›
›
›

Sáng kiến kinh nghiệm Hình học hóa bài toán số phức

pdf 39 trang binhlieuqn2 03/03/2022 6743
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Hình học hóa bài toán số phức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfsang_kien_kinh_nghiem_hinh_hoc_hoa_bai_toan_so_phuc.pdf

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Hình học hóa bài toán số phức

  1. 1. Giá trị lớn nhất của P z 1 i A. 3 2 5 . B. 3 2 5 . C. 5 3 2 . D. 23 6 10 . 2. Giá trị nhỏ nhất của P z 1 i A. 3 2 5 . B. 3 2 5 . C. 5 3 2 . D. 23 6 10 . Hướng dẫn giải: Giả sử điểm M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi . Khi đó tập hợp điểm M là đường tròn C tâm I 2;4 , bán kính R 5 ; C: x 22 y 4 2 5 Gọi N 1;1 khi đó z 1 i MN . Do đó z 1 i MN ; z 1 i MN maxmax min min Ta có IN 1 2 2 1 4 2 3 2 R Nên N nằm ngoài đường tròn C (như hình vẽ bên) MNmax NB NI R 3 2 5 MNmin NA NI R 3 2 5 3. Biết mô đun của số phức w z 1 i đạt giá trị lớn nhất. Khi đó phần thực của số phức z bằng: 10 10 10 10 A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 4 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ ta có:  NB  PMB  NB .* NI max NI NB NI R 3 2 5 10  với 1 , NI 3;3 NI NI 3 2 6 10 10 xB 1 1 .3 xB 2 6 2 * 10 10 y 1 1 .3 y 4 B B 6 2 10 10 z 2 4 i 2 2 Bài toán 3.4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz 4 2 i 5 . 23
  2. 1. Giá trị nhỏ nhất của z bằng: A. z 3 5 . B. z 5 . C. . D. min min z min 5 . z min 13 2. Biết số phức z x yi x, y sao cho z nhỏ nhất. Tính P 2 x y A. P 9. B. P 15 . C. P 4 . D. P 5 . 3. Giá trị lớn nhất của P z 1 i A. 3 2 5 . B.3 2 5 . C. 5 3 2 . D. 23 6 10 . Hướng dẫn giải: z1 z1 Tôi hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất ,,z z z1 z 2 z 1 z 2 như sau: z2 z 2 iz 4 2 i 5 iz 4 2 i 5 z 2 4 i 5 i i P z 1 i z 1 i z 1 i Khi đó chuyển bài toán 2.3 về bài toán 2.1, bài toán 2.2. Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau: Tổng quát 3: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn. Tổng quát 3.1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z a bi R .Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z Gọi MI, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 a bi Khi đó M x; y thuộc đường tròn C tâm I a; b , bán kính R z OB OI R a2 b 2 R max z OM  2 2 z OA OI R a b R min Để tìm tọa độ điểm A, B ta có thể làm theo 2 cách sau 24
  3. 2 2 x a y b R2  Cách 1: Tọa độ AB, là nghiệm của hệ Ax By C 0 Với Ax By C 0 là phương trình đường thẳng OI  a2 b 2 R   a2 b 2 R   Cách 2: OB . OI ; OA . OI a2 b 2 a2 b 2 Tổng quát 3.2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z a bi R . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z z0 Gọi MIN,, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z,, z1 a bi z 0 z z NB NI IB NI R 0 max z z0 MN  z z NA NI IA NI R 0 min Để tìm tọa độ điểm A, B ta có thể làm theo 2 cách sau: 2 2 x a y b R2  Cách 1: Tọa độ AB, là nghiệm của hệ Ax By C 0 Với Ax By C 0 là phương trình đường thẳng IN  NI R   NI R   Cách 2: OB . OI ; OA . OI NI NI Tổng quát 3.3: Cho số phức z thỏa mãn: z1. z z 2 R R 0 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z z 3 z2RR z 2 Pmax z 3 , P min z 3 z1 z 1 z 1 z 1 Bài toán xuất phát 4. Trong mặt phẳng cho đường tròn C và hai điểm AB, thỏa mãn: đường thẳng AB và C không có điểm chung và IA IB (với I là tâm đường tròn C ). Điểm M di động trên C . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P MA MB Lời giải: Gọi N là trung điểm của AB AB2 P MA MB 2 MA2 MB 2 mà: MA2 MB 2 2 MN 2 2 25
