Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ

1. h) 4x3 x x 1 2x 1 0 i) 2 3 x2 4x 4 2 3 x 2 2x 11 2x 1 9x 6 0 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 2 3 x 2 x 3 y 1) 2 3 y 2 y 3 x x x 2 x 4 y 1 y 3 y 5 2) 2 2 x y x y 44 x y 1 y 1 x 0 3) x 1 y 2 2 2 x 2x 22 y y 2y 1 4) 2 2 y 2y 22 x x 2x 1 5 4 10 6 x xy y y 5) 2 4x 5 y 8 6 2 4x 1 x y 3 5 2y 0 6) 2 2 4x y 2 3 4x 7 2 2 2 2 x y x xy y 4 3 x 2y 9y 8 7) 3 2 3x 2 2 y 3 0 2xy 2 x x y 3 x2 2x 9 8) 2xy y y2 x 3 2 y 2y 9 2 2 4 2 2y 4y 3x x x 3 9) 3x 1 2y 2x y x 1 4 x y 1 x y 1 6x 2y 20 10) 3x y 2 3x y 2 2x 2y 18 38
2. 3 2 2 x x y x x y 1 11) 3 2 3 2 x 9y 6 x 3y 15 3 6x 2 2 2x 3y 6 y 2x 1 3 12) 2 x y y 2y x 2y x 7. Phương pháp lượng giác hóa a) Phương pháp: 1. Nếu x 1 thì có một số t với t ; sao cho: sint x và một số y với 2 2 y 0;  sao cho x cos y 2. Nếu 0 x 1 thì có một số t với t 0; sao cho: sint x và một số y với 2 y 0; sao cho x cos y 2 3. Với mỗi số thực x có t ; sao cho: x tant 2 2 4. Nếu: x , y là hai số thực thỏa: x2 y2 1, thì có một số t với 0 t 2 , sao cho x sint, y cost Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán: ➢ Nếu: x 1 thì đặt sint x với t ; hoặc x cos y với y 0;  2 2 ➢ Nếu 0 x 1 thì đặt sint x , với t 0; hoặc x cos y , với y 0; 2 2 ➢ Nếu: x , y là hai số thực thỏa: x2 y2 1, thì đặt x sint, y cost với 0 t 2 a ➢ Nếu x a , ta có thể đặt: x , với t ; , tương tự cho trường hợp sint 2 2 khác 39
3. ➢ X là số thực bất kỳ thi đặt: x tant, t ; 2 2 *) Lý do phải đặt điều kiện cho t: Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện x f t thì phải đảm bảo với mỗi x có duy nhất một t , và điều kiện trên để đảm bào điều này (xem lại vòng tròn lượng giác ) *) Cách xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos3t sint , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý: cos3t 4cos3 t 3cost ta có phương trình vô tỉ: 4x3 3x 1 x2 (1) 1 Nếu thay x bằng ta lại có phương trình: 4 3x2 x2 x2 1 (2) x Nếu thay x trong phương trình (1) bởi: (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: 4x3 12x2 9x 1 2x x2 (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x, .ta cũng xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác. b) Ví dụ minh họa VD1. Giải phương trình sau: 1 1 x2 x(1 2 1 x2 ) Giải: Điều kiện: 1 x2 0 1 x 1. Đặt x sint , t ; . Khi đó phương trình có dạng: 2 2 40
4. 1 1 sin 2 t sint(1 2 1 sin 2 t ) 1 cost sint(1 2cost) t 2cos sint sin 2t 2 t 3t t 2cos 2sin cos 2 2 2 t cos 0 t 1 t 3t 2 6 x 2cos (1 2 sin ) 0 2 2 2 3t 2 sin t x 1 2 2 2 1 x Vậy nghiệm của phương trình là: 2 x 1 2 2 x2 1 x 1 VD2.Giải phương trình: x2 1 2x 2x 1 x2 Giải Đk x 0, x 1 Ta có thể đặt: x tant, t ; 2 2 Khi đó pttt. 2sint cos2t cos2t 1 0 sint 1 sint 2sin2 t 0 1 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x 3 2 1 VD3. .Giải phương trình x 1 x2 1 Giải 1 Đk: x 1, ta có thể đặt x , t ; sint 2 2 cost 0 1 Khi đó ptt: 1 cott 1 1 sin2 x sin 2t 2 41
5. Phương trình có nghiệm: x 2 3 1 VD4. Giải phương trình sau: 3 6x 1 2x Giải 1 Lập phương 2 vế ta được:8x3 6x 1 4x3 3x 2 5 7  Xét: x 1, đặt x cost, t 0;  . Khi đó ta được S cos ;cos ;cos  mà 9 9 9  phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. c) Bài tập tham khảo Giải các phương trình sau: 1 2x 1 2x 1 2cos x 1) 1 2x 1 2x HD: tan x 1 2x 1 2x 1 2cos x 1 2) 1 1 x2 x 1 2 1 x2 ĐS: x 2 3) x3 3x x 2 HD: chứng minh x 2 vô nghiệm 2 3 3 2 1 x 4) 1 1 x2 1 x 1 x 3 3 b) Phần 2: Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải các phương trình sau 1) x 3 10 x2 x2 x 12 2) x 2 x 1 x 1 x x2 x 0 y 3 3) y 2 y 1 y 2 y 1 4) x2 x2 11 31 2 5) x 5 2 x 3 x2 3x 6) x2 3x 3 x2 3x 6 3 7) x2 x 1 1 8) x3 1 2 3 2x 1 9) 2 1 x x2 2x 1 x2 2x 1 10) 4 18 x 4 x 1 3 42
