Sáng kiến kinh nghiệm Đa thức Chebyshev

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Đa thức Chebyshev

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐA THỨC CHEBYSHEV Môn: Toán Tên tác giả: Nguyễn Thị Lưu Luyến Giáo viên môn Toán NĂM HỌC 2011 – 2012
2. Chương 1: MỞ ĐẦU I/ Lý do chọn đề tài Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán. Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có, và tự có, phát huy trí lực trong học sinh. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông bản thân chúng tôi cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh khá giỏi, song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn rất nhiều hạn chế. Nhiều bài toán trong các kì thi như học sinh giỏi của cụm, thi vào các trường đại học, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa không đến nổi khó, thế nhưng nhiều học sinh không làm được mặc dầu học sinh đã được làm quen các dạng toán qua bài giảng của thầy, qua sách vở. Đại đa số các em chỉ chú trọng vào việc tìm ra một lời giải của bài toán mà ít nghĩ tới lời giải đó được xuất phát từ đâu? Tại sao lại như thế ? Nguồn gốc, cội nguồn của bài toán đó là gì ? Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầu đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bị động trước các bài toán khó. Làm thế nào giúp học sinh tìm ra cội nguồn của những bài toán về hàm số xác định trên miền [-1;1] với miền giá trị là [-1;1]. Tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài “ Đa thức Chebyshev”. II/ Giả thiết khoa học Tôi thấy rằng nếu dạy các bài toán về hàm số xác định trên miền [-1;1] với miền giá trị là [-1;1] với hệ thống lí thuyết đầy đủ của đa thức Chebyshev, bài tập được sắp xếp một cách hợp lí, khoa học sẽ góp phần rèn luyện khả năng vận dụng linh hoạt, khả năng sáng tạo, khả năng tư duy và các thao tác trí tuệ quan trọng trong giải toán của học sinh phổ thông. III/ Nhiêm vụ nghiên cứu - Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán về hàm số xác định trên miền [-1;1] với miền giá trị là [-1;1] . Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết cách nhận dạng đa thức Chebyshev. - Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng, lôgíc, có sáng tạo đổi mới không rườm rà phù hợp với đội tượng học sinh khá giỏi của trường THPT. Giới thiệu được các dạng đa thức Chebyshev điển hình và một số ví dụ minh hoạ.
3. - Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh Khá, Giỏi khối 10, 11 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán. IV/ Những vấn đề mới - Xây dưng được một hệ thống lí thuyết và bài tập có tác dụng tốt trong việc phát triển và rèn luyện trí tuệ cho học sinh. - Các kết quả của đề tài thiết thục góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông. V/ Phương pháp nghiên cứu Phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số giáo trình về phương pháp dạy học toán, tuyển tập các đề thi dại học Việt Nam, các tài liệu trên mạng, các tạp trí về giáo dục và các tài liệu có liên quan. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua các năm trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với các đồng nghiệp để từ đó xây dựng được một hệ thống lí thuyết , bài tập về đa thức Chebyshev nhằm rèn luyện các hoạt động trí tụê cho học sinh . Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho đối tượng là các học sinh Khá, Giỏi của trường trung học phổ thông để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của các nội dung được viết trong đề tài. VI/ Cáu trúc đề tài: Đề tài bao gồm hai chương: - Chương 1: Mở đầu - Chương 2: Đa thức Chebyshev.
