SKKN Phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức và một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức

Nội dung tóm tắt: SKKN Phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức và một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức

1. Sáng kiến kinh nghiệm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” Môn: Toán Tên tác giả: Bùi Thị Hải Giáo viên môn: Toán Năm học 2011 - 2012 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung “số phức” vào chương trình phổ thông. Đây là một nội dung mới đối với học sinh bậc phổ thông, mặc dù nội dung còn ở mức độ đơn giản song nó là mới lạ đối với học sinh lớp 12, đặc biệt nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượng không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nội dung này đã được đưa và hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học trong những năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệ nhất định. Vì vậy việc dạy và học “Số phức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu. Trải qua hai năm tham gia dạy chương trình toán lớp 12, tôi đã có những trải nghiệm nhất định về việc dạy và việc học của học sinh tôi thấy: + Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận dụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em còn nhầm tưởng tính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức. + Nghiên cứu dạng toán này còn giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số dạng toán nâng cao trong hình học, trong lượng giác. Từ lí do trên mà tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số phức của lớp 12. II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU * Đề tài có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở trường THPT tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Cao đẳng – Đại học. * Phạm vi nghiên cứu của đề tài: + Một số dạng bài tập thường gặp về số phức. + Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức. + Ứng dụng số phức để giải quyết một số bài toán về số thực. + Các bài toán tham khảo qua các kì thi. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU + Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh về kinh nghiệm và phương pháp giải một số bài tập về số phức. Qua SKKN này học sinh nắm được những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. Đặc biệt học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán về số phức và tránh được một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình giải toán về số phức. + Tự bản thân trau rồi và rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. + Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM. 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở: + Các kiến thức cơ bản về số phức. + Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. + Những sai lầm thực tế khi làm bài của học sinh về số phức. 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm PHẦN NỘI DUNG A) TÓM TẮT NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. 1) SỐ PHỨC * Định nghĩa 1: Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b R và i2 = -1. Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi. Tập hợp các số phức kí hiệu là C. * Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau a a ' a bi a ' b'i ' b b Từ đó, a + bi = 0 a = b = 0. Chú ý: 1) Đây là cơ sở của việc ứng dụng số phức để giải quyết các bài toán trong tập hợp số thực. 2) Trong C không có quan hệ thứ tự, nghĩa là không có khái niệm z > z’ ,z < z’, z z’, z z’. * Biểu diễn hình học của số phức: + Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt phẳng Oxy và ngược lại. Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b). Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ u(a;b) . + Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực. Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo. * Phép cộng, phép trừ hai số phức: Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i. Tổng của hai số phức trên là số phức z+z’ = (a+a’) + (b+b’)i . Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z’ = (a-a’) + (b-b’)i . Khi đó, nếu u(a;b)biểu diễn số phức z, u'(a ' ;b' )biểu diễn số phức z’ thì vectơ u u ' ,u u ' lần lượt biểu diễn số phức z+z’, z- z’ * Phép nhân số phức: Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i. Tích của hai số phức trên là số phức zz’ = (aa’ –bb’)+ (ab’+a’b)i . Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R. * Phép chia số phức: + Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức z a bi . + Môđun của số phức z = a +bi là z a 2 b2 . 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm 1 + Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức z 1 z . z 2 ' + Thương z của hai số phức z ’ = a’ + b ’i và số phức z = a + bi khác 0 là tích z ' ' ’ z ' 1 z z của z với số phức nghịch đảo của z, tức là z .z z z 2 a' b' i (a' b' i)(a bi) Vậy: ,(a 2 b2 ). a bi a 2 b2 Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M ’ biểu diễn số phức z’ thì độ dài đoạn thẳng MM bằng môđun z z ' . 2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 * Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z = w. *Nhận xét: +) Mỗi số phức z 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0) +) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. +) Đặc biệt: số thực a dương có hai căn bậc hai là a và a ; số thực a âm có hai căn bậc hai là ai và ai ; * Chú ý 1:Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức. * Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức w a bi : + Giả sử z x yi là căn bậc hai của w. Vậy ta có: z 2 w x 2 y 2 2xyi a bi x 2 y 2 a + Giải hệ phương trình: (1) . 2xy b Việc tìm căn bậc hai của số phức w được quy về việc giải hệ phương trình (1) bằng phương pháp thế trong tập hợp số thực. *Phương trình bậc hai: Az 2 Bz C 0; A 0 (2) được giải như sau: +) Tính B 2 4AC +) Nếu 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: B  B  z , z , trong đó  là một căn bậc hai của . 1 2A 2 2A B +) Nếu = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép: z z . 1 2 2A 3) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG * Định nghĩa: Dạng lượng giác của số phức z là : z r cos isin , với r > 0. * Phương pháp tìm dạng lượng giác: của số phức z = a + bi (a, b R) khác 0 cho trước: +) Tìm môđun của số phức z là r a 2 b2 . a cos +) Tìm acgumen của số phức z là , R sao cho r b sin r 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm * Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác: , , , , , +) Nếu z r cos isin , z r cos isin , (r 0,r 0 ) thì , , , , zz rr cos isin z r , , cos isin . , , z r +) Lưu ý: Nhân hai số phức: tích các môđun và tổng các acgumen. Chia hai số phức: thương các môđun và hiệu các acgumen. * Công thức Moa – vrơ: +) r cos isin n r n cosn isin n ; n N* +) Đặc biệt khi r = 1: cos isin n cosn isin n * Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức z r cos isin , r > 0, có hai căn bậc hai là: r cos isin và r cos isin r cos( ) isin( ) 2 2 2 2 2 2 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm B) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Dựa vào những nội dung trọng tâm và những kiến thức cần lưu ý, trên cơ sở đó ta có thể phân loại một số dạng bài tập vận dụng sau đây: Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính * Yêu cầu: - Nắm chắc các khái niệm và các phép toán. - Rèn luyện kĩ năng tính toán thành thạo, chính xác. - Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. * Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết : (1+ i)2.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z ( Đề thi TS Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Giải: Ta có (1+ i)2.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z  1 i 2 (2 i) (1 2i)z 8 i 2i 2 i 1 2iz 8 i 8 i 8 i 1 2i z 2 3i 1 2i 5 Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3. Ví dụ 2: Tìm phần ảo của số phức z biết : 2 z 2 i 1 2i (Đề thi Đại học Khối A- năm 2010) Giải 2 z 2 i 1 2i z 1 2 2i 1 2i z 5 2i z 5 2i . Vậy z có phần ảo bằng -2 . 3 1 3i Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z . 1 i Tìm môđun của số phức z iz (Đề thi Đại học Khối B- năm 2010) Giải 3 8 Ta có 1 3i 8 , nên z 4 4i 1 i z 4 4i z iz 4 4i ( 4 4i)i 8 8i Vậy z iz 8 2 . Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z 2 và z2 là số thuần ảo 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm (Đề thi Đại học Khối D- năm 2010) Giải Gọi z a bi , khi đó z a 2 b2 và z 2 a 2 b2 2abi a 2 b2 2 Theo yêu cầu của bài toán ta có 2 2 a b 0 a 2 1 2 b 1 a 1 a 1 a 1 a 1    b 1 b 1 b 1 b 1 Vậy các số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i. Chú ý: Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện các phép tính trên tập hợp các số phức mà áp dụng tương tự trên tập hợp số thực. Ví dụ 5: Tính tổng : S 1 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 2011 Giải Áp dụng công thức tính tổng của 2012 số hạng của một cấp số nhân với số hạng đầu u1 1 , công bội q 1 i ta được 1 1 i 2012 1 1 i 2012 1 2i 1006 1 21006 1 21006 3 S i 1 1 i i 3i 3i 3 Ví dụ 6: Tìm số phức x, y thỏa mãn hệ phương trình sau: (1 2i)x (3 10i)y 2 2 (1) 3x (1 2i) y 3 5i Giải * Sai lầm của học sinh: (1 3y) ( 2x 10y)i 2 Hệ (1) (3x 3y) 4yi 3 5i 1 3y 2 2x 10y 0 Hệ vô nghiệm 3x 3y 3 4y 5 *Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai x, y R nên đã coi hệ số của i ở vế phải của mỗi phương trình trong hệ trên là phần ảo, phần còn lại là phần thực. * Lời giải đúng: 3(1 2i)x 3(3 10i)y 6 Cách 1: Hệ (1) 3 3(1 2i)x (1 2i) y (3 5i)(1 2i) 3(1 2i)x 3(3 10i)y 6 3(1 2i)x ( 11 2i)y 7 11i 8
9. Sáng kiến kinh nghiệm (3 6i)x (9 30i)y 6 (20 28i)y 7 11i 3(1 2i)x 3(3 10i)y 6 7 11i 56 3i y 20 28i 296 2843 1777i x 3552 56 3i y 296 Cách 2: Gọi số phức x = a + bi, y = a’ + b’i, a, b, a’, b’ R. Thay vào hệ (1) ta được (1 2i)(a bi) (3 10i)(a' b'i) 2 2 3(a bi) (1 2i) (a' b'i) 3 5i (a 2b 3a' 10b') (b 2a 3b' 10')i 2 (3a 3a' 4b') (3b 3b' 4a')i 3 5i a 2b 3a' 10b' 2 b 2a 3b' 10' 0 3a 3a' 4b' 3 3b 3b' 4a' 5 2843 a 3552 1777 b Giải hệ trên trong tập số thực ta được 3552 56 a' 296 3 b' 296 2843 1777i x Vậy nghiệm của hệ là 3552 56 3i y 296 Bài tập tương tự Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn: (2 3i)z (4 i)z (1 3i)2 . Tìm phần thực, phần ảo của số phức z . (Đề thi CĐ khối A, B, D – năm 2010) Bài 2: Tìm số phức z biết : a)(2 i)z (1 3i) 5 9