  4. Pmax MN m ax ; Pmin MN min 2 2 2 2 AB2 AB AB2 AB P 2 NK2 2 R IN ; P 2 NH 2 2 R IN max2 2 min 2 2 Bài toán 4.1: (Câu 46 – đề tham khảo THPT QG - 2018) Cho hai số phức z a bi a, b thỏa mãn: z 4 3 i 5 . Tính P a b khi z 1 3 i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. P 10. B. P 4 . C. P 6 . D. P 8 . Hướng dẫn giải: - Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I 4;3 , bán kính R 5 . - Gọi AB, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 1 3 i , z 2 1 i ; N là trung điểm của AB . Luôn có: IA IB - Đặt Q z 1 3 i z 1 i MA MB Q MA MB 2 MA2 MB 2 AB2 mà: MA2 MB 2 2 MN 2 2 Nên Qmax MN m ax N là hình chiếu vuông góc của M trên AB MIN,, thẳng hàng và MA MB ( vì IA IB ) MK  (như hình vẽ). NK NI R 2 5 5 3 5  NK   NK 3 5 3 Ta có NK . NI NI 4;2 , NI NI 2 5 2 xK 6 z 6 4 i yK 4 Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN của z 1 3 i z 1 i ta dường lại ở bước tính 2 2 2 AB 20 Qmax 2 2 NK 2 3 5 110 2 2 26
  5. Nếu bài toán yêu cầu tìm GTNN của z 1 3 i z 1 i yêu cầu tìm GTNN của AB2 2 20 MN MH  và 2 Qmin 2 2 NH 2 2 5 2 10 2 2 Nếu yêu cầu tìm z sao cho z 1 3 i z 1 i đạt GTNN tức là ta đi tìm tọa độ điểm H ta  NH  làm như sau: NH . NI NI Bài toán 4.2: Cho hai số phức z a bi a, b thỏa mãn: z 2 3 i 3. Tìm trị nhỏ nhất của z 2 5 i z 4 i A. 58 12 2 . B. 58 12 2 . C. 2 58 12 2 . D. 3 2 . Hướng dẫn giải: - Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I 2;3 , bán kính R 3. - Gọi AB, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 2 5 i , z 2 4 i ; N là trung điểm của AB . Luôn có: IA IB - Đặt Q z 2 5 i z 4 i MA MB Q MA MB 2 MA2 MB 2 AB2 mà: MA2 MB 2 2 MN 2 2 Nên Qmin MN min MH (như hình vẽ). NH NI R 2 3 3 2 2 2 AB Qmin 2 2 NH 2 58 12 2 2 Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán ta được các bài toán mới như sau: Tìm GTLN của z 2 5 i z 4 i ? 2 2 2 AB Qmax z25 i z 4 i 22 NK 223236 258122 max 2 Tìm số phức z sao cho z 2 5 i z 4 i đạt giá trị nhỏ nhất? Qmin MN min MH (như hình vẽ) 27
  6.  NH   3 2  3 2 2 3 3 2 NH ; NI NH NI H NI 2 2 2 3 2 2 3 3 2 z i 2 2 2 2 Tìm GTLN, GTNN của L z 2 5 i z 4 i ? 2 2 2 AB z 2 5 i z 4 i MA2 MB 2 2 MN 2 2 Vậy L đạt GTLN (GTNN) MN đạt GTLN (GTNN) , đưa về bài toán trên. Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau: Tổng quát 4: Cho số phức z thỏa mãn z z1 R . Tổng quát 4.1: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của z z2 z z 3 với z1 z 2 z 1 z 3 Gọi M, I, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z,,, z1 z 2 z 3 . Điểm I thuộc đường trung trực của AB. 2 2 2 2 AB z z2 z z 3 MA MB2 MA MB z z 2 z z 3 2 2 MN 2 (Với N là trung điểm của AB) Trường hợp 1: d I, AB R 2 2 AB 2 z z zzzz 2 2 NH2 2 2 dIABR , 3 2 2 3 min 2 2 2 2 AB 2 z z z z z z 2 2 NK2 2 2 d I , AB R 3 2 2 3 max 2 2 Trường hợp 2: d I, AB R z z z z z z 2 3min 3 2 z z 2 z z z z 2 8. R2 3 2 2 3 max 2 28
