SKKN Một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập phần phương pháp tọa độ trong không gian

Nội dung tóm tắt: SKKN Một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập phần phương pháp tọa độ trong không gian

1. MỤC LỤC Mục Lục 1 1. Lời giới thiệu . 2 2. Tên sáng kiến 2 3. Tác giả sáng kiến 2 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 2 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 2 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 2 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 3 - Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan. - Một số bài toán cực trị hình học. 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có) 19 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 19 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử 19 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu 20 1
2. BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I. LỜI GIỚI THIỆU Bài toán cực trị hình học trong chương Phương pháp tọa độ trong không gian là dạng toán hay và khó. Để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối liên hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Là dạng toán xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây và trong đề tham khảo thi THPT Quốc gia năm 2019 của Bộ Giáo Dục – Đào Tạo, nhiều em học sinh còn lúng túng không biết hướng làm bài. Để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó. Nhằm mục đích giúp học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề Giúp các em hoàn thành tốt bài thi THPT Quốc gia môn Toán, tiền đề để các em bước tiếp vào tương lai. II. TÊN SÁNG KIẾN: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHI GIẢI BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: - Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà - Gia Khánh - Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - Số điện thoại:0975 009 619 Email: Nguyenthithuybinh. gvquangha@Vinhphuc.edu.vn IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Sáng kiến được áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán lớp 12 VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU Một số bài toán cực trị hình học trong Phương pháp tọa độ trong không gian đươc̣ áp dung̣ lầ n đầ u năm hoc̣ 2017 – 2018 khi giảng daỵ ôn thi THPT Quố c gia cho 2
3. hoc̣ sinh lớp 12 . Kết quả: Hoc̣ sinh nắ m đươc̣ nôị dung và biết vâṇ dung,̣ bướ c đầ u thu đươc̣ môṭ số kết quả khả quan. VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 1. Nội dung của sáng kiến Phần I. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan 1, Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng + ≠ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mp (α) Chú ý: + là vectơ pháp tuyến của (α) thì (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (α) + nếu ) , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên (α) thì vectơ pháp tuyến của (α) là 2, Phương trình tổng quát của mặt phẳng + Phương trình tổng quát của (α) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠ 0) Chú ý: + Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz +D = 0 thì (α) có một vectơ pháp tuyến là (A; B; C) + Nếu (α) qua M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến là (A; B; C) thì phương trình (α) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 3, Phương trình tham số của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vecto chỉ phương a (;;) a1 a 2 a 3 là: x x01 ta y y02 ta z z03 ta trong đó t là tham số. Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của dưới dạng chính tắc: x x y y z z 0 0 0 a1 a 2 a 3 Phần 2: Một số bài toán cực trị hình học Bài toá n 1: Viết phương trinh̀ mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cá ch môṭ điểm Md môṭ khoảng lớ n nhấ t. Giải 3
4. + Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P M + Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d Ta có: MH MK khi H trùng K d H K x 12 y z VD1: Viết phương trình mp (P) chứ a đường thẳng d: và cách M 2 1 1 (2;1;1) môṭ khoảng lớn nhất. Giải + Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) + Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d VD2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm A (1;-2;1) song song với đường thẳng d: xy 1 z và cách gốc toạ đô ̣môṭ khoảng lớ n nhất. 22 Giải + (P) chứa d’: qua A, // d. Phương trình d’: d + K là hình chiếu của O trên d’ d’ + Tìm được t = 1/9 VD3: Viết phương trình măṭ phẳng (P) đi qua O, vuông góc với măṭ phẳng (Q) : 2x – y + 1 z – 1 = 0 và cách điểm M ( ( ;0;2) ) môṭ khoảng lớn nhất. 2 Giải 4
5. + (P) chứa đường thẳng d: qua O, vuông góc với (Q). + Phương trình d: + K là hình chiếu của M trên d . Tìm được t = 3/4. Bài toán 2: Phương triǹ h măṭ phẳng (P) chứ a đường d, taọ vớ i đường thẳng d’ (d’ không song song vớ i d) môṭ góc lớ n nhấ t. Giải + Lấy K d. Kẻ KM // d’. + Gọi H là hình chiếu của M trên (P), I là hình chiếu của M trên d. Bước 1: Lấy K thuộc d. Đường thẳng qua K, // d’. Bước 2: Lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng, tìm hình chiếu I của M trên d. 5
6. Bước 3: (P) qua I, vuông góc với IM. x 112 y z VD1: Viết phương trình măṭ phẳng (P) chứ a d: taọ với đường thẳng 2 1 2 x 11 y z d’: môṭ góc lớn nhất. 1 2 1 Giải + Lấy K(1; - 1; 2) + Lấy M(2; 1; 3) Tìm được điểm I. Mp (P): qua I, vuông góc MI có phương trình: x – 4y + z – 7 = 0. VD2: Viết phương trình măṭ phẳng đi qua O và vuông góc với măṭ phẳng (P) : 2x + y – z – 1 = 0 và tạo với truc̣ Oy môṭ góc lớn nhất. Giải + chứa đường thẳng : qua O, vuông góc với mặt phẳng (P); VD3: Viết phương trình măṭ phẳng đi qua O, song song với đường thẳng d: x 12 y z và taọ vớ i măṭ phẳng (P) : x + 2y – z + 1 = 0 môṭ góc nhỏ nhất. 2 1 3 6
7. Giải + Gọi a là đường thẳng qua O, // d + qua O, vuông góc với (P) có PT: Gọi I là hình chiếu của M trên a VD4: Viết phương trình măṭ phẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) và taọ với truc̣ Ox môṭ góc lớn nhất. Giải Từ đó tìm được t = 1/18. Bài toá n 3: Viết phương trinh̀ đường thẳng d đi qua môṭ điểm A cho trướ c và nằm trong mặt phẳng (P) cho trướ c và cách môṭ điểm M cho trướ c môṭ khoảng nhỏ nhấ t (AM không vuông gó c với (P)). Giải + Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và d. 7
8. Ta có MK MH (MK)min khi K H + Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P) d qua A và H VD1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ đô ̣ O, nằm trong măṭ phẳng (P) : 2x – y + z = 0 và cách điểm M (1;2;1) môṭ khoảng nhỏ nhất. Giải + Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P). + Đường thẳng qua M, vuông góc với (P): + Xét hệ: VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O.song song với măṭ phẳng (P) : 2x – y – z + 1 = 0 và cách điểm M (1;-1;2) môṭ khoảng nhỏ nhất. Giải + Vì d qua O, // (P) nên d nằm trong mặt phẳng qua O, // (P) + Gọi H là hình chiếu của M trên + Xét hệ: 8
9. Vậy PT đường thẳng d là: VD3: Tìm căp̣ số nguyên dương (a,b) nhỏ nhất để khoảng cách từ O đến đường thẳng x 1 a at d: y 2 b bt (a ≠ 0) nhỏ nhất. z 1 2 a b (2a - b)t Giải + d qua A(1; 2; 1) cố định, d nằm trong (P): qua A, vecto pháp tuyến + Gọi H là hình chiếu của O trên (P) Từ đó tìm được a = 8; b = 11. Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A cho trướ c, nằm trong măṭ phẳng (P) và cá ch điểm M (M khá c A, MA không vuông góc vớ i (P)) môṭ khoảng lớ n nhất. Giải + Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d 9
10. + Mà VD1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;-1) cho trước, nằm trong măṭ phẳng (P) : 2x – y – z = 0 và cách điểm M( 0;2;1) môṭ khoảng lớn nhất. Giải VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ đô ̣O, vuông góc với đường thẳng x 1 y 1 z 1 d1 : và cách điểm M (2;1;1) môṭ khoảng lớn nhất. 2 3 1 Giải + d nằm trong qua O, vuông góc d1 VD3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;0;2), song song với măṭ phẳng (P) : 2x – y + z – 1 = 0 và cách gốc toạ đô ̣O môṭ khoảng lớn nhất. Giải + d nằm trong qua A, // (P) x 1 2a + at VD4: Tìm a để đườ ng thẳng d: y = -2 + 2a + (1-a)t (a là tham số) cách điểm M z = 1 + t 1 ( ,1,4) môṭ khoảng lớn nhất. 2 Giải + d luôn đi qua điểm A(1; 0; 3) + Từ đó tìm được a = 4/3. 10