10. Sáng kiến kinh nghiệm 1 5i 3 2i b) z 4 3i 1 i 4 c) z 3z 2i (2 3i)z Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số phức: z 1i 2 z 3i 3 a) z 2 3 z 4 (1 2i)x (3 10i)y 2 b) (x, y C) 2 3x (1 2i) y 3 5i z w 3(1 i) c) 3 3 z w 9( 1 i) Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức * Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng: +) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức) +) Tìm điểm hoặc tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một hoặc một vài điều kiện cho trước. *) Kiến thức: - Nắm chắc định nghĩa về cách biểu diễn một số phức bởi một điểm, một vectơ, biểu diễn môđun của số phức bởi độ dài vectơ, - Vận dụng thành thạo quỹ tích là các đường quen thuộc như đường thẳng, đường tròn, đường Elip, đường Hypebol, *Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các 4i 2 6i số phức ;(1 i).(1 2i); i 1 3 i a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân. b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vuông. Giải 4i a) Ta có 2 2i điểm A(2; -2) i 1 1 i 1 2i 3 i điểm B(3; 1) 2 6i 2i điểm C(0;2) 3 i Từ đó: BC = 10 ; BA = 10 và BC.BA 0 BC BA . Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. BC  BA b) Do tam giác ABC vuông cân tại B, ABCD là hình vuông CD BA 10
11. Sáng kiến kinh nghiệm xD 1 yD 2 3 xD 1 yD 1 Vậy số phức cần tìm là z = -1- i. Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) z 2 i z b) z 4 z 4 10 Giải a)* Sai lầm của học sinh: z 2 i z z 2 i z z 2 i z i 2 1 z 1 i 2 2 2 i 1 1 z 1 i điểm M(-1; ) biểu diễn số phức z. 2 2 Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm tưởng kí hiệu môđun của số phức với kí hiệu gái trị tuyệt đối trong tập hợp số thực. Lời giải đúng: Cách 1: a) Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x yi; x, y R Ta có: z 2 i z (x 2) yi x (y 1)i (x 2)2 y 2 x 2 (y 1)2 4x 2y 3 0 (d) Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d). Cách 2: Ta có: z 2 i z z ( 2) z i (1) Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, điểm A(-2; 0) là điểm biểu diễn số phức -2, điểm B(0;1) là điểm biểu diễn số phức i. Khi đó (1) MA = MB. Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực (d) của đoạn AB, với (d):4x 2y 3 0 . b) Cách 1: Gọi số phức z x yi, x, y R . Khi đó z 4 z 4 10 x 4yi x yi 4 10 11
12. Sáng kiến kinh nghiệm (x 4) yi (x 4) yi 10 (x 4)2 y 2 (x 4)2 y 2 10 (*) Gọi F (-4;0), F (4;0). Khi đó (*) MF MF 10 1 2 1 2 Từ đó suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường Elip nhận F 1, F2 là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8. x 2 y 2 Phương trình chính tắc của (E): 1 25 9 Cách 2: Gọi điểm M biểu diễn số phức z, điểm F 1(-4; 0) biểu diễn số phức -4+0i; điểm F2(4;0) biểu diễn số phức 4 + 0i. Khi đó, z 4 là khoảng cách MF1; z 4 là khoảng cách MF2. Ta có : z 4 z 4 10 MF MF 10 1 2 Theo định nghĩa đường Elip, suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường Elip nhận F1, F2 là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8. Lưu ý:Với câu b) - Học sinh thường gặp rắc rối trong cách 1 là từ (*) khó biến đổi về một phương trình đường Elip dạng chính tắc quen thuộc nếu không phát hiện ra công thức tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của chúng, và định nghĩa đường Elip thì khó có thể chỉ ra quỹ tích điểm M một cách cụ thể. - Để vận dụng được theo cách 2 thì học sinh phải nắm được môđun z z, biểu ’ diễn khoảng cách giữa hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z và z . Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn : z i (1 i)z (Đề thi Đại Học Khối B – năm 2010) Giải Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z x yi, x, y R , trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: z i (1 i)z x (y 1)i (x y) (x y)i x 2 (y 1)2 (x y)2 (x y)2 x 2 y 2 2y 1 0 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình : x 2 y 2 2y 1 0 Ví dụ 4: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn : 2z i z z 2i Giải Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z x yi, x, y R , trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: 12
13. Sáng kiến kinh nghiệm 2z i z z 2i 2 x (y 1)i (2y 2)i x 2 (y 1)2 (y 1)2 x 2 y (P) 4 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường Parabol có phương trình : x 2 y 4 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn a) z a ai,a R (Đáp án: là đường thẳng y = x) 1 b) là số ảo z 2i ( Đáp án: Trục Oy trừ điểm (0;-2)) z 2i c) là số thực âm z 2i ( Đáp án: Trục Oy ứng với điểm có tung độ thuộc khoảng (-2;2)) d) z 2 z 2 25 25 (Đáp án: đường hypebol y ) 4x Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2 * Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng: - Tìm căn bậc hai của số phức z. - Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức. * Kiến thức: - Nắm chắc định nghĩa căn bậc hai của một số thực âm, căn bậc hai của một số phức và cách tìm căn bậc hai của số phức. - Nắm được công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong tập hợp số phức. * Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) 2z 2 3z 5 0 b) (1 i)z 2 2(1 2i)z 4 0 c) z 2 (3 2i)z 5 5i 0 Giải a) 31 có hai căn bậc hai là 31i và 31i . 3 31i 3 31i Phương trình có hai nghiệm : z và z 1 4 2 4 13
14. Sáng kiến kinh nghiệm b) ' 1 2i 2 4(1 i) 1 có hai căn bậc hai là 1 và -1. 1 2i 1 1 2i 1 Phương trình có hai nghiệm : z -1 i và z 2i 1 1 i 2 1 i c)* 3 2i 2 4(5 5i) 15 8i *Tìm căn bậc hai của Cách 1: Gọi  x yi;x, y R là một căn bậc hai của , khi đó ta có x 2 y 2 15 x 1 x 1  2xy 8 y 4 y 4  1 4i Cách 2: Viết 15 8i 1 2.4i 16i 2 1 4i 2  1 4i * Phương trình có hai nghiệm : 3 2i (1 4i) z1 -2 i 2 3 2i (1 4i) và z -1 3i 2 2 Chú ý: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét phương trình bậc hai trong tập hợp số phức. Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: (2 3i)z 2 (4i 3)z 1 i 0 Giải Ta có (2 3i) (4i 3) 1 i 0 1 i 5 1 Vậy phương trình có hai nghiệm z 1và z i 1 2 2 3i 13 13 Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai * Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp: - Phương trình có ẩn ở mẫu. - Phương trình bậc cao * Phương pháp giải: - Đối với phương trình có chứa ẩn ở mẫu, thực hiện phép toán quy đồng hoặc chia hai số phức để dưa về phương trình bậc hai. Phải chú ý đến điều kiện cho mẫu thức khác 0. - Đối với phương trình bậc cao, thông thườngsử dụng phương pháp đổi biến hoặc phải nhẩm được một nghiệm để tách thành nhân tử là những biểu thức bậc thấp hơn tương tự như cách giải phương trình bậc cao trong tập hợp số thực * Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: 4z 3 7i z 2i z i Giải 14