  7. Ta tìm tọa độ điểm HK, như sau:  d I, AB R   d I, AB R  Trường hợp 1: d I, AB R Ta có: NH . NI ; NK . NI NI NI  d I, AB R   d I, AB R  Trường hợp 2: d I, AB R Ta có: NH . NI ; NK . NI NI NI   Trường hợp 3: d I, AB R Ta có: HN ; IK NK 2 2 Tổng quát 4.2: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của z z2 z z 3 với z1 z 2 z 1 z 3 Gọi M, I, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z,,, z1 z 2 z 3 . Điểm I thuộc đường trung trực của AB. 2 2 2 AB z z z z MA2 MB 2 2 MN 2 2 3 2 2 2 z3 z 2 z z2 z z 3 2 d I , AB R Min 2 2 2 z3 z 2 z z2 z z 3 2 d I , AB R Max 2 Bài toán xuất phát 5. Trong mặt phẳng cho đường tròn C và đường thẳng ; , C không có điểm chung. Điểm M di động trên C , N là điểm di động trên . Tìm điểm M , N sao cho MN nhỏ nhất. Lời giải: Giả sử C có tâm là điểm I bán kính R Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với d cắt C , lần lượt tại KHJ,, (như hình vẽ) Khi đó ta có: HI MN Nên MNmin d I,, R M  H N  I Bài toán 5.1: Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn: z1 5 5, z 2 1 3 i z 2 3 6 i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 z 2 . 5 25 15 A. . B. . C. . D. 5 . 2 2 2 29
  8. Hướng dẫn giải: - Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường tròn tâm I 5;0 , bán kính R 5. - Quỹ tích các điểm biểu diễn N số phức z2 thuộc đường thẳng :8x 6 y 35 0 . 15 Ta thấy và C không cắt nhau do: d I, R 2 5 Nên từ hình vẽ ta có z z MN d R , 1 2min min 2 Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác: Nếu bài toán yêu cầu “Tìm z1 z 2 sao cho z1 z 2 đạt giá trị nhỏ nhất” z z M  H và N là hình chiếu của I trên . 1 2 min Bài toán quy về việc tìm tọa độ điểm H và tọa độ hình chiếu của I trên Chúng tôi đưa ra bài toán tổng quát như sau: Tổng quát 5: Cho số phức z,' z thỏa mãn z z1 R,'' z z 2 z z 3 . Trong đó z1,, z 2 z 3 là các số phức cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của z z ' . Gọi MN, lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z,' z Qũy tích các điểm M là đường tròn CIR , ; Qũy tích các điểm N là đường thẳng ( là đường trung trực của AB với A, B là các điểm biểu diễn số phức z2, z 3 ). z z' MN z z', MN d I R nếu C  min min z z' MN 0 nếu C  min min 30
  9. Bài toán xuất phát 6. Trong mặt phẳng cho đường tròn C và đường thẳng ; , C không có điểm chung, điểm M di động trên C . Tìm vị trí điểm M trên C sao cho khoảng cách từ M đến là lớn nhất (nhỏ nhất). Lời giải: Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với cắt đường tròn và lần lượt tại KHN,, , như hình vẽ. Ta có HNdM ,,,, KN dI RdM dI R Do đó: Max d M , d I , R M  K Mind M,, d I R M  H Bài toán 6.1: Cho số phức z a bi a, b thỏa mãn: 1 i z 1 7 i 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P a b 3 A. 2 2 . B. 2 1 . C. 2 2 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải: 1 i z 1 7 i 2 z 3 4 i 1 Khi đó quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm I 3;4 , bán kính R 1. Xét đường thẳng :x y 3 0 . Gọi KHN,, lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua I vuông góc với , với đường tròn C và đường thẳng a b 3 P 3 4 3 Khi đó: d M , ; d I, 2 R 2 2 2 Nên P d M, M  H min min Vậy Pmin 2. HN 2. d I , R 2 2 Tương tự như các bài toán trên tôi hướng dẫn học sinh khai thác bài toán khi thay đổi giả thiết hoặc yêu cầu bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của P a b 3 Tìm z biết P a b 3 đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). 31
