cách giải của 2 bạn học 0 1 sinh trên đúng hay sai? = (1 1) 0 12 - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : - Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. - Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm hàm hợp, đã dùng xn 1 xn dx c thay vì n 1 (ax b)n 1 (ax b)n dx c (n 1)a Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 34
  35. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng Củng cố HĐ1: - HS: học thuộc - GV: yêu cầu các em : bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản + Học thuộc bảng nguyên và nguyên hàm hàm hàm các hàm số cơ bản và hợp tương ứng. + Tự lập ra bảng nguyên hàm hàm hợp nguyên hàm của tương ứng. Giúp các em hàm hợp ứng với u = ax+b tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? 3.2. Hoạt động 2 : Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân: ( 8 phút ) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung bài học - Gọi một học sinh làm, - Học sinh chú ý tìm * BT3: Tính tích phân sau đó cho học sinh dưới lời giải. 2 dx lớp nhận xét để phát hiện I = 2 2 (x 1) lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. Lời giải đúng - HS thường giải sai như 1 Hàm số y = 2 sau : (x 1) không xác định tại x = 2 dx -1  2;2 suy ra hàm I = 2 2 (x 1) số không liên tục trên  2;2 do đó tích phân 2 d(x 1) trên không tồn tại. = 2 2 (x 1) 1 2 = - x 1 2 1 4 = - -1 = - 3 3 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 35
  36. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng - Phân tích lỗi sai để học - HS theo dõi, suy nghĩ và làm theo yêu sinh khắc phục : cầu của GV. * Nguyªn nh©n sai lÇm : 1 Hàm số y = (x 1) 2 - HS theo dõi, và làm theo hướng dẫn của không xác định tại x= -1 GV.  2;2 suy ra hàm số không liên tục trên  2;2 nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên. Củng cố HĐ2. yêu cầu các em học thuộc - Học sinh chú ý lắng định nghĩa tích phân. nghe, ghi chép để Giúp các em tạo thói không mắc phải quen: Khi tính b những sai lầm như f (x)dx cần chú ý xem trên. a hàm số y=f(x) có liên tục trên a;b không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 36
  37. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 3.3. Hoạt động 3: Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân: ( 8 phút ) Hoạt động của Hoạt động của GV Nội dung bài học HS - Gọi một học sinh làm, sau đó - Học sinh chú ý cho học sinh dưới lớp nhận xét tìm lời giải. * BT4: Tính tích phân : 1 để phát hiện lỗi sai (nếu có) I = xe xdx của học sinh trước và sửa lại. 0 Lời giải đúng - HS thường giải sai như sau : Đặt: 1 I = xe xdx u x du dx x x 0 dv e dx v e . Ta có: 1 1 x = . xdx e dx 1 1 x x 0 0 I xe e dx 0 0 1 1 x2 = . e x 1 2 1 0 0 e x e 0 1 1 e 1 = ( 1) 2 e 2 2 e 2e 1 . e 2 - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : - HS theo dõi, * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học suy nghĩ và làm theo yêu cầu của sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc GV. nguyên hàm của một tích, nên b - HS theo dõi, và đã dùng u(x).v(x).dx = làm theo hướng a dẫn của GV. b b u(x)dx v(x)dx . 0 a thay vì dùng công thức tích phân từng phần: Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 37
  38. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng b u(x)v '(x)dx u(x)v(x) |b a a b u '(x)v(x)dx a Củng cố HĐ3. yêu cầu các em học thuộc các tính tính chất của nguyên hàm - Học sinh chú ý và tích phân. Giúp các em tổng lắng nghe, ghi quát hóa các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân chép để không từng phần: mắc phải những -Cách làm : biểu diễn f(x)dx về dạng tích sai lầm như trên. u.dv = u.v’dx. + chọn u sao cho du dễ tính . + chọn dv sao cho dễ tính v = dv . + áp dụng công thức . - Dấu hiệu: hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau không thỏa mãn công thức nguyên hàm hợp. DẠNG I : sin kx b cos kx p( x). tgkx dx a e kx kx m đặt u = p(x) : đa thức ; b DẠNG II : p(x).ln x.dx đặt a u = lnx ; dv = p(x).dx . DẠNG III : b ekx sin lx . .dx đặt u = kx coslx a m ekx sinlx .dx kx ; dv = m coslx Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 38
