SKKN Khai thác ứng dụng một số tính chất hình học để giải quyết các bài toán tọa độ trong phẳng

Nội dung tóm tắt: SKKN Khai thác ứng dụng một số tính chất hình học để giải quyết các bài toán tọa độ trong phẳng

1. A( 0;3), B (3;4) và C nằm trên trục hoành. Xác định toạ độ đỉnh D của hình thang ABCD. Bài tập 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết E, F lần lượt là trung điểm của AB, AD. Biết F(0;3), E thuộc đường thẳng d:x+y-6=0, đỉnh C(8;1). Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD biết DE đi qua M(2;9) ; CD > AB ;AC vuông góc với BD. Bài tập 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình d: 3x-y=0, đường thẳng BD có phương trình d’: x-2y=0, góc tạo bởi 2 đường thẳng BC và AB bằng 450 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang là 24 và điểm B có hoành độ dương. 4. HÌNH VUÔNG VÀ HÌNH CHỮ NHẬT. Thí dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm C(3; -3) và điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = 0. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = 0. Xác định tọa độ các điểm A, B, D. Lời giải. A d A(t; 2 -3t) 1 t 3 Ta có: d(C; DM) = d(A; DM) | 4t -4 | = 8 | t - 1 | = 2 2 t 1 t = 3 A(3, -7) (loại vì A, C phải khác phía đối DM) t = -1 A(-1, 5) (thỏa mãn) Giả sử D(m; m-2).   AD CD (m 1)( m 3) ( m 7)( m 1) 0 2 2 2 2 m 5 D (5;3) AD CD (m 1) ( m 7) ( m 3) ( m 1) Gọi I là tâm của hình vuông I là trung điểm của AC I (1; 1) Do I là trung điểm của BD B(-3; -1). Thí dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) x2 y 2 2 x 6 y 2 0 và đường thẳng d: x y 2 0. Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (C) biết đỉnh A thuộc d và có hoành độ dương. Lời giải. Đường tròn (x 1)2 ( y 3) 2 8 có tâm I( 1;3) bán kính R 2 2 Vì A thuộc d nên A( x ;2 x ) . 2 2 2 2 x 1 Ta có IA 8 ( x 1) (1 x ) 8 ( x 1) 4 x 3 ( L ) 36
2. Vậy AC(1;1) ( 3;5) .  Đường thẳng BD đi qua I ( 1;3) vuông góc với IA nên nhận IA (2; 2) // u(1; 1) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: x y 4 0. Tọa độ giao điểm B, D thỏa mãn phương trình: 2 2 2 x 1 (x 1) ( x 1) 8 ( x 1) 4 x 3 Với x 1 y 5 Với x 3 y 1 Vậy B(1;5) D(-3;1) hoặc ngược lại. Thí dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung 11 1 điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M ; và 2 2 đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A. a 10 a 5 5a Lời giải. Ta có : AN = ; AM = ; MN = ; 3 2 6 AM2 AN 2 MN 2 1 cosA = = MAN 45o 2AM . AN 2 11 1 Phương trình đường thẳng AM : ax by a b 0 2 2 2a b 1 a cos MAN 3t2 – 8t – 3 = 0 (với t = ) 5(a2 b 2 ) 2 b 1 t = 3 hay t 3 2x y 3 0 + Với t = 3 tọa độ A là nghiệm của hệ : A (4; 5) 3x y 17 0 1 2x y 3 0 + Với t tọa độ A là nghiệm của hệ : A (1; -1). 3 x 3 y 4 0 Thí dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình: (x 2)2 ( y 3) 2 10 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M ( 3; 2) và điểm A có hoành độ dương. 37
3. Lời giải. Phương trình đường thẳng đi qua M(-3;-2) có dạng ax by 3 a 2 b 0 ( a2 b 2 0) . Đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R 10 . (C) tiếp xúc với AB nên d I; AB R hay 2a 3 b 3 a 2 b 10 10(a2 b 2 ) 25( a b ) 2 a2 b 2 a 3 b (a 3 b )(3 a b ) 0 b 3 a Do đó phương trình AB là x-3 y -3 0 hoặc AB:3x - y 7 0. Nếu AB:3x - y 7 0. Gọi A(t;3t+7) vì A có hoành độ xA 0 nên t > 0 và do IA2 2. R 2 20 nên 2 2 2 t 0 t 2 3 t 4 20 10 t 20 t 20 20 (loại) t 2 Nếu AB: x-3 y -3 0. Gọi A(3t+3;t) vì A có hoành độ xA 0 nên t >-1 và do IA2 2. R 2 20 nên 1 3t 2 t 3 2 20 10 t2 10 20 t 1. Suy ra A(6;1) C(-2;5) và B(0;-1); D(4;7) Vậy các điểm cần tìm là ABCD(6;1); (0; 1); ( 2;5); (4;7) . Thí dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có C(5;-7), A thuộc đường thẳng d: x y 4 0 , đường thẳng đi qua điểm D và trung điểm của BC có phương trình d' : 3 x 4 y 23 0 . Tìm tọa độ các điểm A và B, biết A có hoành độ dương. Lời giải. Vì A thuộc đường thẳng d nên A(t ; t+4). Gọi I là giao điểm của AC và d’. IC MC1  a 10 a 10 Khi đó theo định lí Ta- let ta có : IA 2 IC I ( ; ) . IA AD 2 2 3 Mà I thuộc d’ nên a=1. Vậy A(1;5). Gọi M là trung điểm của BC. M thuộc d’ nên M(13+4t;4+3t). Suy ra B(21+8t ; 15+6t).   t 3 Lại có : AB. CB 0 9 . t 5 Với t=-3 thì B(-3 ;-3). 38