  10. Thay giả thiết 1 i z 1 7 i 2 bởi giả thiết 1 i . z 7 i 2 , ta sẽ được các bài toán tương tự. Tổng quát 6. Cho số phức z a bi a, b thỏa mãn: z z1 R . Tìm giá trị nhỏ nhất của P a  b  Gọi MI, lần lượt là điểm biểu diễn số phức z, z1 . Đường thẳng : x  y  0 , Qũy tích điểm M là đường tròn C tâm I bán kính R Gọi đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ; KHN,, lần lượt là giao điểm của d với C , 2 2 Pmin  d I, R M  H 2 2 Pmax  d I, R M  K Bài toán xuất phát 7. Cho hai đường tròn ()C1 có tâm I , bán kính R1 ; đường tròn ()C2 có tâm J , bán kính R2 ( R1 R 2 IJ R 1 R 2 ). Tìm vị trí của điểm M trên ()C1 , điểm N trên ()C2 sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Lời giải: - Gọi d là đường thẳng đi qua IJ, ; d cắt đường tròn ()C1 tại hai điểm phân biệt AB, (giả sử JA JB ) ; d cắt ()C2 tại hai điểm phân biệt CD, ( giả sử ID IC ). - Với điểm M bất khì trên ()C1 và điểm N bất kì trên ()C2 , ta có: MN IM IN IM IJ JN R1 R 2 IJ AD . Dấu “=” xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D MN IM IN IJ IM JN IJ R1 R 2 BC . Dấu “=” xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C Bài toán 7.1.(THPT Hưng Nhân- Thái Bình 2017-l3) . z1 3 4 i 1 Cho hai số phức z1, z 2 thảo mãn : z2 6 i 2 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 z 2 A. 18. B. 6 2 . C. 6 . D. 3 2 . Hướng dẫn giải: 32
  11. Gọi MN, lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1, z 2 ; z1 z 2 MN Qũy tích điểm M là đường tròn C1 tâm I1 3;4 , bán kính R1 1 Qũy tích điểm N là đường tròn C2 tâm I2 6;1 , bán kính R2 2 Gọi ABCD,,, lần lượt là các giao điểm của IJ với C1 , C2 Ta có CB MN AD IJ R1 R 2 MN IJ R 1 R 2 Nên MNmin 3 2 1 2 3 2 3 MNmax 3 2 1 2 3 2 3 MNmin MNm ax 6 2 Sau khi làm xong bài toán trên tôi cho học sinh tự tổng quát công thức tìm GTLN, GTNN liên quan mô đun số phức. Tổng quát 7: Cho số phức z,' z thỏa mãn: z z1 R;'' z z 2 R . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z z ' ,với R R'' z1 z 2 R R zz ' zzRRzz '; ' zzRR ' min1 2 max 1 2 Bài toán xuất phát 8. Cho FF1, 2 cố định và F1 F 2 2 c , xét elip E M: MF1 MF 2 2 a , a c . 2 2 Gọi I là trung điểm của FF1 2 khi đó ta có: b IM a với b a c Bài toán 8.1:Tìm số phức z sao cho mô đun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Biết số phức z thỏa mãn: z 1 z 1 4 Hướng dẫn giải: x2 y 2 Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình E : 1 4 3 x2 y 2 E : 1 được vẽ trên hệ trục Oxy như hình vẽ. 4 3 Từ hình vẽ ta có: OB2 OM OA 2 OB 1 OM OA 1 3 z 2 Từ đó ta có: MB M 0; 3 z 3 1 z 3 i min MB 2 M 0; 3 MA M 2;0 z 2 1 z 2 max MA 2 M 2;0 Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài toán này, chúng tôi thay đổi giả thiết và hướng dẫn các em cách làm tương ứng dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm như sau: Bài toán 8.2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 z 1 4 . 33