15. Sáng kiến kinh nghiệm * Điều kiện: z i 4z 3 7i Phương trình z 2i z 3 7i (z i)(z 2i) z i z 2 (3i 4)z 1 7i 0 1 2i 2 4(1 i) 1 có hai căn bậc hai là 1 và -1. 1 2i 1 1 2i 1 Phương trình có hai nghiệm : z -1 ivà z 2i 1 1 i 2 1 i Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 2 z 2 4 z 2 z 12 0 Giải * Đặt t = z 2 z 2 t 6 Phương trình trở thành: t 4t 12 0 t 2 z 2 z 6 0 Phương trình đã cho 2 z z 2 0 1 23i z 2 1 23i z là bốn nghiệm của phương trình đã cho. 2 z 1 z 2 Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 2 z 4 z 3 z 1 0 (1) 2 Giải Vì z = 0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình (1) 1 1 1 z 2 z 0 2 z z 2 2 1 1 5 z z 0 z z 2 1 3i t 1 5 Đặt t z , (1) trở thành: t 2 t 0 2 z 2 1 3i t 2 1 3i 1 1 3i *Với t , ta có z 2 z 2 2z 2 (1 3i)z 2 0 (2) 15
16. Sáng kiến kinh nghiệm 1 3i 3 i z1 1 i 2 4 8 6i i 3 ,(2) 1 3i 3 i 1 1 z2 i 4 2 2 1 3i 1 1 3i *Với t , ta có z 2 z 2 2z 2 (1 3i)z 2 0 (3) 1 3i i 3 1 1 z3 i 2 4 2 2 8 6i i 3 ,(3) 1 3i i 3 z4 1 i 4 Vậy phương trình có bốn nghiệm. Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 4 z i 1 (1) z i Giải Điều kiện: z i z i 4 1 z i z i * Sai lầm của học sinh:: 1 z i z i 1 z i * Phân tích sai lầm:Học sinh đã áp dụng phương pháp giải phương trình x 4 = 1 trong tập hợp số thực. Nhưng trong tập hợp số phức, ngoài số 1 và -1 ra còn có số i và –i thỏa mãn i4 = 1, (-i)4 = 1. * Lời giải đúng: z i 1 z i z i 4 1 z i z i Cách 1: 1 z i z i i z i z i i z i z i z i z i z i z i i(z i) z i i(z i) 16
17. Sáng kiến kinh nghiệm z 0 (1 i)z 1 i (1 i)z 1 i z 0 z 1 z 1 4 z i 4 4 Cách 2: 1 z i (z i) z i z 4 4z 3 6z 2 4z 1 z 4 4z 3 6z 2 4z 1 8z 3 8z 0 z 0 z 1 là ba nghiệm của phương trình đã cho. z 1 Bài tập tương tự Bài 1: Giải các phương trình sau a) z5 + 1= 0 b) z2 + z + 1 =0 c) z2 -2(2+i)z + 7 + 4i = 0 d) z3 – 27 = 0 e) z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0 Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức * Bài toán thường cho dưới dạng: - Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc ngược lại. - Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác. - Bài toán ứng dụng công thức Moa – vrơ. * Kiến thức: - Nắm chắc dạng lượng giác của một số phức và cách xác định môđun và acgumen của số phức, đặc biệt là phải biết vận dụng công thức giá trị lượng giác giữa các góc (cung) có liên quan đặc biệt. - Nắm chắc các phép toán nhân, chia, hai số phức dạng lượng giác và căn bậc hai của số phức dạng lượng giác. * Một số ví dụ: Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) z 1 i 3 3 i b) w sin icos c) z sin 2isin 2 2 Giải a) Cách 1: 17
18. Sáng kiến kinh nghiệm 1 i 3 2 cos isin 3 3 5 5 3 i 2 cos isin 6 6 5 5 Vậy 1 i 3 3 i 4 cos isin 3 6 3 6 7 7 4 cos isin 6 6 Cách 2: 1 i 3 3 i 2 3 2i 3 1 4 i 2 2 7 7 4 cos isin 6 6 b) w sin icos cos isin 2 2 c) * Sai lầm của học sinh: 2 z sin 2isin 2sin cos isin (1) là dạng lượng giác của 2 2 2 2 số phức z. *Phân tích sai lầm: Do học sinh không hiểu đúng định nghĩa dạng lượng lượng giác của số phức là z r(cos isin ) , với môđun r > 0. * Lời giải đúng: z 2sin cos isin (1) 2 2 2 - Khi sin 0 thì dạng lượng giác của số phức z không xác định. 2 - Khi sin 0 thì (1) là dạng lượng giác của số phức z . 2 - Khi sin 0 thì z 2sin cos isin là dạng lượng 2 2 2 2 giác của số phức z . Ví dụ 2: Tìm một acgumen của số phức sau: z 1 sin icos , 0 2 Giải Ta có: z 1 sin icos , 0 2 18
19. Sáng kiến kinh nghiệm 1 cos isin 2 2 2sin 2 i2sin cos 4 2 4 2 4 2 2sin sin icos 4 2 4 2 4 2 2sin cos isin (1) 4 2 4 2 4 2 Do 0 nên 0 2sin 0 2 2 4 4 2 Vậy (1) chính là dạng lượng giác của số phức trên. Vì vậy là một 4 2 acgumen của số phức z. Ví dụ 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1 1 w z 2012 , nếu z 1, z 2012 z Giải *Điều kiện: z 0. 1 *Từ phương trình z 1 z 2 z 1 0 z 1 3 z i z1 cos isin 1 3 3 2 2 1 3 z cos isin z2 i 2 2 2 3 3 Áp dụng công thức Moa – vrơ * Với z cos isin 3 3 2012 1 w cos isin 2012 3 3 cos isin 3 3 2012 2012 1 cos isin 3 3 2012 2012 cos isin 3 3 2 2 1 cos isin 3 3 2 2 cos isin 3 3 19