4. 9 33 21 Với t thì B(;) . 5 5 5 Thí dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6, đường chéo AC có phương trình x+2y-9=0. Điểm M nằm trên cạnh BC. Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D biết C có tung độ là một số nguyên và đường thẳng CD đi qua N(2 ;8). Lời giải. Vì C thuộc đường thẳng AC nên C(9-2c ;c).   Khi đó NC (7 2 c ; c 8), MC (9 2 c ; c 4) .   c 5 Ta có : NC. MC 0 (7 2 c )(9 2 c ) ( c 8)( c 4) 0 19 . c 5 Vì C có tung độ là một số nguyên nên C(-1 ;5). Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại A’. 1 22 Khi đó : MA’ có phương trình 2x-y+4=0. Suy ra A'( ; ) . 5 5 1 1 Ta có : S MA'. MC . A' MC 2 3 2   CB SABC Do đó : 9 CB 3 CM B (2;2) . CM S A' MC     Tương tự CA 3 CA ' A (3;3). Từ AB CD D(0;6) . Thí dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Hai điểm B, C thuộc trục tung. Phương trình đường chéo AC là 3x+4y-16=0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD đã cho biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1. Lời giải. Ta có C là giao điểm của trục tung và đường thẳng AC nên C(0;4). Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1 nên bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng bằng 1. Vì B nằm trên trục tung nên B(0 ;b). Đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với Oy nên AB có phương trình y=b. 16 4b Vì A là giao điểm của AB và AC nên A(;) b . 3 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có : 39
5. 1 2S ( AB BC CA ) r r b 4 . ABC 3 Theo giả thiết r=1 nên ta có b=1 hoặc b=7. Với b=1 ta có A(4 ;1), B(0 ;1) và D(4 ;4). Với b=7 ta có A(-4 ;7), B(0 ;-7) và D(-4 ;4). Thí dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d: 2 x y 2 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng d' : x y 5 0. 9 2 Gọi H là hình chiếu của B lên đường chéo AC. Biết MK( ; ); (9;2) lần lượt là trung 5 5 điểm của AH và CD. Biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 4. Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Lời giải. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C. Ta có K là trung điểm của AE. Gọi B(b;2b+2); C(c;c-5) với c>4. Khi đó E(2 c b ;2 c 2 b 12) .   72 76 Do đó có: HE 2 MK H (2 c b ;2 c 2 b ) 5 5   Khi đó: CK(9 c ;7 c ); BC ( c b ; c 2 b 7) và  72 86  9 27 BH(2 c 2 b ;2 c 4 b ); MC ( c ; c ) 5 5 5 5   2c2 3 bc 23 c 23 b 49 0 b 1 CK. BC 0 Ta có: c 9   2 126 594 BH. MC 0 4c 6 bc b 46 c 0 5 5 c 4( L ) Từ đó có: B(1;4); C(9;4). Do K là trung điểm CD nên D(9;0). Lại có C là trung điểm BE nên E(17;4) và K là trung điểm AE nên A(1;0). Thí dụ 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(-1;3), đỉnh B thuộc đường thẳng d: x 2 y 1 0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD. I là A B giao điểm của AM và BN. Tìm tọa độ điểm C , biết 7 1 I ; . 5 5 I M Lời giải. Do BI đi qua I và vuông góc với AI BI đi qua D N C 40
