Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng dãy số để giải một số bài toán liên quan đến chia hết ở Tiểu học

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng dãy số để giải một số bài toán liên quan đến chia hết ở Tiểu học

1. SKKN - Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn (từ 9 chữ sô 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). - Chữ số hàng chục có 10 cách chọn (từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). - Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (từ các chữ số 0, 5). Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 là: 9 x 10 x 2 = 180 (số) Đáp số: 180 số Ta xét tiếp bài toán sau: Bài toán 2. Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 3. Phân tích: - Theo dấu hiệu chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3. - Xuất phát từ cách suy nghĩ đó thì ta lại suy nghĩ tiếp là có bao nhiêu tổng 2 chữ số chia hết cho 3 và là những tổng nào. Đó là: 0 + 3 ; 0 + 6 ; 0 + 9 ; 1 + 2 ; 1 + 5 ; 1 + 8 ; 2 + 4 ; 2 + 7 ; 3 + 3 ; 3 + 6 ; 3 + 9 ; 4 + 5 ; 4 + 8 ; 5 + 7 ; 6 + 6 ; 6 + 9 ; 7 + 8 ; 9 + 9 (có 18 tổng). Mỗi tổng đó ta lập được 2 số có 2 chữ số chia hết cho 3, riêng các tổng có chữ số 0 thì mỗi tổng đó ta chỉ lập được 1 số có 2 chữ số chia hết cho 3 và các tổng có 2 chữ số giống nhau ta cũng chỉ lập được 1 số có 2 chữ số chia hết cho 3. Ví dụ: Với tổng 1 + 2 ta lập được 2 số là 12 và 21 Với tổng 0 + 3 ta chỉ lập được 1 số là 30 Với tổng 6 + 6 ta chỉ lập được 1 số là 66 Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Với các chữ số, ta có 18 tổng khác nhau mà kết quả của mỗi tổng đó là số chia hết cho 3 đó là: 0 + 3 1 + 2 2 + 4 3 + 6 4 + 8 6 + 9 0 + 6 1 + 5 2 + 7 3 + 9 5 + 7 7 + 8 0 + 9 1 + 8 3 + 3 4 + 5 6 + 6 9 + 9 Ta thấy có 3 tổng có chữ số 0 và 3 tổng có 2 chữ số bằng nhau mỗi tổng này ta lập được 1 số chia hết cho 3 và có 12 tổng mà mỗi tổng này ta lập được 2 số chia hết cho 3. Vậy số các số có 2 chữ số chia hết cho 3 là: 5 of 11 11/11/2024, 3:56 PM
2. SKKN 1 x 6 + 2 x 12 = 30 (số) Đáp số: 30 số Phát triển bài toán: 1. Với bài toán 1: Nếu ta thay dấu hiệu chia hết cho 5 thành dấu hiệu chia hết cho 2 hay thay dữ kiện “số có 3 chữ số” thành “số có 4 chữ số” hay “số có n chữ số” thì cách giải cũng tương tự và cũng đơn giản. 2. Với bài toán 2: - Nếu ta thay điều kiện chia hết cho 3 thành chia hết cho 9 thì cách giải cũng tương tự và không khó hơn. - Nhưng nếu ta thay dữ kiện “số có 2 chữ số” thành dữ kiện “số có 3 chữ số” hay nhiều chữ số thì với cách giải này sẽ gặp rất nhiều khó khăn. - Hoặc ta thay dữ kiện “chia hết cho 3” thành “chia hết cho 4” hay “chia hết cho n” mà không có trong dấu hiệu chia hết thì ta sẽ giải thế nào đây. Với những bài toán về đếm số liên quan đến dấu hiệu chia hết như những bài toán trên ta có một cách làm khác rất đơn giản và ngắn gọn. Đó là sử dụng kiến thức về tìm số các số trong dãy số cách đều với công thức: Số các số = (Số cuối – Số đầu) : Khoảng cách + 1 Ta lại quay về các bài toán trên với cách giải này như sau: Bài toán 1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5. Phân tích: - Các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100 đến 999 - Số bé nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 100 - Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 995 Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 chính là số các 6 of 11 11/11/2024, 3:56 PM
