Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi Trung học Phổ thông Quốc Gia

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi Trung học Phổ thông Quốc Gia

1. f x Nhận xét: Từ giả thiêt ta cóf ' x ln x 2x x2 1 , biểu thức vế trái có dạng x u .v u.v uv Lời giải Chọn đáp án B f x x 2; , ta có x. f ' x ln x f x 2x2. x2 1 f ' x ln x 2x x2 1 x 2 3 f x ln x dx 2x x2 1dx f x ln x . x2 1 2 C 3 2 3 f e . e2 1 2 C 0 . 3 2 3 Suy ra f x ln x x2 1 2 ,x 2; 3 3 2 x2 1 2 f x 0, x 2; 3.ln x 3 2 x2 1 2 ln x , x 2; . 3 f x 3 2 2 2 2 e2 2 x 1 e2 e e Vậy I dx ln x dx x ln x x e2 . e 3 f x e e e Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ \ 1;0 thỏa mãn điều kiện f 1 2ln 2 ; x x 1 f x f x x2 x và f 2 a bln 3 a,b ¡ . Tính a2 b2 9 A. 3 . B. 1 . C. 9 . D. . 2 x x x Nhận xét: Từ giả thiết ta có . f (x) . f (x) , vế trái là biểu thức có x 1 x 1 x 1 dạng u .v u.v uv , từ đó ta có lời giải Lời giải Chọn đáp án D 49
2. 2 x x x x 1 f x f x x x . f x . x 1 x 1 x x x Lấy nguyên hàm hai vế ta được . f x dx . f x x ln x 1 C . x 1 x 1 x 1 x 1 x ln x 1 1 Mặt khác f 1 2ln 2 C 1 f x . x 3 a 3 3 2 2 2 9 Khi đó f 2 ln 3 a b 2 2 3 2 b 2 7.3.4.2. Dạng 2. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng : f ' x f x h x ,x D a, Phương pháp: Từ phương trình vi phân : f ' x f x h x Do ex 0,x D , nhân hai vế của phương trình : f ' x f x h x ,x D cho ex ta được : ex . f ' x ex . f x ex .g x ,x D x x e . f x e .h x ,x D x x x e . f x dx e .h x dx e . f x H x C Trong đó: ex .h x dx H x C b, Các ví dụ minh họa: 3x2 Ví dụ 1: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; thỏa mãn f ' x f x . ex 1 2 f x Biết f 1 . Giá trị I dx là 3 e 1 x 1 1 1 1 2 1 A. B. C. D. e2 1 e e2 e e2 e e2 Nhận xét: Từ giả thiêt ta có ex . f ' x ex . f x 3x2 , biểu thức vế trái có dạng u .v u.v uv Lời giải 50
3. Chọn đáp án B 3x2 Ta có : f ' x f x ex . f ' x ex . f x 3x2 ex . f x 3x2 ex x 2 x 3 e . f x dx 3x dx e . f x x C . 1 x3 Theo đề bài f 1 nên e. f 1 13 C C 1 1 C 0 f x e ex 2 f x 2 1 2 1 1 1 Do đó ta có : I dx dx e x e 2 3 x 2 1 x 1 e 1 e e e Ví dụ 2: Cho f x là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f x f x cosx ,x R và f 0 0 . Khi đó giá trị eπ . f π là e 2 e 1 e 1 A. e 1 . B. C. . D. . 2 2 2 Nhận xét: Từ giả thiêt có ex f x ex f x ex .cosx , biểu thức vế trái có dạng uv Lời giải Chọn đáp án D Ta có f x f x sin x , với mọi x R nên ex f x ex f x ex .cosx , với mọi x R . π π x x x x e f x e .cosx hay e f x dx e .cosx dx 0 0 π 1 π 1 ex f x ex sin x cos x e f f 0 e 1 0 2 0 2 e 1 e f 2 . 7.3.4.3. Dạng 3. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f x f x h x a, Phương pháp: x x x x x x Nhân cả hai vế với e ta được e . f x e . f x e .h x e . f x e .h x . Suy ra e x . f x e x .h x dx . 51
4. Từ đó tính được f x . b, Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện 26e3 f x f x x2.ex 1,x ¡ và f 1 1 . Cho f 3 m thì m bằng 3 25 A. 3 . B. 1 . C. 9 . D. . 3 Nhận xét: Từ giả thiêt có e x . f x e x . f x x2 e x , biểu thức vế trái có dạng uv Lời giải Chọn đáp án B Ta có: f x f x x2ex 1 f x f x x2ex 1 . x x x 2 x x 2 x Nhân cả hai vế với e ta được e . f x e . f x x e e . f x x e . x3 Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra e x . f x x2 e x dx e x . f x e x C . 3 1 x3 1 Mặt khác f 1 1 C f x 1 . 3 3e x 26e3 Vậy f 3 1 . 3 Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn điều kiện ¡ f x f x x.e2x ,x ¡ và f 1 2 . Chof 4 a e8 b e3 thì giá trị a b bằng A. 32 . B. 1 . C. 5 . D. 5 . Nhận xét: Từ giả thiêt có e x . f x e x . f x x.ex , biểu thức vế trái có dạng uv Lời giải Chọn đáp án D Ta có: f x f x x.e2x . x x x x x x Nhân cả hai vế với e ta được e . f x e . f x x.e e . f x x.e . Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra e x . f x xexdx e x . f x x 1 ex C . 2 Mặt khác f 1 2 C f x x 1 e2x 2ex 1 . e 52