6. 7 1  12 16 I(;) và có vecto pháp tuyến AI ; BI:3 x 4 y 5 0 , mà 5 5 5 5 x 2 y 1 0 x 3 B d  BI tọa độ B là nghiệm của hệ: B 3;1 . 3x 4 y 5 0 y 1  Vì BC đi qua B và có vecto pháp tuyến là AB 4; 2 BC: 2x – y – 5 = 0 C(a; 2a- 5) 2 2 2 a 5 Do AB = BC a 3 2 a 6 20 a 6 a 5 0 . a 1 Với a = 5 C(5; 5). Với a = 1 C(1; -3). Thí dụ 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; –3) và cạnh BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tìm tọa độ đỉnh C biết phương trình đường thẳng MN là x + 3y – 16 = 0. Lời giải. Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên MN và AC. 44 12 Phương trình DK là 3x - y - 24 = 0 K(;) . 5 5 Gọi I = MN  CD. Ta có ACIM là hình bình hành CI = AM DH DC 2 41 3 Theo định lý Thales thuận ta có: H (;) DK DI 3 5 5 Đường thẳng AC qua H và AC // MN AC: x + 3y - 10 = 0. C AC C(10 - 3c; c). c 0 1 1 1 2 2 Trong ACD có CD 18 10 c 12 c 0 6 AD2 CD 2 DH 2 c 5 32 6 Do đó: CC(10;0), ( ; ) . 5 5 Thí dụ 11. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm M(0; 2), N(5; - 3), P(- 2; - 2), 41
7. Q(2; - 4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD. Tính diện tích hình vuông đó. Lời giải. Đường thẳng chứa cạnh AB: ax + b(y - 2) = 0 Đường thẳng chứa cạnh BC: b(x - 5) - a(y + 3) = 0 d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) 2a b ( 2 2) b (2 5) a ( 4 3) 2(a 2 b ) a 3 b a2 b 2 a 2 b 2 2a 4 b a 3 b a 7 b 2a 4 b a 3 b b 3 a i) a = 7, b = - 1: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 2 dt(ABCD) = 2 ii) a = 1, b = - 3: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 10 dt(ABCD) = 10 Bài tập tự luyện Bài tập 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3;-3) và các đường thẳng x 1 t d1 : x y 2 0 và d2 :() t R . Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình y 1 3 t vuông ABCD biết điểm C thuộc d2 , các điểm B, M thuộc d1 với M là trung điểm của AD, điểm C có hoành độ âm. Bài tập 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, biết phương trình đường thẳng BD là : 3x-y-8=0, đường thẳng AB qua M(1;5), đường chéo AC qua P(2;3). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông đã cho Bài tập 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đường thẳng AB, AD đi qua M(2;3) và N(-1; 2). Viết phương trình các đường thẳng 5 3 BC và CD biết tâm của hình chữ nhật là điểm I(;) và AC 26 . 2 2 Bài tập 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi E,F lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB,AD. Xác định tọa độ đỉnh C, 2 biết E( 1; ) , phương trình đường thẳng CF:y=2x và hình vuông ABCD có chu vi 3 gấp 2 lần chu vi tam giác AEF. Bài tập 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(−1;1), điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC=2MB, điểm N thuộc cạnh CD sao cho NAM 450 . Tìm tọa độ đỉnh C biết phương trình đường thẳng MN là 7x+y−24=0 và N có tung độ âm. 42
8. Bài tập 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng BD. Các điểm H(−2;3) và K(2;4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB,AD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. Bài tập 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có B(4;6), điểm M(3;3) nằm giữa AC thoả mãn 2AM = MC. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết AD nằm trên đường thẳng 3x+y+1=0 Bài tập 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y 4 0. Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3x 4 y 23 0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ dương. Bài tập 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x2 y 2 8 x 6 y 21 0 và đường thẳng d:x+y−1=0. Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A d . Bài tập 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(2;3),B(5;2),C(8;6) và một đường thẳng d: y=x+5. Tìm trên d một điểm D sao cho hình vuông MNPQ có các cạnh MN, NP, PQ, QM lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D có diện tích đạt giá trị lớn nhất. III. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐƯỜNG TRÒN. Một bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại học, cao đẳng. Các kiến thức cần nhớ là: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng . Nếu d(;) I R : và (C) không có điểm chung. Khi đó: Từ một điểm bất kì nằm trên đường thẳng luôn kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). Lấy điểm K bất kì trên đường tròn (C). Khi đó: d(;)(;)(;) I R d K d I R . Nếu d(;) I R : là tiếp tuyến của đường tròn (C). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) ( trong đó A,B là hai tiếp điểm). Khi đó: + AB MI , MI là tia phân giác của góc AMB . + SMAIB 2 S AIM AI . AM AH . IM . Nếu d(;) I R : cắt (C) tại hai điểm phân biệt C và D. Gọi H là trung điểm đoạn CD. Khi đó: 43
9. 1 + Tam giác ICD cân tại I và S R2.sin CID . ICD 2 CD2 + IH CD, IH2 R 2 . 2 + Độ dài đoạn CD lớn nhất khi đường thẳng CD đi qua tâm I của đường tròn (C). Thí dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C : x2 y 2 6 x 2 y 6 0 và điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C). Lập phương trình của d sao cho AB AC nhỏ nhất. Lời giải. Tâm đường tròn I(3;1), R 2; IA 25 d (,) I A R 2 nên điểm A nằm ngoài (C) 2- 2 Ta có PAC/() AB.AC = d - R = 16 ; và AB AC 2 AB . AC 2.4 8 Dấu “=” xảy ra AB = AC = 4 . Khi đó d là tiếp tuyến của (C), d có dạng a( x 1) b ( y 3) 0 ax by a 3 b 0 3a b a 3 a 2 b 0 a 1 Từ đó ta có d( I , d ) 2 2 3b 4 ab a2 b 2 4a 3 b Vậy phương trình d : x=1, 3x+4y-15=0. Thí dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x2 y 2 2 x 4 y 8 0 và điểm M (7;7) . Chứng minh rằng từ M kẻ đến (T) được hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Lời giải. (T ) ( x 1)2 ( y 2) 2 13 I (1; 2); R 13  Ta có: IM(6;9) IM 117 13 . Suy ra điểm M nằm ngoài (T). Vậy từ M kẻ đến (T) được 2 tiếp tuyến Gọi K MI  AmB . Ta có MA MB, IA IB MI là đường trung trực của AB. KA = KB A KAB  KBA  KAM  KBM K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. I m x 1 2 t Phương trình đường thẳng MI: , y 2 3 t K MI () T tại K1(3;1) và K2(-8;-12) B M 44
10. Ta có AK1 AK 2. Vậy KK 1 , tức là K(3;1). Thí dụ 3. Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: y 3 . Gọi (C) là đường tròn cắt d tại 2 điểm B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C cắt nhau tại O. Viết phương trình đường tròn (C), biết tam giác OBC đều. Lời giải. Gọi (C)có tâm I bán kính R. OI cắt BC tại H thì H là trung điểm BC và OH vuông góc BC =>H(0; 3 )=>OH= 3 . Do tam giác OBC I BC 3 đều nên OH= 3 BC 2. B 2 C H Trong tam giác vuông IB có 1 HB2 HI. HO 1 IH 3  1  3 4 3 HI OH (0; ) I (0; ) 3 3 3 O Trong tam giác vuông IBH có 4 R2 IB 2 IH 2 HB 2 3 4 3 4 Vậy phương trình đường tròn (C): x2 () y 2 . 3 3 Thí dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng : x – y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2. Lời giải. Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình ()()x a2 y b 2 R 2 MAB vuông tại M nên AB là đường kính suy ra qua I do đó: a - b + 1 = 0 (1) 2 1 1 Hạ MH AB có MH d 2 M (,)M 2 1 1 S MH. AB 2 .2 R . 2 R 2 MAB 2 2 A B Vì đường tròn qua M nên (2 a )2 (1 b ) 2 2 (2) H I 45
11. a b 1 0 (1) Ta có hệ 2 2 (2 a ) (1 b ) 2 (2) Giải hệ được a = 1; b = 2. Vậy (C) có phương trình (x 1)2 ( y 2) 2 2 . Thí dụ 5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – x – 4y – 2 = 0 và các điểm A(3 ;-5) ; B(7;-3). Tìm điểm M trên đường tròn (C ) sao cho P = MA2 + MB2 nhỏ nhất. 1 5 Lời giải. Đường tròn (C) có tâm IR( ;2), 2 2 Gọi H là trung điểm đoạn AB => H(5; -4). Xét tam giác MAB có MA2 MB 2 AB 2 AB 2 MH2 P MA 2 MB 2 2 MH 2 2 4 2 do đó P nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất hay M là giao điểm của OH với (C) x 5 3 t mà IH : , thay vào phương trình đường tròn ta được phương trình y 4 4 t 2 t 1 t 3 t 2 0 t 2 Với t = -1 thì M(2; 0), với t = -2 thì M(-1; 4) -Kiểm tra thấy M(2; 0) là điểm cần tìm Thí dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích IAB lớn nhất. Lời giải. (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 có tâm là I (-2; -2); R = 2 Giả sử cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của ABC, ta có S ABC 1 = IA. IB .sin AIB = sin AIB 2 Do đó S ABC lớn nhất khi và chỉ khi sin AIB = 1 AIB vuông tại I IA 1 4m IH = 1 (thỏa IH < R) 1 2 m2 1 46
