Sáng kiến kinh nghiệm Luyện bài tập về hệ thức Vi-ét

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Luyện bài tập về hệ thức Vi-ét

1. 11 Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x 1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m). Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2. Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước. +) Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: - Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức là cho 0 hoặc ' 0 ). x1 x2 S f (m) - Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: (I) . x1x2 P g(m) - Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m. - Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời. +) Ví dụ 1. Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m. Giải a) Phương trình có nghiệm ' 0 m 1 2 7m2 0 (đúng với mọi m). Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm. b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình. 2 1 m x1 x2 S Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 7 . (I) m2 x x P 1 2 7 2 2 2 Theo bài, ta có hệ thức: x1 x2 = x1 x2 2x1x2 (II). Thay (I) vào (II), ta có: 2 2 1 m 2 2 2 2 m 18m 8m 4 . x1 x2 2. 7 7 49 +) Ví dụ 2. Cho phương trình x 2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Giải
2. 12 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi: ' 0 3 2 m 9 m 0 m 9. x1 x2 6 (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 m (2) Theo bài: x1 x2 4 (3). Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x1 10 x1 5 x2 6 x1 6 5 1. Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m m = 5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = 5 thì x1 x2 4 . +) Ví dụ 3. Cho phương trình: x 2 - 2(m +1)x + 2m = 0 (1) (với ẩn là x ). a) Giải phương trình (1) khi m =1. b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Giải a) Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 . Giải phương trình được x1 2 2; x2 2 2 b) Ta có ' m2 1 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. +) Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x). a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x1 x2 Giải a) Ta có ' m 1 2 2m 4 m2 2m 1 2m 4 m 2 2 1 0 với mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt. x1 x2 2(m 1) 2m 2 (1) b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 2m 4 (2) 2 2 2 Theo bài: y = x1 x2 = x1 x2 2x1x2 (3) Thay (1) và (2) vào (3), ta có: y = 2m 2 2 2 2m 4 4m2 12m 12 2m 3 2 3.
3. 13 2 Vì 2m 3 2 0 với mọi m nên suy ra y = 2m 3 3 3. 3 3 Dấu “=” xảy ra 2m 3 0 m . Vậy ymin = 3 m 2 2 Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm. +) Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x 1, x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) dựa trên kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c<0 0 ' 0 - Phương trình có hai nghiệm cùng dấu . P 0 0 ' 0 - Phương trình có hai nghiệm dương P 0 . S 0 0 ' 0 - Phương trình có hai nghiệm âm P 0 . S 0 +) Ví dụ 1. Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + 1 = 0. Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hai nghiệm dương phân biệt. Giải c a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu P 1 m 0 m 1 a Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x1 x2 ' 0 m2 3m 0 P 0 1 m 0 0 m 1. S 0 2 m 1 0 Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. +) Ví dụ 2. Cho phương trình mx 2 - 6x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
4. 14 Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 x2 0 m 0 a 0 9 m2 0 m 0 ' 0 m 3 m 3 0 3 m 0. P 0 m 1 0 S 0 6 m 0 0 m Vậy với 3 m 0 thì phương trình có hai nghiệm âm. III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 1) Hiệu quả kinh tế Từ việc áp dụng thành công sáng kiến vào thực tiễn, chúng tôi nhận thấy học sinh đã tiết kiệm được rất nhiều thời gian trong việc học bài và làm bài ở trên lớp cũng như ở nhà. Các em học sinh đã chủ động, sáng tạo phát huy được phẩm chất năng lực của mình thông qua việc hoàn thành các nhiệm vụ của giáo viên giao. 2) Hiệu quả về mặt xã hội Niềm tin, sự ủng hộ của phụ huynh và các em trong việc áp dụng sáng kiến đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và chất lượng của việc dạy học môn Toán nói riêng. Các em học sinh tự tin, sáng tạo hơn trong học tập, yêu thích môn Toán từ đó chất lượng môn học ngày càng được nâng cao và bền vững.Vì vậy: a) Đối với người thầy - Phải nỗ lực vượt khó, phải nắm vững kiến thức trọng tâm để có đủ năng lực xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập dẫn dắt một cách khoa học; - Phải nắm vững một số kỹ thuật để soạn bài và dạy theo con đường trực quan phân tích; - Người thầy phải nắm bắt kịp thời theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy nhất là ở giai đoạn đổi mới phương pháp dạy học; -Tham khảo các tài liệu có liên quan đến bài giảng, thường xuyên củng cố và nâng cao chuyên môn nghiệp vụ; - Giảng dạy phải tường minh, chính xác các kiến thức cơ bản của toán học. Nghiên cứu kỹ chính xác được rõ mục tiêu của từng bài để xây dựng phương pháp giảng dạy cho phù hợp; - Khuyến khích động viên học sinh, khen chê kịp thời, đúng lúc. Chú ý giúp và phân công học sinh khá, giỏi giúp đỡ các em có học lực trung bình, yếu nắm được kiến thức cơ bản, mở rộng kiến thức cho học sinh khá, giỏi.