4. Chương 2: ĐA THỨC CHEBYSHEV I/ Các định nghĩa và tính chất: Xét Tn (x) cosn , x cos , 0; , n ¥ Ta có T0 (x) cos0 1 T1(x) cos x 2 2 T2 (x) cos2 2cos 1 2x 1 3 3 T3 (x) cos3 4cos 3cos = 4x 3x 2 2 2 4 2 T4 (x) cos4 2cos 2 1 2(2x 1) 1 8x 8x 1 1) Định nghĩa Với x 1 , x cos thì Tn (x) cosn , 0; , n ¥ là đa thức bậc n của x và được gọi là đa thức Chebyshev. 2) Tính chất Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, được sử dụng rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán về đa thức. Sau đây là một số tính chất quan trọng mà việc chứng minh chúng rất đơn giản: Tính chất 1: Tn (x) cosn , x cos , 0; , n ¥ có tập xác định là x 1, tập giá trị là Tn (x) 1. Tính chất 2: Tn (x) cosn , x cos , 0; , n ¥ là đa thức bậc n với hệ số của xn là 2n 1 . Tính chất 3: Tn (x) là hàm số chẵn khi bậc của Tn (x) là bậc chẵn và là hàm số lẻ khi bậc của Tn (x) là bậc lẻ. Tính chất 4: Tn (x) cosn 0có đúng n nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1;1]. Tính chất 5: Tn (x) 1 có n+1 nghiệm phân biệt trong đoạn [-1;1]. k Các nghiệm có dạng là x cos với , k 0;n, k ¢ . k k n Thậtvậy: k cosn 1 cos2n 1 sin n 0 n k , k ¢ , k ¢ n
5. k Vì 0 nên 0 0 k n . (Đpcm) n Chẳng hạn : T1(x) =1 có hai nghiệm phân biệt là x cos k với k k , k 0;1,k ¢ hay x 1 . k T (x) =1 có ba nghiệm phân biệt là x cos với , k 0;2,k ¢ 2 k k 2 tức là có ba nghiệm x=0 hoặc.x 1 k T (x) =1 có bốn nghiệm phân biệt là x cos với , k 0;3,k ¢ 3 k k 3 1 tức là có bốn nghiệm x ;x 1 . 2 Tính chất 6: Tn (x) cosn thỏa mãn hệ thức truy hồi: Tn 1(x) 2xTn (x) Tn 1(x) . Thật vậy: Với Tn (x) cosn thì Tn 1(x) cos n-1   Tn 1(x) Tn 1(x) 2cosn .cos Tn 1(x) cos n+1  Hay Tn 1(x) Tn 1(x) 2x.cosn 2x.Tn (x) (đpcm) Chẳng hạn: Ta cần tính T5 (x) . Ta có: 4 2 3 T5 (x) 2x.T4 (x) T3 (x) 2x(8x 8x 1) 4x 3x 16x5 16x3 2x 4x3 3x 16x5 20x3 5x. II/ Các ứng dụng Một trong những dấu hiệu để nhận biết bài toán đa thức có sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev hay không đó là miền giá trị của đa thức. Các bài toán trên miền [-1;1] đều gợi ra cách giải bằng phương pháp sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev. Sau đây ta xét lớp các bài toán về đa thức có sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev. Bài 1: Cho hàm số y 4x3 a 3 x2 ax . Tìm a để y 1 khi x 1 . Giải: Vì y 1 khi x 1 nên ta có :
6. y 1 1 7 2a 1 y 1 1 1 1 1 7 2a 1 1 7 2a 1 1 1 a 3 a a 1 y 1 1 1 1 4 a 1 4 2 4 2 4 4 2 4 3a 5 4 3a 5 1 1 a 3 a 1 1 y 1 1 2 4 2 4 4 2 4 a 3 3 a 5 a 3 . 1 3 a 3 Ngược lại, khi a=-3 thì y 4x3 3x . Đặt x cos với 0;  thì y cos3 rõ ràng thỏa mãn y 1 khi x 1 . Bình luận: Nếu chỉ xem lời giải và không hiểu rõ nguồn gốc, cội nguồn của bài toán thì học sinh sẽ thấy lời giải mất tự nhiên ở việc là tại sao ta chỉ xét giá trị 1 của hàm số tại các giá trị của x là 1; mà không phải là các giá trị khác. 2 1 Thực chất của việc xét giá trị của hàm số tại các điểm 1; chính là xét giá 2 trị của hàm số tại các nghiệm của đa thức Chebyshev bậc ba. Bài 2: Cho hàm số y 4x3 mx . Tìm m để y 1 khi x 1 . Giải: Vì y 1 khi x 1 nên ta có : y 1 1 y 1 1 4 m 1 1 4 m 1 5 m 3 1 4 m 1 2 m 1 2 m 3 y 1 2 3 m 1 1 m 3a 5 1 1 1 1 2 2 4 4 y 1 2 .