  12. 1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó biểu thức P M m2 bằng: A. P 5. B. P 4 . C. P 3 4 . D. P 2 3 2 . 2. Biết số phức z có mô đun lớn nhất. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. z là số thuần ảo. B. z là số vô tỷ . C. z là có phần ảo không nguyên . D. z là số nguyên. Bài toán 8.3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i 4 . Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z bằng: A. z 2, z 3 . B. . minm ax zmin 3, z m ax 2 C. z 1, z 2 . D. z 3, z 4 . minm ax minm ax Hướng dẫn giải: Gọi M x; y , F 0; 1 , F 0;1 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z,, i i 1 2 x2 y 2 Theo phần IV thì M thuộc elip E : 1, nhận FF, là hai tiêu điểm như hình vẽ. 3 4 1 2 MB M 0; 2 Từ đó ta có: z 3 1 z 2 max MB 2 M 0;2 MA M 3;0 z 2 1 z 3 min MA 2 M 3;0 Bài toán 8.4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 3 i z 2 i 8. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P 2 z 1 2 i Lời giải: P 1 P 2 z 1 2 i z i P ' 2 2 Bài toán chuyển về tìm GTLN, GTNN của P’. Gọi MFFN,,, lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức: 1 2 34
  13. 1 z, z1 1 3 i , z 2 2 i , z 0 i . Ta có N là trung 2 B2 điểm của FF1 2 . z 1 3 i z 2 i 8 MF MF 8 M 1 2 A1 M thuộc elip nhận FF1, 2 làm 2 tiêu điểm và có tiêu F1 N F2 A2 cự bằng F1 F 2 2 c 5 5 25 39 B1 c ;2 a 8 a 4 b 16 2 4 2 39 Vậy PPPP' 4, ' 8, 39 max min2 m ax min Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau: Tổng quát 8: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường Elíp. Tổng quát 8.1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z c z c 2 a c ,2 c 2 a . Tìm GTLN, GTNN của z . Khi đó M x; y thuộc đường elip có phương trình chính tắc: x2 y 2 1a b 0; b a2 c 2 . Với A a;0, A a ;0, B 0; b , B 0; b là các đỉnh của a2 b 2 1 2 1 2 elip. z OA OA a khi z a max 1 2 z OM  z OB OB b khi z bi min 1 2 Tổng quát 8.2.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z ci z ci 2 a c ,2 c 2 a . Tìm GTLN, GTNN của z . x2 y 2 Khi đó M x; y thuộc đường elip có phương trình 1 b a2 c 2 b2 a 2 (elip đứng nhân trục Oy làm trục đối xứng) Với A1 a;0, A 2 a ;0, B 1 0; b , B 2 0; b là các đỉnh của elip. z OA OA a khi z a min 1 2 z OM  z OB OB b khi z bi max 1 2 Tổng quát 8.3.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z z1 z z 2 2 a . Tìm GTLN, GTNN của z z P z z với 2a z z ; z 1 2 . 0 1 2 0 2 Gọi MFFN,,,1 2 lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z,,, z1 z 2 z 0 35
  14. Khi đó M x; y thuộc đường elip nhận FF1, 2 làm 2 tiêu điểm ( N là trung điểm của FF1 2 ). z a 2 max 2 z1 z 2 P z z0 NM (với b a )  z b 2 min Sau khi trang bị xong cho học sinh một loạt công thức tổng quát về cực trị của số phức, tôi cho học sinh làm các bài toán sau để củng cố: Bài tập củng cố: Câu 1: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. (kể cả đường viền) 1. Mô đun lớn nhất của số phức z là: A. z 1. max 1 B. z max 2 C. z 2 . max 2 D. z . max 2 2. Mô đun nhỏ nhất của số phức z là: A. z 0 . B. z 1 min min 2 C. z 2 . D. z . min min 2 Câu 2: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ bên. Mô đun nhỏ nhất của số phức z là: 1 A. z . min 2 B. z 1 min C. z 2 . min 3 D. z min 2 Câu 3: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình elip như hình vẽ bên. Mô đun lớn nhất của số phức z là: A. z 1 . max B. z 2. max 1 C. z . max 2 36