3. SKKN số trong dãy số cách đều 5 đơn vị bắt đầu từ 100 đến 995. Dãy số đó là: 100, 105, 110, 115, , 990, 995 - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì dãy số 100, 105, 110, 115, , 990, 995 có số các số là: (995 – 100) : 5 + 1 = 180 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Số bé nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 100. Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 995. Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 là: (995 – 100) : 5 + 1 = 180 (số) Đáp số: 180 số Bài toán 2. Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 3. Phân tích: - Các số có 2 chữ số bắt đầu từ 10 đến 99 - Số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 12 - Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 99 Vậy số các số có 2 chữ số chia hết cho 3 chính là số các số trong dãy số cách đều 3 đơn vị bắt đầu từ 12 đến 99. Dãy số đó là: 12, 15, 18, 21, , 96, 99 - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì dãy số 12, 15, 18, 21, , 96, 99 có số các số là: (99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 12. Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 99. Vậy số các số có 2 chữ số chia hết cho 3 là: (99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số) Đáp số: 30 số Bây giờ ta xét tiếp một số bài toán khác: Bài toán 3. Từ 100 đến 2014 có bao nhiêu số chia hết cho 13. Phân tích: 7 of 11 11/11/2024, 3:56 PM
4. SKKN - Theo cách phân tích như trên thì bây giờ ta phải tìm số bé nhất chia hết cho 13 và số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014. - Ta tìm số bé nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 như sau: Ta thực hiện phép chia 100 : 13 thì được kết quả như sau: 100 : 13 = 7 (dư 9) Ta thấy 13 – 9 = 4 Vậy số bé nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là 100 + 4 = 104. - Ta tìm số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 như sau: Ta thực hiện phép chia 2014 : 13 thì được kết quả như sau: 2014 : 13 = 154 (dư 12) Vậy số lớn nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là 2014 – 12 = 2002. - Vậy số các số chia hết cho 13 từ 100 đến 2014 chính là số các số trong dãy số cách đều 13 đơn vị bắt đầu từ 104 đến 2002. Dãy số đó là: 104, 117, 130, 143, , 2002 - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì dãy số 104, 117, 130, 143, , 2002 có số các số là: (2002 – 104) : 13 + 1 = 147 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Số bé nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 104. Số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 2002. Vậy số các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là: (2002 – 104) : 13 + 1 = 147 (số) Đáp số: 147 số Bài toán 4. Từ 100 đến 2014 có bao nhiêu số chia hết cho 13 nhưng không chia hết cho 5. Phân tích: - Theo bài toán 3 thì số các số từ 100 đến 2014 mà chia hết cho 13 chính là số các số trong dãy số cách đều 104, 117, 130, 143, , 2002 và ta đã tìm được là 147 số. 8 of 11 11/11/2024, 3:56 PM
5. SKKN - Bây giờ ta tìm trong dãy số trên xem có bao nhiêu số chia hết cho 5. Hay nói cách khác ta tìm xem từ 104 đến 2002 có bao nhiêu số vừa chia hết cho 13 vừa chia hết cho 5 và cũng chính là số các số vừa chia hết cho 13 vừa chia hết cho 5 từ 100 đến 2014. Số bé nhất vừa chia hết cho 13 vừa chia hết cho 5 là 13 x 5 = 65. Ta lại làm bài toán mới sau: Từ 100 đến 2014 có bao nhiêu số chia hết cho 65. - Ta làm tương tự như bài toán 3 sẽ có được kết quả: Vì 100 : 65 = 1 (dư 35) Mà 65 – 35 = 30 Vậy số bé nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 65 là 100 + 30 = 130. Vì 2014 : 65 = 30 (dư 64) Vậy số lớn nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 