12. m 0 2 15m – 8 m 0 8 m 15 Thí dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường tròn (C): x2 y 2 2 x 4 y 5 0 và điểm A(1;0). Gọi M, N là hai điểm trên đường tròn (C) sao cho tam giác AMN vuông cân tại A. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N.  Lời giải. Tâm I(1;-2), IA (0;2). Tam giác AMN cân tại A khi IA MN Gọi d AI suy ra d có dạng y = - m Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x2 2 x m 2 4 m 5 0 (1) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 m2 4 m 6 0 (*) Khi đó theo định lý Viet ta có: x x 2 1 2 2 x1. x 2 m 4 m 5 Gọi M x1;,(;) m N x 2 m Tam giác AMN vuông tại A khi và chỉ khi   2 AM. AN 0 x1 . x 2 ( x 1 x 2 ) m 0 2 m 1 2m 4 m 6 0 m 3 So với đk (*) có hai giá trị của tham số m là m = 1 hay m = -3. Thí dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I có hoành độ dương thuộc đường thẳng d: x y 1 0 và điểm A(1; 2) nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (với B, C là tiếp điểm), viết phương trình đường tròn (C) biết IA 2 2 và đường thẳng BC đi qua điểm M(3; 1). Lời giải. Do I d I( a ; a 1); IA 2 2 a 1 2 a 1 2 8 a 1 , vì hoành độ của I dương nên a =3 I(3;4) a 3 47
13. Gọi K là trung điểm của AI K 2;3 . do AB, AC là các tiếp tuyến với (C) nên tứ 1 giác ABIC nội tiếp đường tròn C có tâm K bán kính R . AI 2 1 1 2 2 2 Ta có phương trình (C1 ) : x 2 y 3 2 R là bán kính của đường tròn (C) ta có pt (C ) : x 3 2 y 4 2 R2 2 2 x 2 y 3 2 Do B, C =()()CC1 tọa độ B, C là nghiệm của hệ: 2 2 2 x 3 y 4 R Trừ theo vế 2 pt của hệ ta được phương trình BC: 2x 2 y R2 14 0 ( điều kiện R R. Suy ra qua mọi M thuộc (d) đều kẻ được tiếp tuyến của (C). 1 1 1 4 1 1 Tam giác AMI vuông ở M có:: AH2 AI 2 AM 2 AB 2 R 2 IM 2 R 2 Từ đó suy ra, AB nhỏ nhất khi chỉ khi IM nhỏ nhất , khi chỉ khi M là hình chiếu của I trên (d)  M ( d ) M ( x ; x 7) MI (1 x ; 5 x ) , d có véc tơ chỉ phương a (1; 1) .  MI() d MI .01 a x 5 x 0 x 2 M (2;5) Bài tập tự luyện Bài tập 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x 2)2 ( y 1) 2 5 và đường thẳng (d ) : x 3 y 9 0 . Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến ()C để độ dài AB nhỏ nhất ( AB, là các tiếp điểm). 48
14. Bài tập 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2 y 2 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) sao cho d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B và diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. Bài tập 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình 4 (x 2)2 y 2 và các đường thẳng d: x-y=0, d’: x-7y=0. Xác định tọa độ tâm K và 5 bán kính đường tròn (C’), biết rằng đường tròn (C’) tiếp xúc với đường thẳng d, d’ và có tâm K thuộc đường tròn (C). Bài tập 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2 y 2 2 x 6 y 6 0 và điểm M(-3;1). Gọi A, B là tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (C). Viết phương trình đường tròn (C). Bài tập 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x 1)2 ( y 2) 2 4 và điểm A(2;1). Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn (C) tại hai điểm B và C. Hai tiếp tuyến của (C) tại B và C cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích của điểm M. 49