5. Vậy f 4 3e8 2e3 . Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , f 0 1 và f x f x ex 1, x 0;1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 0 f x 1 . B. 7 f x 8. C. 4 f x 5 . D. 2 f x 3 . Nhận xét: Từ giả thiêt có e x f x e x f x 1 e x , biểu thức vế trái có dạng uv Lời giải Chọn đáp án D Ta có f x f x ex 1 f x f x ex 1 e x f x e x f x 1 e x x x x x x x e f x 1 e e f x x e C f x xe 1 Ce . Do f 0 1 C 2 f x x 2 ex 1 . Vậy f 1 3e 1  7,15 7;8 . 7.3.4.4. Dạng 4. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f x p x . f x h x a, Phương pháp: p x dx p x dx p x dx p x dx Nhân hai vế với e ta được f x .e p x .e . f x h x .e p x dx p x dx f x .e h x .e . p x dx p x dx Suy ra f x .e e .h x dx . b, Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên ¡ thỏa mãn 2 f x 2x. f x 2x.e x và f 0 1 . Giá trị f 1 là 1 2 2 1 A. . B. C. . D.e2 1 . e2 e e e2 2 2 Nhận xét: Từ giả thiêt có ex . f x 2x.ex . f x 2x , biểu thức vế trái có dạng uv Lời giải Chọn đáp án B 53
6. 2 Ta có f x 2xf x 2x.e x . 2 2 2 2 Nhân cả hai vế với ex ta được ex . f x 2x.ex . f x 2x ex . f x 2x . 2 2 Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra ex . f x 2xdx ex . f x x2 C . x2 1 Mặt khác f 0 1 C 1. f x 2 ex 2 Vậy f 1 . e Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn: ¡ 1 3 9 f x 3x2. f x 15x4 12x .e x ,x ¡ . Biết rằng f 1 . Tích phân f x dx e 0 bằng 4 2 4 4 A.3 . B. C.3 . D. . e e e e 3 3 Nhận xét: Từ giả thiêt có ex . f x 3x2.ex . f x 15x4 12x , biểu thức vế trái có dạng u v uv uv Lời giải Chọn đáp án A 3 Ta có f x 3x2. f x 15x4 12x .e x . x3 x3 2 x3 4 Nhân cả hai vế với e ta được e . f x 3x .e . f x 15x 12x 3 ex . f x 15x4 12x . 3 3 Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra ex . f x 15x4 12x dx ex . f x 3x5 6x2 C . 9 3x5 6x2 Mặt khác f 1 C 0 f x 3 . e ex 1 1 3x5 6x2 4 Vậy f x dx dx 3 . x3 0 0 e e 7.3.4.5 Bài tập tự giải: Tính tích phân có liên quan đến phương trình vi phân 54
7. Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 2 f x xf x 673x2017 với mọi x 0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân 1 f x dx bằng 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. 3 3.2017 3.2018 3.2019 . Câu 2. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng x 0; thỏa mãn f x với mọi x 0 và x 1 f x f 0 1, f 1 3 a b 2 với a,b là các số nguyên. Tính P a.b . A.P 3 . B. P 66. C.P 6 . D. P 36. Câu 3. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2 f x ,x ¡ và f 0 3 . Tích phân 1 f x dx bằng 0 3 e2 1 3 2e 1 A. 2 3 e2 1 . B. 3 2e 1 . C. . D. . 2 2 Câu 4. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa 2 mãn f x 2x 1 f x ,x ¡ và f 0 1 . Giá trị của tích phân 1 f x dx bằng 0 1 2 3 3 A. . B. ln 2 . C. . D. . 6 9 9 2 4 Câu 5. Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 15x 12x,x ¡ và f 0 f 0 1. Giá trị của f 2 1 bằng 9 5 A. 8. B. . C. 10 . D. . 2 2 55