6. Bài 2: Giải các hệ phương trình sau x y x y 2 1) 2 2 2 2 x y x y 4 1 3x 1 2 x y 2) 1 7y 1 4 2 x y 5 4 10 6 x xy y y 3) 2 4x 5 y 8 6 x 1 y2 y 1 x2 1 4) 1 x 1 y 2 2 1 4 3 5) x y xy 2 2 x y 1 2 2 2xy x y 1 6) x y 2 x y x y y x x 3 3 7) x y x 1 1 x x 1 8) y y xy y 1 1 x 1 x y x y 1 x2 y2 9) x y 1 2 2x y 3 2x y 10) 3 x 6 1 y 4 y x 2 3y 3 x 2 11) 2 2 xy y x 2 9 13y 43
7. 2 3(y y)(1 x 2) x 2 x 2 1 12) 2 2y 2y x 2 2 2 x 3x 1 2y 4y 2 0 13) x 1 2y x 2. 44
8. 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Từ những kinh nghiệm thực tế giảng dạy và sự học hỏi của đồng nghiệp qua thử nghiệm vào thực tế thì chất lượng bài kiểm tra một tiết tăng lên rõ rệt như sau: - Tổng số bài kiểm tra: 43 bài. - Kết quả đạt được như sau: + Trước khi thực hiện sáng kiến: Điểm giỏi: 5 bài chiếm 14% Điểm khá: 10 bài chiếm 23,3% Điểm TB: 12 bài chiếm 33% Điểm yếu, kém: 16 bài chiếm 29.7% + Sau khi thực hiện sáng kiến Điểm giỏi: 12 bài chiếm 27, 9% Điểm khá: 21 bài chiếm 48,9% Điểm TB: 9 bài chiếm 20,9% Điểm yếu, kém: 1 bài chiếm 0,3% Qua đó kết quả làm bài kiểm tra tăng lên rõ rệt. Vậy khi giảng về bài các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ mỗi giáo viên cần khắc sâu cho học sinh đặc điểm sử dụng các phương pháp giúp các em lựa chọn được cách giải ngắn gọn, hiệu quả nhất cho mỗi bài. Trong khi tiếp nhận bài toán mỗi giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu kỹ nội dung của bài, gợi mở cho học sinh những bài toán quen thuộc có sử dụng phương pháp giải, biết các đặc điểm để nhận dạng các phương trình, và hiểu rõ cơ sở dẫn đến lời giải. Trong quá trình tìm đường lối giải học sinh phải luôn kiểm tra quá trình suy luận có logic không? Vận dụng các khái niệm và phương pháp giải đúng hay sai? Các dữ liệu đã đầy đủ và chính xác chưa? Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chia bài toán thành các bước nhỏ sau đó hướng dẫn thực hành giải bài toán đó. Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tôi tâm đắc và khẳng định phương pháp có tác dụng tốt trong giảng dạy các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. 45
9. Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập. 46
10. III. Kết luận, kiến nghị - Hiện nay thư viện trường THPT Trần Văn Lan đã trang bị tài liệu phục vụ cho việc dạy và tuy nhiên chưa có nhiều sách tham khảo hay đi sâu về các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để cho giáo viên có thêm nguồn tư liệu cho giảng dạy và để các em học sinh được tìm đọc thêm trong quá trình bồi dưỡng và tự học. - Trong quá trình giảng dạy, mặc dù nhận thức của các em học sinh trong trường chưa thật sự nhanh như so với các trường bạn, tuy nhiên với sự sưu tầm, tổng hợp các phương pháp và kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, các thầy cô hãy mạnh dạn giành thêm thời gian để rèn luyện cho học sinh loại bài toán giải các phương trình và hệ phương trình vô tỉ để các em không khỏi bỡ ngỡ và lúng túng trước các đề thi qua đó nâng cao điểm số bài kiểm tra và bài thi của mình. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHẠM THỊ HOA 47
11. TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN VĂN LAN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) Ngày tháng năm 2014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH (xác nhận, đánh giá, xếp loại) Ngày tháng năm 2014 48
12. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Giải tích 12NC (Đoàn Quỳnh- Tổng Chủ biên - NXB GD - 2008) 2. Sách bài tập Giải tích 12 (Vũ Tuấn - Chủ biên -NXB GD - 2011) 3. Sách giáo viên Giải tích 12NC (Đoàn Quỳnh- Tổng Chủ biên -NXB GD - 2008) 4. Phân loại và phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình đại số (Th.S Lê Thị Hương-NXB ĐHQGHN) 5. Đại số sơ cấp (Trần Phương-Lê Hồng Đức- NXB ĐHQGHN) 6. Phương pháp giải toán đại số (Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc-NXB ĐHQGHN) 7. Phân loại chuyên đề giải đề thi đại học theo phương pháp mới môn Toán (Trần Phương - NXB thành phố HCM) 8. Các trang tài liệu trên mạng như: tailieu.vn, hocmai.vn, violet.vn 49