  39. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng 3.4. Hoạt động 4: Sai lầm khi đổi biến số: ( 10 phút ). Hoạt động của Hoạt động của GV Nội dung bài học HS * BT 5: Tính tích phân * Hoạt động nhóm : GV chia - Caùc nhoùm thaûo : 1 lớp thành 4 nhóm: mỗi nhóm luaän trong 2 2 phút và trình bày 1 x2 dx có thời gian 2 phút để giải I = lời giải lên bảng 0 phương trình trên ra bảng, rồi con. Lời giải đúng treo các kết quả các nhóm lên - Kết quả của Đặt x = sint suy ra bảng để so sánh, sửa sai và kết nhoùm được treo dx=costdt lên bảng chính luận. x 0 t 0 và đối chiếu kết - HS thường giải sai như sau : quả trên bảng 1 x t * BT 5: phụ. 2 6 Đặt x= sint suy ra dx=costdt 6 1 I 1 sin2 t.cost.dt 2 I 1 sin2 t.cost.dt 0 0 6 1 1 2 2 2 cos t.dt 2 1 cos2t cos t.dt dt 0 0 0 2 1 6 1 cos 2t 2t sin2t 2 1 sin1 dt . 0 2 4 0 4 3 BT6: . Đặt t = 2x + 1 12 8 x 1 t 3 * BT6: Tính tích phân : x 0 t 1 1 dx 3 dt I I (2x 1)5 t5 0 1 Lời giải đúng t 4 3 20 . Đặt t= 2x+1 suy ra 4 1 81 dt= 2dx - Phân tích lỗi sai để học sinh - HS theo dõi, và x 1 t 3 khắc phục : làm theo hướng x 0 t 1 dẫn của GV. + khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không đổi cận. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 39
  40. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng + khi thực hiện đổi biến số học 3 dt sinh đã quên không tính vi I 5 2t phân dt. 1 t 4 3 8 1 . 1 1 10 4 1 8 3 81 Củng cố HĐ3: yêu cầu các em học thuộc các - Học sinh chú ý bước thực hiện phương pháp lắng nghe, ghi đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, chép để không kiểm tra kết quả bằng phép mắc phải những tính gần đúng trên máy tính bỏ túi sai lầm như trên. 3.5. Củng cố bài học Hướng dẫn công việc ở nhà ( 2 phút ): GV nhắc lại nội dung chính của bài và yêu cầu HS sau tiết học cần : - Hiểu và nhớ định nghĩa tích phân . - Vận dụng thành thạo và linh hoạt đổi biến số và công thức tích phân từng phần để giải các bài toán tính tích phân - Nhận dạng bài toán tính tích phân,từ đó có thể tổng quát hoá dạng toán tương ứng. - Biết nhận ra những lỗi thường gặp trong khi giải toán và khắc phục được. GV nhắc nhở HS về nhà:  Làm bài tập SGK và SBT.  Xem trước bài SGK. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 40
  41. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng III. Hiệu quả của SKKN: Ban đầu, học sinh gặp những khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân đã nêu. Chẳng hạn với bài tập: Tính tích phân 2 dx 4 2 đa số học sinh tính ra đáp số bằng . Qua nghiên cứu, ứng 2 (x 1) 3 dụng SKKN này vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả học sinh đạt được rất khả quan. Bằng việc dạy thực nghiệm trên hai lớp 12 của trường là: 12A2 ( 2010-2011), 12A1( 2011-2012) và lấy kết quả đối chứng trên hai lớp 12A1 ( 2010-2011), 12A2( 2011-2012). Kết thúc chương III, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ở cả lớp thực nghiệm và đối chứng để lấy kết quả so sánh ( thông qua làm một bài kiểm tra 45 phút theo phân phối chương trình, đề vẫn như đề đã khảo sát lớp 12a1 năm 2009- 2010, thuộc các dạng khác nhau để kiểm tra mức độ phán đoán và sử dụng phương pháp giải của học sinh). Kết quả thu được như sau: * Năm học 2010 – 2011: Lớp thực nghiệm 12A2 : Điểm Số HS đạt Tỉ lệ % [8 - 10] 17 40 [6,5 - 8) 14 33 [5 - 6,5) 9 21 [3,5 - 5) 3 6 [0 – 3,5) 0 0 N = 43 Lớp đối chứng 12A1: Điểm Số HS đạt Tỉ lệ % [8 - 10] 12 25 [6,5 - 8) 15 31 [5 - 6,5) 11 23 [3,5 - 5) 10 21 Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 41
  42. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng [0 – 3,5) 0 0 N = 48 * Năm học 2011 - 2012: Lớp thực nghiệm 12A1: Điểm Số HS đạt Tỉ lệ % [8 - 10] 29 62 [6,5 - 8) 10 21 [5 - 6,5) 8 17 [3,5 - 5) 0 0 [0 – 3,5) 0 0 N = 47 Lớp đối chứng 12A2 : Điểm Số HS đạt Tỉ lệ % [8 - 10] 12 24 [6,5 - 8) 15 31 [5 - 6,5) 12 24 [3,5 - 5) 10 21 [0 – 3,5) 0 0 N = 49 Qua kết quả khảo sát nhận thấy: • Mức độ học sinh đạt điểm khá, giỏi của hai lớp thực nghiệm khá lớn và có sự ổn định. Rất ít trường hợp bị điểm yếu kém. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 42
  43. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng • Các em học sinh trong lớp đều rất tự tin khi gặp các bài toán về tích phân từ đó thêm tự tin khi bước vào học những mảng kiến thức mới và ngày càng say mê môn toán. Cuối năm học kết quả tổng kết điểm trung bình môn Toán của các lớp như sau: NĂM SĨ GIỎI KHÁ TB YẾU KÉM LỚP HỌC SỐ SL % SL % SL % SL % SL % 2010 12A1 48 11 23 14 29 18 37,5 5 10,5 0 0 - 43 2011 12A2 13 30 17 40 11 26 2 4 0 0 2011 12A1 47 29 62 18 38 0 0 0 0 0 0 - 49 2012 12A2 12 24 26 52 9 18 2 4 0 0 C – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN Bài viết SKKN này của tôi nhằm cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về nguyên hàm, tích phân và những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; học sinh có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của nguyên hàm, tích phân nói riêng. Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về nguyên hàm, tích phân cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 43