5. 15 b) Đối với trò: - Học sinh phải thật sự nỗ lực, kiên trì, vượt khó và phải thực sự hoạt động trí óc, phải có óc phân tích một bài toán, biết nắm vững đặc thù của các bài toán để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết cách giải; - Phải cần cù chịu khó, ham học hỏi, sử dụng sách tham khảo vừa sức, hiệu quả; - Học đi đôi với hành để củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản của toán học. - Học bài và làm bài tập ở trên lớp cũng như ở nhà phải có tinh thần tự lực tự cường đồng thời phải thấy được đó là quyền lợi và nghĩa vụ của mỗi học sinh. Bởi vì công việc này không ai có thể học thay, làm thay được. Do đó muốn đạt kết quả cao trong học tập thì ai cũng phải làm bài tập. Nếu chăm chỉ học tập cùng với sự giúp đỡ, hướng dẫn của thầy cô giáo và bạn hữu thì chắc chắn rằng các em sẽ học hành tiến bộ. Nếu có sự tiến bộ trong học tập thì đó là động lực thúc đẩy tinh thần phấn khởi say mê, ham thích học toán và có lòng đam mê, tình yêu toán học nghĩa là “Cái gì thuộc về con người thì không xa lạ đối với chúng tôi”; - Với phương pháp thực hiện như trên học sinh được tự tìm ra kiến thức cần biết một cách độc lập tích cực. Do đó học sinh hứng thú, hiểu bài sâu sắc từ đó vận dụng tốt. Qua dạy đối chứng và kiểm nghiệm bằng kiểm tra trắc nghiệm tôi thấy chất lượng học tập được nâng lên một cách rõ rệt. Số học sinh yêu thích toán ngày càng nhiều hơn.Từ đó các em có kế hoạch học hỏi thêm ở SGK, ở bạn bè, phát huy duy trì niềm say mê học toán của các em. Học sinh đã biết tự củng cố, ôn luyện các kiến thức bài tập, biết phối hợp các kiến thức đã học vào làm bài tập. 3) Khả năng áp dụng và nhân rộng - Sáng kiến đã được áp dụng từ năm học 2023- 2024 với học sinh lớp 9A, 9B và lớp 9C sau khi áp dụng chất lượng môn Toán qua các kỳ kiểm tra đã được nâng lên rất nhiều. Tỉ lệ điểm mức khá và giỏi chiếm cao. Học sinh yếu đã có ý thức hơn trong việc tham gia các hoạt động học tập với các bạn trong tổ, trong lớp; - Với phương pháp thực hiện như trên học sinh được tự tìm ra kiến thức cần biết một cách độc lập tích cực. Do đó học sinh hứng thú, hiểu bài sâu sắc từ đó vận dụng tốt. Qua dạy đối chứng và kiểm nghiệm bằng kiểm tra trắc nghiệm tôi thấy chất lượng học tập được nâng lên một cách rõ rệt. Số học sinh yêu thích toán ngày càng nhiều hơn.Từ đó các em có kế hoạch học hỏi thêm ở SGK, ở bạn bè, phát huy duy trì niềm say mê học toán của các em. Học sinh đã biết tự củng cố, ôn luyện các kiến thức bài tập, biết phối hợp các kiến thức đã học vào làm bài tập. Cụ thể qua khảo sát: Trước khi áp dụng sáng kiến Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu ( kém) SL % SL % SL % SL %
6. 16 9A 35 3 8,6 8 22,6 11 31,4 13 37,1 9B 36 3 8,3 7 19,4 11 30,2 14 38,9 9C 36 4 11,1 8 22,2 10 22,8 14 38,9 Sau khi áp dụng sáng kiến Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu ( kém) SL % SL % SL % SL % 9A 35 9 25,7 14 40 15 42,9 3 8,3 9B 36 8 22,2 15 41,7 14 38,9 3 8,3 9C 36 10 27,8 16 44,4 14 38,9 2 5,6 - Trên cơ sở phân tích, đối chiếu, so sánh, một lần nữa tôi khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm “Luyện bài tập về hệ thức Vi Ét” có khả năng áp dụng rộng rãi cho mỗi giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường THCS. Sáng kiến đã chỉ ra được việc cần thiết phải phân dạng các bài toán về hệ thức Vi-ét và việc ứng dụng của nó đồng thời chỉ rõ các phương pháp cụ thể để thực hiện từng nội dung. Giúp giáo viên có tài liệu để giảng dạy chủ đề hệ thức Vi-ét một cách đầy đủ, hệ thống, khoa học. Từ đó nâng cao chất lượng cho học sinh không chỉ giới hạn trong việc giải quyết các bài toán về hệ thức Vi-ét mà còn củng cố rèn luyện được nhiều kiến thức toán học khác. Góp phần nâng cao kết quả trong kì thi vào THPT và tạo tiền đề vững chắc cho việc học toán sau này của các em. IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền Chúng tôi xin cam kết bản báo cáo sáng kiến trên đây của chúng tôi là không sao chép hoặc vi phạm bản quyền. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Vân Anh ĐỒNG TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Phương Anh Vũ Thị Hồng Hạnh
7. 17 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GD & ĐT