65 là 2014 – 64 = 1950. Vậy ta có số các số chia hết cho 65 từ 100 đến 2014 chính là: (1950 – 130) : 65 + 1 = 29 (số) - Vậy từ 100 đến 2014 có số các số chia hết cho 13 mà không chia hết cho 5 là: 147 – 29 = 118 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: - Số bé nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 104. Số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 2002. Vậy số các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là: (2002 – 104) : 13 + 1 = 147 (số) Số nhỏ nhất chia hết cho cả 13 và 5 là: 13 x 5 = 65 - Số bé nhất chia hết cho 65 trong các số từ 100 đến 2014 là 130. Số lớn nhất chia hết cho 65 trong các số từ 100 đến 2014 là 1950. Vậy số các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 65 là: (1950 – 130) : 65 + 1 = 29 (số) - Vậy từ 100 đến 2014 có số các số chia hết cho 13 mà không chia hết cho 5 là: 147 – 29 = 118 (số) 9 of 11 11/11/2024, 3:56 PM
6. SKKN Đáp số: 118 số Ta đi tới bài toán tổng quát sau: * Bài toán tổng quát: Từ A đến B có bao nhiêu số chia hết cho n (A, B, n là số tự nhiên) Phân tích: - Ta phải tìm số bé nhất chia hết cho n và số lớn nhất chia hết cho n trong các số từ A đến B. - Tìm số bé nhất chia hết cho n trong các số từ A đến B như sau: Ta thực hiện phép chia A : n thì được kết quả như sau: A : n = x (dư r) Ta lấy n – r = p Vậy số bé nhất trong các số từ A đến B chia hết cho n là A + p = A1. - Tìm số lớn nhất chia hết cho n trong các số từ A đến B như sau: Ta thực hiện phép chia B : n thì được kết quả như sau: B : n = y (dư k) Vậy số lớn nhất trong các số từ A đến B chia hết cho n là B – k = B1. - Vậy số các số chia hết cho n từ A đến B chính là số các số trong dãy số cách đều n đơn vị bắt đầu từ A1 đến B1. - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì: Dãy số từ A1 đến B1 mà 2 số liền nhau hơn kém nhau n đơn vị có số các số là: (B1 – A1) : n + 1 Lưu ý: + A1, B1, x, y, r, k, p là số tự nhiên. + Trong bước tìm số bé nhất chia hết cho n ở trên nếu A : n = x (dư r) có số dư r = 0 thì ta không thực hiện phép tính n – r để tìm p mà lúc này số bé nhất chia hết cho n chính là A1 = A. Các bạn cùng tự giải mọt số bài toán sau: Bài 1. Tìm trung bình cộng của tất cả các số nhỏ hơn 2013 mà chia cho 5 dư 4. Bài 2. Tìm trung bình cộng của các số có 3 chữ số chia 10 of 11 11/11/2024, 3:56 PM
7. SKKN hết cho 5. Bài 3. Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 5. Bài 4. Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số chia hết cho 3. Bài 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà khi chia cho 5 dư 1. Bài 6. Có bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau không chia hết cho 5. C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Qua đây giáo viên có thể hoàn toàn yên tâm trước các bài toán có nội dung yêu cầu như trong sáng kiến này. Khi đó giáo viên hoàn toàn có thể vận dụng sang các bài toán khác có nội dung tương tự mà trong sáng kiến này chưa đề cập tới. - Với thời gian tìm tòi, nghiên cứu chưa nhiều nên sáng kiến không tránh khỏi những thiếu sót về cách trình bày, về nội dung cũng như tính khoa học. Tôi mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp để sáng kiến được hoàn thiện hơn. - Trong khuôn khổ sáng kiến này sự phát triển mở rộng kiến thức còn ít. Mong bạn đọc tiếp tục suy nghĩ, mở rộng, phát triển để phạm vi kiến thức áp dụng được rộng hơn. Xin trân trọng cảm ơn! TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Ký và ghi rõ họ tên) Nguyễn Văn Dục 11 of 11 11/11/2024, 3:56 PM