11. Bài toá n 5: Cho măṭ phẳng (P) và điểm A∈ (P) , và đường thẳng d (d cắ t (P) và d không vuông góc với (P)). Viết phương trinh̀ đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong (P) và tạo vớ i d môṭ góc nhỏ nhấ t. Giải + Từ A, vẽ // d + Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của M trên (P) và d’. + Lấy điểm M thuộc Bước 1: Viết qua A, // d Bước 2: Lấy M thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P) Bước 3: d’ qua A và H. VD1: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ đô ̣ O, nằm trong măṭ phẳng (P) : 2x x y 11 z – y – z = 0 và taọ với đường thẳng d: môṭ góc nhỏ nhất. 2 1 2 Giải + : qua O, // d + Lấy M(2; -1; 2) thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P). 11
12. + Xét hệ phương trình: VD2: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua O, vuông góc vớ i đường thẳng d: x 1 y 1 z 1 và taọ vớ i măṭ phẳng (P) : x – y + 2z – 1 = 0 môṭ góc lớn nhất. 2 2 1 Giải + d’ nằm trong mặt phẳng : qua O, vuông góc với d + d’ tạo với đường thẳng a (vuông góc với (P)) một góc nhỏ nhất. x y 1 z VD3: Viết pt đường thẳng đi qua gốc toạ đô ̣ O, cắt đường thẳng d: và taọ 1 2 3 với trục Oy môṭ góc nhỏ nhất. Giải + Mp đi qua O, chứa đường thẳng d. Ta có: M(0; 1; 0) thuộc d Vậy nên Oy nằm trong . Trong : đường thẳng qua O, tạo với trục Oy góc nhỏ nhất là góc Bài toá n 6: Cho măṭ phẳng (P) và điểm A∈ (P) , và đường thẳng d cắ t (P) taị điểm M khá c A. Viết pt đường thắ ng d’ nằm trong (P) đi qua A và khoảng cá ch giữa d và d’ lớ n nhấ t. Giải + Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d, // d’ 12
13. + K là hình chiếu của A trên d. Ta có: AK vuông góc với (Q) nên AK vuông góc với d’ x 1 y z VD: Cho măṭ phẳng (P) : 2x + y + z – 3 = 0 và đường thẳng d’: . Viết 1 2 1 phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất. Giải + K là hình chiếu của A trên d’ Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d // (P). Viết phương trinh̀ đườ ng thẳng d' nằm trong (P), d’ và cách d môṭ khoảng nhỏ nhấ t Giải + Lấy A là một điểm thuộc d. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên (P). 13
14. + d’ là đường thẳng qua A’ và song song với đường thẳng d. VD: Cho măṭ phẳng (P) : 2x – y + z + 1 = 0. Viết phương trinh̀ d nằm trong mp (P), song song với mặt phẳng (Q) : x – 2y + z + 2 = 0 và cách gốc O môṭ khoảng nhỏ nhất. Giải + d đi qua hình chiếu H của O trên (P) + d là giao của (P) với (Q’) trong đó (Q’) // (Q). Một số bài toán khác VD1: Viết pt mặt phẳng đi qua điểm A (1;0;-2) và cách điểm M (2;1;1) môṭ khoảng lớn nhất. HD: x 11 y z VD2: Cho đường thẳng d: , viết phương trình đường thẳng d’ song song 2 1 2 với d, cách d môṭ khoảng bằng 3 và cách điểm K (-3;4;3) môṭ khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). Giải + Gọi (P) là mặt phẳng qua K, vuông góc với d, cắt d tại I, cắt d’ tại M 14
15. + Trong (P) tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính = 3, cách K một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất. + (P): 2(x + 3) + 1(y – 4) + 2(z – 3) = 0 . Vì Ta có IK = 6 > 3 Vậy x 3 y 3 z 3 VD3: Cho đường thẳng d : .Viết pt đường thẳng d’ song song với d, 2 1 1 x 21 y z cách d môṭ khoảng bằng và cách đườ ng thẳng ∆: môṭ khoảng nhỏ 1 2 1 nhất ( lớn nhất). Giải + Gọi d’ là đường sinh của mặt trụ: trục d, bán kính + Gọi (P) là mặt phẳng chứa và song song với d (d’// d và d’ // ). Khi (P) cắt mặt trụ thì d’ là giao của mặt trụ với mp(Q) chứa d và vuông góc (P). + Gọi M(x; y; z) là giao của IH với mặt trụ (gần (P) nhất). 15
16. xt 32 VD4: Cho đường thẳng d: yt 2 . Viết phương trinh̀ mp (P) song song và cách d môṭ zt 2 khoảng R = 2 và cách M (0;1;2) môṭ khoảng nhỏ nhất ( lớn nhất ). Giải + (Q): qua M, vuông góc với d và cắt d tại I + Đường thẳng qua M, vuông góc với (P) và cắt (P) tại A. Gọi B’ là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta thấy: I, M, B, A thuộc (Q) và VD5: Cho măṭ cầu (S): (x + 1)2 + (y – 4)2 + z2 = 8 và điểm A (3;0;0) , B (4;2;1). Goị M là điểm thuôc̣ măṭ cầu (S). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thứ c MA + 2MB Giải + M(a; b; c) thuộc mặt cầu (S), ta có: 16