20. Sáng kiến kinh nghiệm 1 3 1 i = -1 2 2 1 3 i 2 2 Vậy phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0. * Với z cos isin , tương tự ta có phần thực của w bằng -1, phần 3 3 ảo của w bằng 0. Chú ý: Trong bài tập trên có thể thay số mũ bởi số khác sẽ được bài tập tương tự. Khi đó có thể vận dụng công thức lược giác liên hệ giữa các cung có liên qua đặc biệt để tính toán. Ví dụ 4: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức z biết: a) z sin icos 1 z 3 b) z và một acgumen của là . 3 1 i 4 Giải a) * Sai lầm của học sinh: z cos isin có hai căn bậc hai và có dạng lượng giác là 2 2 cos isin . 2 4 2 4 *Phân tích sai lầm: Học sinh chưa nắm chắc định nghĩa dạng lượng giác của số phức. *Lời giải đúng: z cos isin có hai căn bậc hai là cos isin 2 2 2 4 2 4 và dạng lượng giác của hai căn bậc hai đó là cos isin và 2 4 2 4 3 3 cos isin . 2 4 2 4 b) Gọi là một acgumen của số phức z - là acgumen của z . z Vì một acgumen của 1+ i là nên một acgumen của là (- - ) 4 1 i 4 3 k2 4 4 k2 , k Z 2 1 z cos isin 3 2 2 20
21. Sáng kiến kinh nghiệm 3 Vậy dạng lượng giác của các căn bậc hai của số phức z là cos isin và 3 4 4 3 5 5 cos isin 3 4 4 Bài tập tương tự Bài 1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng lượng giác 1 3 a) z i 1 i 2 2 1 i 20 b) z 19 3 i 1 1 c) z10 , biết z 1 z10 z d) z sin icos 8 8 Bài 2: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức sau: a) z 2 i2 3 b) z sin icos Dạng 6: Nhị thức Niu – Tơn và số phức * Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng: - Tính tổng - Chứng minh đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Với mọi số nguyên dương n, chứng minh hệ thức sau 2 4 6 2 1 3 5 7 2 n 1 Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2 Giải Xét số phức z = 1+ i. Theo công thức khai triển nhị thức Niu- tơn ta có: n n n k k 2 4 6 1 3 5 7 z (1 i) Cn i 1 Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn i k 0 n 2 4 6 2 1 3 5 7 2 z 1 Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Mặt khác, z n z n . Suy ra: 2 4 6 2 1 3 5 7 2 n 1 Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2 (đpcm) Ví dụ 2: Tính tổng: 0 2 4 2010 2012 S C2012 C2012 C2102 C2012 C2012 Giải Khai triển nhị thức Niu – tơn của (1 + i)2012 ta được: 2012 2012 k k 2 4 6 2012 1 3 5 7 2011 (1 i)  C2012i 1 Cn Cn Cn C2012 Cn Cn Cn Cn C2012 i k 0 1006 Mặt khác, (1 i)2012 (1 i)2  2i 1006 21006 21
22. Sáng kiến kinh nghiệm 0 2 4 2010 2012 1006 Nên ta được S C2012 C2012 C2102 C2012 C2012 2 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 3 6 9 1 n n 1 Cn Cn Cn 2 2cos 3 3 Giải 2 2 Xét số phức z cos isin , có z3 = 1; 3 3 1 3 1 z i cos isin 2 2 3 3 1 3 1+z2 = i cos isin và 1 z z 2 0 2 2 3 3 Ta sử dụng công thức Nhị thức Niu – Tơn: n 0 1 2 2 Cn Cn Cn (1) n 0 1 2 2 3 3 4 4 (1 z) Cn zCn z Cn z Cn z Cn 0 1 2 2 3 4 Cn zCn z Cn Cn zCn (2) 2 n 0 2 1 4 2 6 3 8 4 (1 z ) Cn z Cn z Cn z Cn z Cn 0 2 1 2 3 2 4 5 Cn z Cn zCn Cn z Cn zCn (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế thì được: n n 2 n 0 3 6 2 (1 z) (1 z ) 3(Cn Cn Cn ) n 2n 2cos 3(C 0 C 3 C 6 ) 3 n n n 3 6 9 1 n n Vậy 1 Cn Cn Cn 2 2cos 3 3 Bài tập tương tự Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có các hệ thức sau: n C 0 3C 2 32 C 4 33 C 6 2n cos n n n n 3 2n n và C1 3C 3 32 C 5 33 C 7 sin n n n n 3 3 Dạng 7: Hệ thức lượng giác * Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng: - Biểu diễn biểu thức lượng giác theo các biểu thức lượng giác khác . - Chứng minh đẳng thức lượng giác, * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh công thức lượng giác: cos3 4cos3 3cos và sin3 3sin 4sin 3 Giải Đặt z cos isin . Ta tính z3 theo 2 cách rồi đồng nhất. Từ công thức Moa- vrơ ta có: (cos isin )3 cos3 isin3 (1) 22