  15. 3 D. z . max 2 Câu 4: Cho số phức z a bi a, b thỏa mãn: z 2 3 i 1. Tìm giá trị lớn nhất của z A. 1 13 B. 13 C. 2 13 D. 13 1 2 3i Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của z , biết z 1 1 3 2i A. 2 . B. 2 . C.1 . D. 3 . Câu 6: Biết số phức z a bi,, a b thỏa mãn điều kiện z 2 4 i z 2 i có mô đun nhỏ nhất. Tính P a2 b 2 A. P 8 . B. P 10. C. P 16. D. P 26 . Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của T z i z 2 i . A. maxT 8 2 . B. maxT 4 . C. maxT 4 2 . D. maxT 8. 2 2 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn iz iz 4 . Gọi M và n lần lượt là giá trị lớn 1 i i 1 nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M. n . A. M. n 2. B. M. n 1. C. M. n 2 2 . D. M. n 2 3 . Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2 z và giá trị lớn nhất của z 1 2 i bằng a b 2 . Tính a b . 4 A. 4 . B. 4 2 . C. 3 . D. . 3 z Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w là số thực. Giá trị lớn 2 z 2 nhất của biểu thức P z 1 i là A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 8 . Hướng dẫn giải: Câu 1: Chọn C; Câu 2: Chọn A Câu 3: Chọn B Câu 4: Chọn A Câu 5: Chọn B 37
  16. Câu 6: Chọn A Dễ thấy M z thuộc đường thẳng: x y 4 0 4 2 z OM d O, 2 2 P z 8 min min 2 Câu 7: Chọn B Điểm M z thuộc đường tròn C tâm IR 1;0 , 2 A z1 , B z 2 : z 1 i , z 2 2 i , gọi N là trung điểm của AB 2 2 2 2 AB T MA MB 2 MA MB 2 2 MN 2 2 2 z z maxT 2 2 R IN 1 2 4 2 Câu 8: Chọn C. 2 2 iz iz 4 z 1 i z 1 i 4 . 1 i i 1 Đặt FFFF1 1;1 , 2 1; 1 1 2 2 2 4 . Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elíp có tiêu điểm FF1 1;1 , 2 1; 1 và độ dài trục lớn là 2a 4 và tiêu cự 2c F1 F 2 2 2 . M max z a 2 Khi đó: M. n 2 2 . 2 2 n min z b a c 2 Câu 9: .Chọn A. Gọi z x yi x , y . 2 Khi đó z 3 2 z x 3 yi 2x yi x 3 y2 2 x2 y2 x 3 2 y2 4x2 y 2 3 x 2 3 y 2 6 x 9 0 x 2y 2 2 x 3 0 x 1 2 y 2 2 2 Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z chính là đường tròn tâm IR 1;0 , 2 Ta có z 1 2 i z 1 2 i MN , N 1; 2 . Dựa vào hình vẽ nhận thấy MN lớn nhất khi đi qua tâm. Khi đó MN NI IM 2 2 R 2 2 2. Suy ra a 2, b 2. Do đó a b 2 2 4. 38
  17. 1 2 Câu 10: A. Xét z 0 suy ra z . Gọi z a bi, b 0 w z 1 2 2a 2 Suy ra z 2 2 a b 2 2 1 i w z a b a b 1 2 b 0 Vì nên suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên b 2 2 1 0 2 2 w a b a b 2 mặt phẳng Oxy là đường tròn C : x2 y 2 2 . Xét điểm A 1;1 là điểm biểu diễn số phức z0 1 i suy ra P MA max P OA r 2 2 . Với r là bán kính đường tròn C : x2 y 2 2. Tài liệu tham khảo 1. Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản, nâng cao 2. Sách Bài tập giải tích lớp 12 Cơ bản, nâng cao 3. Tài liệu chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán của Bộ giáo dục và đào tạo. 4. Tài liệu tham khảo,Intenet 39