  44. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng bình trở xuống. Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học). Ở cấp độ trường THPT Ba Vì, SKKN có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp. Qua việc thực hiện đề tài tôi nhận thấy: Học sinh đã có cách nhìn nhận một bài toán một cách mềm dẻo hơn. Các em học sinh có thêm thói quen kiểm tra, sửa sai khi cần thiết để phục vụ học tập và sinh hoạt, khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo. Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy say mê môn Toán hơn. Sau thực tế giảng dạy, tôi xin lưu ý với các bạn đồng nghiệp khi vận dung sáng kiến kinh nghiệm trên cần: - Dạy cho học sinh hiểu chắc chắn các kiến thức cơ bản về Nguyên hàm- tích phân: định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, phương pháp tính - Lựa chọn phương pháp dạy và học phù hợp với nội dung kiến thức và đối tượng học sinh. - Cần tạo thêm các bài toán mở rộng khác, các bài toán có nhiều phương pháp giải để giúp học sinh tìm được những lời giải ngắn gọn và thông minh nhất. II. KHUYẾN NGHỊ Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 chưa nhiều năm song với thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 44
  45. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng Khi áp dụng SKKN này vào giảng dạy tôi nhận thấy kết quả nhận biết của các em tăng lên rõ rệt, các em không còn nỗi lo sợ khi làm toán tích phân mà ngược lại còn rất hứng thú đối với loại toán này. Một chút kinh nghiệm nhỏ bé tôi muốn trao đổi với các thầy cô cùng giảng dạy bộ môn Toán, mong đón nhận ở các thầy cô lời góp ý, bổ xung để cho bản SKKN được hoàn thiện, áp dụng rộng rãi hơn đối với các trường THPT. * Từ những vấn đề nêu trên tôi có một số khuyến nghị sau: Đối với Hội đồng Khoa học cấp trường: - Cần động viên, khuyên khích giáo viên thường xuyên có những tiết sinh hoạt chuyên môn ở tổ theo dạng chuyên đề về một vấn đề nào vướng mắc trong quá trình giảng dạy hoặc vấn đề nào mà giáo viên cảm thấy hay và có nhiều ứng dụng trong giảng dạy đặc biệt là về phương pháp dạy và học. - Thường xuyên có những tiết dạy trong tuần hoặc trong tháng của GV trong tổ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm và tạo không khí giảng dạy trong toàn thể giáo viên. Đối với Sở giáo dục đào tạo Hà Nội: Nên thường xuyên tổ chức các chương trình “ Hội thảo chuyên môn”, “ Ngày hội sáng kiến kinh nghiệm” để mọi giáo viên đều có thể tham dự, học tập và chia sẻ kinh nghiệm. Với thời gian thực hiện theo chương trình chưa nhiều và còn mang nặng tính chủ quan, lại chưa áp dụng rộng rãi cho nhiều đối tượng, đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến, bổ sung thêm của đồng nghiệp để cho đề tài hoàn thiện hơn, góp phần cải tiến phương pháp giảng dạy, nâng cao chất lượng học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 45
  46. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng XÁC NHẬN CỦA Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2012 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Tác giả Phan Lạc Dương TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- SGK Gi¶i tÝch 12 – NXBGD – 2008. 2- SBT Gi¶i tÝch 12 – NXBGD – 2008. 3- Giới thiệu đề thi Đại học, Cao đẳng toàn quốc – Trần Tuấn Điệp- Nguyễn Phú Trường – Ngô Long Hậu – NXB Hà nội 2006. 4- Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập môn Toán – Nguyễn Thái Hòe – NXB Giáo dục 2003. 5- Tập hợp các bài giảng về tích phân trên thư viện giáo án Violet. 6- Tạp chí Toán học & tuổi trẻ. Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 46
  47. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng §¸nh gi¸ xÕp lo¹i cña héi ®ång khoa HỌC CƠ SỞ Ngµy th¸ng n¨m 2012 Chñ tÞch héi ®ång Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 47
  48. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng §¸nh gi¸ xÕp lo¹i cña héi ®ång khoa häc ngµnh Ngµy th¸ng n¨m 2012 Chñ tÞch héi ®ång Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 48
  49. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D­¬ng Tr­êng THPT Ba V× - Hµ Néi. 49