8. Câu 6. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 2 f 0 1 và f x f x . Giá trị của biểu thức f 1 f 0 bằng 1 1 A. ln 2 . B. ln 2 . C. ln 2 . D. ln 2 . 2 2 Câu 7. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa 1 mãn f x ex f 2 x với mọi x ¡ và f 0 . Tính f ln 2 . 2 1 1 1 A. ln 2 . B. . C. . D. 2 3 4 1 ln2 2 . 2 Câu 8. Giả sử hàm số y f x liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng 0; và thỏa mãn f 1 1 , f x f x 3x 1 , với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 1 f 5 2 . B. 4 f 5 5 . C. 3 f 5 4 . D. 2 f 5 3 . Câu 9. Cho hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng 0; thỏa 2 mãn f 3 và f x x 1 f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 3 A. 2613 f 2 8 2614. B. 2614 f 2 8 2615 . C. 2618 f 2 8 2619 . D. 2616 f 2 8 2617 . Câu 10. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x . f x 3x5 6x2 . Biết f 0 2 , tính f 2 2 . A. f 2 2 144 . B. f 2 2 100 . C. f 2 2 64 . D. f 2 2 81 . Câu 11. Cho hàm số f x 0,x 0 và có đạo hàm f x liên tục trên khoảng 1 0; thỏa mãn f x 2x 1 f 2 x ,x 0 và f 1 . Giá trị của biểu 2 thức f 1 f 2 f 3 f 2018 bằng 2010 2017 2016 2018 A. . B. . C. . D. . 2019 2018 2017 2019 56
9. Câu 12. Cho hai hàm số y f x , y g x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 thỏa mãn f 1 g 1 9e và f x x2 g x ; g x x2 f x ,x 1;4 . Tích 4 f x g x phân dx bằng 2 1 x 9 e e 4 e A. e 4 e . B. 9 e 4 e . C. e 4 e . D. . e 9 9 Câu 13. Cho hai hàm số y f x ; y g x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 thỏa mãn f 1 g 1 4 và f x xg x ; g x xf x . Tích phân 4 f x g x dx bằng 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4ln 2 . Câu 14. Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên nửa khoảng 0; thỏa mãn f x f x e x. 2x 1,x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 26 26 A. e4 f 4 f 0 .B. e4 f 4 f 0 . 3 3 4 4 C. e4 f 4 f 0 . D. e4 f 4 f 0 . 3 3 Câu 15. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 0 và 1 2xf x f x x x2 1 với mọi x 0;1 . Tích phân xf x dx bằng 0 e 4 1 7 e 4 A. . B. . C. . D. . 8e 6 6 4e Câu 16. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  thỏa mãn f 0 3 và f x f x cos x. 1 f 2 x ,x 0; . Tích phân f 2 x dx bằng 0 11 7 7 A. 8 . B. 8 . C. 8. D. 2 2 2 11 8. 2 57
10. Câu 17. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn x g x 1 2018 f t dt,x 0;1 và g x f 2 x ,x 0;1. Tính tích phân 0 1 g x dx bằng 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Câu 18. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn x g x 1 2018 f t dt,x 0;1 và g x f 3 x ,x 0;1. Tính tích phân 0 1 3 g 2 x dx bằng 0 2021 2021 2019 2019 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn 1 2018 f x xf x x2019 ,x 0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân f x dx 0 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4037 2018 4037 2019 4037 2020 4037 Câu 20. Cho hàm số f x có đạo hàm f x 0,x 0;1 và liên tục trên 0;1 thỏa 1 2 mãn f 0 1 và f x f x ,x 0;1 . Tính f x dx bằng 0 5 19 5 19 A. . B. . C. D. . 4 12 2 3 1 Câu 21. Cho hàm số f x thỏa mãn cos x. f x sin x. f x ,  x ; và cos2 x 6 3 3 f 2 2 . Tích phân f x dx bằng: 4 6 2 3 2 3 A. ln 1 . B. 2ln 1 . 3 3 58
11. 2 3 2 3 C. ln 1 . D. 2ln 1 . 3 3 Câu 22. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f 0 0 , f x x2 1 2x f x 1 ,  x ¡ và f x 1 ,  x ¡ . Tính f 3 . A. 12 . B. 3. C. 7 . D. 9 . Câu 23. Cho hàm số f x liên tục và đồng biến trên đoạn 1;4 , f 1 0 và 4 2 x 2xf x f x , x 1;3 . Đặt I f x dx . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A. 1 I 4 . B. 4 I 8 . C. 8 I 12 . D. 12 I 16 . Câu 24. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 1;4 thỏa mãn f 1 0 và 4 2 ' 3 x 2xf x f x ,x 1; 4 .Tính tích phân I 2 f x 1 dx. 1 1023 1 1 A. I 1 B. I C. I D. I 5 3 4 Câu 25. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn f 1 4 và f x xf ' x 2x3 3x2 ,x 1;2 .Tính giá trị f 2 . A. f 2 5 B. f 2 20 C. f 2 15 D. f 2 10 GV kiểm tra học sinh bằng hình thức phát phiếu học tập để HS làm nhanh 15 phút. GV thu bài, chấm, kiểm tra đánh giá, thống kê. PHIẾU HỌC TẬP Đề kiểm tra 15 phút 2 2 2 é ù Câu 1: Cho ò f (x)dx = 3 và ò g(x)dx = - 2 , khi đó ò ë2 f (x)- g(x)ûdx bằng 0 0 0 A. 5. B. 4. C. 8. D. 1. 6 6 f x dx 4, f t dt 3 f x Câu2: Biết là hàm số liên tục trên ¡ và 0 2 . Khi đó 2 f v 3 dv 0 bằng A. 1. B. 2. C. D.4. 3. 59
12. 4 Câu 3: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 , f (1) 1 và f '(x)dx 2 . 1 Giá trị f (4) là A. B.2. C.3. D.1. 4. 2 Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Biết x.f x2 dx 2, hãy tính 0 4 I f x dx. 0 1 A. I 2. B. I 1C D. I . I 4. 2 3 Câu 5: Cho hàm số f x liên tục trên 1; và f x 1 dx 8. Tích phân 0 2 I xf x dx bằng: 1 A. I 8 B. I C.4 D. I 16 I 2 2 5 Câu 6: Cho xf x2 1 dx 2. Khi đó I f x dx bằng 1 2 A. 2 B. C.1 D. 1 4 1 f x Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và là hàm số chẵn, biết dx 1. Tính x 11 e 1 f x dx 1 1 A. 1B. 2 C. 4D. 2 2 2 Câu 8: Cho hàm số y f x thỏa mãn sinx.f x f 0 1. Tính I cos x.f ' x dx 0 0 A. I 2 B. I C. 1 D. I 1 I 0 e f x Câu 9: Cho hàm số f x liên tục trong đoạn 1;e , biết dx 1,f e 2. Tích 1 x e phân f ' x ln xdx ? 1 A. 1 B. C.0 D. 2 3 Câu 10: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1thỏa mãn 1 1 1 2 3 1 f 1 1; f ' x dx 9 và x f x dx . Tích phân f x dx bằng : 0 0 2 0 5 7 2 6 A. B. C. D. 2 4 3 5 60
13. Đáp án đề kiểm tra 1C 2A 3B 4D 5B 6B 7B 8D 9A 10C 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có) 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Đối với lãnh đạo cấp cơ sở: Cần quan tâm, sát sao trước những vấn đề đổi mới của ngành giáo dục; trang bị đầy đủ các phương tiện, thiết bị, đồ dùng dạy học để giáo viên tích cực lĩnh hội và áp dụng những đổi mới cả về hình thức và nội dung dạy học. - Đối với giáo viên: Trước hết giáo viên cần phải nắm vững nội dung chương trình; các đơn vị kiến thức toán cơ bản, nâng cao và phần liên hệ thực tế, liên môn. Chủ động tìm hiểu và lĩnh hội những vấn đề mới nhằm đáp ứng yêu cầu về giáo dục trong tình hình mới của đất nước. Đồng thời để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phương pháp thụ động, giáo viên phải có trình độ tìm hiểu tài liệu nhất định. - Giáo viên cần có thời gian để xây dựng nội dung chuyên đề và định hướng các hoạt động. - Đối với học sinh: Trong quá trình học tập, học sinh phải tham gia vào các hoạt động mà giáo viên tổ chức, đồng thời tự lực thực hiện các nhiệm vụ mà giáo viên đưa ra thể hiện tính sáng tạo và năng lực tư duy của bản thân. Ngoài ra học sinh cần có sự kết hợp giữa nắm vững kiến thức lí thuyết với việc thực hành, liên hệ thực tế để có thể vận dụng kiến thức vào thực tiễn. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả. Sau khi học xong bài học, tôi cũng phát phiếu học tập và cho học sinh trả lời nhanh vào phiếu, thu được kết quả như sau: BẢNG THỂ HIỆN LÀN ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA GV VỀ HỌC SINH Làn điểm Số lượng % 7 ->7,75 39 48,75 8 ->8,75 33 41,3 9 8 9,95 61