7. Ngược lại, khi m=-3 thì y 4x3 3x . Đặt x cos với 0;  thì y cos3 rõ ràng thỏa mãn y 1 khi x 1 . Bài 3: Tìm a, b, c để 4x3 ax2 bx c 1, với mọi x thỏa mãn x 1 . Giải: Cách 1: Điều kiện cần: Vì y 1 khi x 1 nên ta có : y 1 1 y 1 1 5 a b c 3 1 3 a b c 5 2 1 I y 1 2 6 a 2b 4c 2 3 2 a 2b 4c 6 4 1 y 1 2 a b c 3 Từ (1) và (2) ta có: 2b 6 b 3 5 . a b c 3 a 2b 4c 6 Từ (3) và (4) ta có: 4b 12 b 3 6 . a 2b 4c 6 Từ (5) và (6) ta được b=-3. Thế b=-3 vào hệ (I) ta có: 2 a c 0 0 a c 2 a c 0 a c 0 . 8 a 4c 0 a 4c 0 0 a 4c 8 . Điều kiện đủ: Khi a=c=0, b=-3 thì y 4x3 3x . Đặt x cos với 0;  thì y cos3 rõ ràng thỏa mãn y 1 khi x 1 . Cách 2: Giả sử tồn tại các số a, b, c thỏa mãn điều kiện bài toán. Đặt f (x) 4x3 ax2 bx c,M Max f(x) . x  1;1 Ta có f (1) 4 a b c , f ( 1) 4 a b c , 1 1 a b 1 1 a b f c , f c 2 2 4 2 2 2 4 2
8. 1 1 1 1 6M f (1) f ( 1) 2 f 2 f f (1) f ( 1) 2 f 2 f 2 2 2 2 a a 4 a b c a b c 1 b 2c 1 b 2c 2 2 8 2 6 . Vậy M 1 . 1 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f (1) f ( 1) f f M 1 , đồng 2 2 1 1 thời f (1), f ( 1), f , f đôi một có tích không âm. Điều đó tương 2 2 đương với 4 a b c 1 4 a b c 1 1 a b c 1 2 4 2 1 1 1 a b f (1) f ( 1) f f 1 c 1 2 2 2 4 2 1 1 4 a b c 1 f (1) f ( 1) f f 1 2 2 4 a b c 1 1 a b c 1 2 4 2 1 a b c 1 2 4 2 2b 8 2 a c 0 b 3 a 2b 4c 2 4 . a c 0 a 4c 6 2 4 a 4c 0 Mặt khác, từ giả thiết thì M 1 , do đó phải có M=1 và xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức trên tức a=c=0, b=-3. Ngược lại, khi a=c=0, b=-3 thì y 4x3 3x . Đặt x cos với 0;  thì y cos3 rõ ràng thỏa mãn y 1 khi x 1 .
9. Bài 4: Tìm a, b để 8x4 ax2 b 1, x  1;1 . Giải: Cách 1: Điều kiện cần: Vì y 1 khi x 1 nên ta có : y 1 1, y 1 1 y 0 1 2 y 1 2 2 y 2 b 1 1 b 1 1 b 1 8 a b 1 1 a b 8 1 (I) 9 a b 7 . 1 1 2 a 2b 4 2 6 a 2b 2 8. a. b 1 4 2 a b 7 Từ b 1 . Lại do b 1 nên b=1. a 2b 6 9 a 1 7 10 a 8 Thế b=1 vào hệ (I) ta có a 8 . 6 a 2 2 8 a 4 . Điều kiện đủ: Khi a=-8, b=1 thì y 8x4 8x2 1 . Đặt x cos với 0;  thì y cos4 rõ ràng thỏa mãn y 1 khi x 1 . Cách 2: Giả sử tồn tại các số a, b thỏa mãn điều kiện bài toán. Đặt f (x) 8x4 ax2 b, M Max f(x) và theo giả thiết M 1 . x  1;1 Ta có 2 1 a f (0) b , f (1) 8 a b , f 8. b . 2 4 2
10. M f (0) Do M Max f(x) nên M f (1) . Từ đó x  1;1 2 M f ( ) 2 2 2 4 4M f (0) f (1) 2 f f (0) f (1) 2 f 4. Vậy M 1 . 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f (0) f (1) f 1 , đồng thời 2 2 f (0), f (1), f đôi một cùng dấu. Điều đó tương đương với 2 2 f (0) f (1) f 1 2 a 8 2 b 1 . f (0) f (1) f 1 2 Ngược lại: Khi a=-8, b=1 thì y 8x4 8x2 1 . Đặt x cos với 0;  thì y cos4 rõ ràng thỏa mãn y 1 khi x 1 . . Bình luận: Các giá trị của x mà ta xét ở trên chính là các nghiệm của đa thức 2 Chebyshev bậc bốn, đó là các nghiệm 0; 1; . 2 Bài 5: Chứng minh rằng nếu với mọi x  1;1 ta có ax2 bx+c h thì a b c 4h . Giải: Đặt f (x) ax2 bx+c , khi đó theo giả thiết f (x) h và ta có f (1) a b c, f (1) h , f ( 1) a b c, f ( 1) h , f (0) c, f (0) h . Từ đó ta có f (1) f ( 1) f (1) f ( 1) a f (0), b , c f (0) . 2 2