17. + Kiểm tra được B’ nằm trong mc(S), B nằm ngoài mc(S). Vậy MA + 2MB = 2(MB’ + MB) YCBT: (MB’ + MB) min khi: B’, M, B thẳng hàng . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 3) và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. (P) đi qua điểm nào sau đây? A. M (0; 2; -1) B. M (1; 1; 1) C. M (3; 2; 1) D. M (- 1; 1; 1) Câu 2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oz một góc lớn nhất. Hỏi mp(P) đi qua điểm nào dưới đây? A. M (1; 3; 2) B. M (2; 1; 0) C. M (4; 1; 1) D. M (1; 1; 1) Câu 3. Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oyz) và cách điểm M(1; - 2; 1) một khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung. Câu 4. Cho đường thẳng d: (a, b là các tham số đã biết). Biết khoảng cách giữa d và Ox lớn nhất. Tính Câu 5. Cho mặt phẳng (P): và đường thẳng . Gọi d’ là đường thẳng nằm trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào sau đây? 17
18. Câu 6. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (P): và tạo với trục Ox một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây? Câu 7. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng và cách điểm A (- 1; 2; 3) một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) song song với đường thẳng nào sau đây? Câu 8. Cho mặt phẳng (P): . Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và cách O một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây? Câu 9. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1; 2; - 1), vuông góc với trục Ox và cách điểm M(2; 1; - 2) một khoảng nhỏ nhất. Một vecto chỉ phương của d là: Câu 10. Cho mặt phẳng (P): . Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P). Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d. 18
19. 2. Khả năng áp dụng của sáng kiến: Sau khi hướng dẫn học sinh một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi thấy học sinh đã giải quyết tốt các bài tập về viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong không gian và nâng cao được kết quả thi THPT Quốc gia năm học 2017 - 2018 Chuyên đề giúp các em có được cái nhìn tổng quan về phương pháp tọa độ trong không gian nói chung và một số bài toán về cực trị hình học nói riêng. Tạo hứng thú say mê học tập trong bộ môn Toán. Từ đó phát huy được khả năng tự giác, tích cực của học sinh, giúp các em tự tin vào bản thân khi gặp bài toán cực trị hình học. Đó chính là mục đích mà tôi đặt ra. VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT: không có IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: - Học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về vecto pháp tuyến của mặt phẳng; vecto chỉ phương của đường thẳng; phương trình tổng quát của mặt phẳng và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC 1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: - Sáng kiến đã xây dựng và lựa chọn một hệ thống các bài tập cực trị hình học về viết phương trình mặt phẳng và viết phương trình đường thẳng khi giải bài tập phần phương pháp tọa độ trong không gian, mức độ vận dụng khi ôn thi THPT Quốc Gia. - Bước đầu nghiên cứu sử dụng hệ thống bài tập này theo hướng tích cực thể hiện qua sự thích thú say mê bộ môn. Học sinh có thể vận dụng để giải nhanh bài toán cực trị hình học tọa độ không gian bằng cách tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị (số đo góc, khoảng cách, độ dài) xảy ra. 2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: không có 19
20. XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/ CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU. Số Tên tổ Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực TT chức/cá nhân áp dụng sáng kiến 1 Nguyễn Thị Giáo viên Trường THPT Quá trình ôn thi THPT Quốc Thảo Quang Hà gia năm học 2017 – 2018. Bình Xuyên, ngày tháng năm 2019 Bình Xuyên, ngày tháng năm 2019 PHÓ HIỆU TRƯỞNG TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Thúy Bính Nguyễn Viết Ngọc 20