14. Sau khi tiến hành dạy tại 2 lớp 12A1, 12A3 với tổng số học sinh là 80, tôi đã tiến hành khảo sát theo mẫu phiếu sau để đánh giá khả năng hiệu quả của đề tài. Như vậy, sau khi thực hiện dự án dạy học , qua quá trình khảo sát, tôi thấy đa số các học sinh hiểu bài và được phát triển các kỹ năng tích cực phục vụ cho cuộc sống. Đặc biệt mức độ hứng thú với môn toán tăng lên đáng kể. Các em không còn sợ học và còn rất ít em thấy “ chán” với môn học này. - Khi áp dụng sáng kiến này trong quá trình soạn, giảng môn toán học lớp 12; để tìm được những nội dung hay, gần gũi với học sinh. Tôi thấy bản thân cũng phải đầu tư hơn cho chất lượng bài giảng của mình, và luôn cập nhật các vấn đề nóng về môi trường, để lồng ghép vào bài giảng. - Khi áp dụng sáng kiến này vào các bài giảng môn hóa học tại các lớp 12A1; 12A3, trường THPT Đồng Đậu. Tôi nhận thấy học sinh học tập hứng thú hơn, sôi nổi bàn luận về các vấn đề môi trường có liên quan đến nội dung bài học, học sinh chịu khó đọc sách và sưu tầm kiến thức mới. - Mỗi giáo viên phải thường tự học, tự bồi dưỡng, tự rèn luyện để không ngừng trau dồi về kiến thức, kỹ năng và giải pháp làm thế nào giúp học sinh học tập được tốt . 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân Hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ năng phân tích, tìm kiếm kiến thức trên mạng, quan sát thực tế và hoạt động nhóm. Qua lí luận và kết quả kiểm chứng, dự kiến sáng kiến sẽ xác định được tính khả thi của việc dạy học môn Toán học của trường THPT Đồng Đậu, góp phần quan trọng vào việc đổi mới và nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT Đồng Đậu hiện nay. 62
15. 11. DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC, CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG THỬ NGHIỆM HOẶC ĐÃ ÁP DỤNG LẦN ĐẦU Số Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực TT áp dụng sáng kiến 1 Trần Thị Hương Giáo viên môn Toán trường Toán học 12 THPT Đồng Đậu 2 Nguyễn Thị Minh Chúc Giáo viên môn Toán trường Toán học 12 THPT Đồng Đậu 3 Lớp 12A1 Trường THPT Đồng Đậu Môn Toán học 4 Lớp 12A3 Trường THPT Đồng Đậu Môn Toán học Yên Lạc, ngày tháng 02 năm 2020 , ngày tháng năm 2020 Yên Lạc, ngày 10 thán 2 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Trần Thị Hương. 63
16. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách bài tập Đại số và giải tích lớp 12. 2. Giải toán đại số và giải tích 12(Lê Hồng Đức- Nhóm cự môn) 3. Các đề thi cao đẳng, đại học hàng năm. 4. Mạng internet: Thư viện đề thi; mathtoan ` 64
17. MỤC LỤC 1. Lời giới thiệu 1 1.1. Lý do chọn đề tài : 1 1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu: 2 2. Tên sáng kiến 2 3. Tác giả sáng kiến 2 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 2 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 2 6. Ngày sáng kiến được áp dụng 2 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 2 7.1. Cơ sở lý luận 2 7.1.1. Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm: 2 7.1.2. Tích phân 3 7.1.3. Các công thức tính tích phân 4 7.2. Thực trạng 5 7.3. Các biện pháp tiến hành 5 7.3.1. Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa 7 7.3.2. Phương pháp đổi biến số 21 7.3.3. Phương pháp tính tích phân từng phần 32 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có) 61 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 61 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) 61 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả. 61 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân 62 11. DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC, CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG THỬ NGHIỆM HOẶC ĐÃ ÁP DỤNG LẦN ĐẦU 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 65