11. Vậy: f (1) f ( 1) f (1) f ( 1) a b c f (0) f (0) 2 2 f (1) f ( 1) f (1) f ( 1) f (0) f (0) 2 2 2 2 h h h h h h 4h. 2 2 2 2 Như vậy ta có điều phải chứng minh là a b c 4h . Bài6: Chof (x) ax2 bx+c thỏa mãn điều kiện f ( 1) 1, f (0) 1, f (1) 1 . 5 Chứng minh rằng f (x) khi x 1 . 4 A B A B Giải: Đặt A a b c, B a b c , thế thì a c, b . 2 2 Theo giả thiết: f (1) A 1, f ( 1) B 1, f (0) c 1 . Ta có 2 A B 2 A B f (x) ax bx c c x x c 2 2 A B = x2 x x2 x c 1 x2 . 2 2 1 1 Vậy f (x) x2 x + x2 x + 1-x2 . 2 2 a) Với 0 x 1 , ta có 1 1 1 1 f (x) x2 x + x2 x + 1-x2 = x2 x + x2 x 1-x2 2 2 2 2 =1+x x2. b) Với 1 x 0 , ta có 1 1 1 1 f (x) x2 x + x2 x + 1 x2 = x2 x + x2 x 1 x2 2 2 2 2 =1 x x2 Các kết quả trên chứng tỏ rằng với x 1 thì 2 2 5 1 5 f (x) 1 x x - x . 4 2 4
12. Bài 7: Cho đa thức hệ số thực .Biếtf (x )rằng ax với3 bmọix2 cx d 0 x  1;1 ta có f (x) . Tìm giá trị lớn nhất của a , b , c , d . Giải: Đặt A f ( 1) a b c d 2 4 4 2 1 a b c a A B C D B f d 3 3 3 3 2 8 4 2 1 1 1 a b c b A D E C f d , thế thì 2 2 . 2 8 4 2 1 8 8 1 D f (1) a b c d c A B C D 6 6 6 6 E f (0) d d E Theo giả thiết: 1 1 f ( 1) A , f B , f C , 2 2 . f (1) D , f (0) d Ta có 2 4 4 2 2 4 4 2 a A B C D A B C D 3 3 3 3 3 3 3 3 2 4 4 2 4 . 3 3 3 3 Hay a 4 . Tương tự b 2 , c 3 , d . Max a 4 Max b 2 Vậy . Max c 3 Max d Bài 8: Cho f (x) x2 ax+b . Chứng minh rằng với mọi a, b trong ba số f (0) , f (1) , f ( 1) có ít nhất một 1 số lớn hơn hoặc bằng . 2 Lời giải tương tự như bài 6.
13. KẾT LUẬN Qua hệ thống lí thuyết và bài tập về đa thức Chebyshev ở trên cho ta thấy rằng không nên áp đặt học trò khi tìm lời giải của một bài toán. Đơn giản bởi vì nếu áp đặt như vậy có nghĩa là áp đặt tư duy của người thầy cho học sinh, dẫn đến học sinh khó có thể vượt được qua người thầy về mặt tư duy và như vậy hạn chế đi sự phát triển trí tụê của học trò.Chúng ta nên kích thích sự sáng tạo, tìm tòi của học sinh thông qua các chuyên đề mà qua đó học trò tìm ra được nguồn gốc của các bài toán và trên cơ sở đó sáng tạo ra những bài toán khác. Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi mà tôi đã ghi nhận được trong quá trình giảng dạy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để tôi có thể dạy cho học sinh chuyên đề này có hiệu quả hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Nguyễn Thị Lưu Luyến
14. Kết luận Trong quá trình giảng dạy cho đối tượng là học sinh khá giỏi tôi đã đưa chuyên đề nêu trên vào bài giảng của mình. Tôi nhân thấy phần đa các em đều hiểu và thấy thích thú với những vấn đề mới mẻ đó, các em đã biết linh hoạt sử dụng phương pháp nêu trên để giải các bài tương tự, đồng thời còn sáng tạo ra các bài toán mới. Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình giảng dạy mà tôi đã ghi nhận được, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp . Tôi xin chân thành cảm ơn.
15. SẠ GIÁO DẠC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NẠI TRƯẠNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM BÁO CÁO THÀNH TÍCH ĐẠ NGHẠ TẠNG DANH HIẠU “CHIẠN SĨ THI ĐUA CẠP CƠ SẠ” Năm hẠc 2011 - 2012 HẠ và tên: NGUYẠN THẠ LƯU LUYẠN ChẠc vẠ : Giáo viên Đơn vẠ công tác: tổ Toán Trưổng THPT Cao Bá Quát- Gia Lâm Hà NẠi tháng 5 /2012