23. Sáng kiến kinh nghiệm Mặt khác theo khai triển Niu – Tơn ta có: (cos isin )3 cos3 3icos2 sin 3cos sin 2 isin 3 (cos3 3cos sin 2 ) i(3cos2 sin sin 3 ) (2) 3 2 cos3 cos 3cos sin Từ (1) và (2) suy ra: 2 3 sin3 3cos sin sin Thay sin2 = 1- cos2 , cos2 = 1- sin2 ta được: cos3 4cos3 3coss và sin3 3sin 4sin 3 . a Ví dụ 2: Cho các số thực a, ,b sao cho sin 0 . Với mỗi số nguyên n 1, xét 2 các tổng: S cosb cos(a b) cos(2a b) cos(na b) T sinb sin(a b) sin(2a b) sin(na b) Tính S + iT, từ đó suy ra S và T. Giải Đặt z cosa isin a,w cosb isinb thì S + iT = cosb isinb cos(a b) isin(a b) cos(2a b) isin(2a b) cos(na b) isin(na b) = w wz wz 2 wz n w(1 z z 2 z n ) 1 z n 1 a = w ( để ý rằng z 1 do sin 0 ) 1 z 2 1 cos(n 1)a isin(n 1)a = w 1 cosa isin a n 1 n 1 n 1 sin a sin a icos a w 2 2 2 a a a sin sin icos 2 2 2 n 1 sin a n 1 n 1 a a w 2 sin a icos a sin icos a sin 2 2 2 2 2 n 1 sin a na na w 2 cos isin a sin 2 2 2 n 1 sin a na na 2 cos isin cosb isinb a sin 2 2 2 23
24. Sáng kiến kinh nghiệm n 1 sin a na na 2 cos b isin b a sin 2 2 2 n 1 sin a na Từ đó suy ra: S 2 cos b a sin 2 2 n 1 sin a na T 2 sin b a sin 2 2 Bài tập tương tự: Bài 1: Tính sin4 , cos4 theo các lũy thừa của cos và sin . Bài 2: Cho z = cos + isin . a)Chứng minh rằng: z n z n 2cosn và z n z n 2isin n . 5 b)Dùng các khai triển của : (z z)5 và của z z để tính cos5 , sin5 theo cos3 , sin3 và cos , sin . Bài 3: Cho x k2 . Tính S sin x sin 2x sin3x sin nx 1 T cos x cos2x cos3x cosnx 2 24
25. Sáng kiến kinh nghiệm PHẦN KẾT LUẬN * Hiệu quả của sáng kiến: Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm, phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức và một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập về số phức như trên, tôi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết để giải quyết thành công dạng toán này. Qua thực tế các bài kiểm tra và bài thi của học sinh lớp 12 thì nhận thấy các em đã nắm chắc hơn kiến thức đặc biệt là khắc phục được những sai lầm mà học sinh các khóa trước mắc phải và kết quả cao hơn rõ rệt. Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ năng vận dụng phương pháp giải các bài toán nói trên. Từ đó học sinh chủ động sáng tạo hơn trong việc học toán và yêu thích môn toán. * Bài học kinh nghiệm Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm trong công tác chuyên môn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về bất kì mảng kiến thức nào, giáo viên cần có sự gia công đầu tư hệ thống các kiến thức trọng tâm và phương pháp giải một số dạng bài tập, đặc biệt là nêu được những sai lầm dễ mắc phải trong khi giải các dạng bài tập đó. Ngoài ra, giáo viên cũng cần hướng dẫn học sinh cách hệ thống kiến thức và các dạng bài tập cùng phương pháp giải sau mỗi phần, mỗi chương để học sinh có thể nắm chắc hơn kiến thức theo cách hệ thống của bản thân. * Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm trên giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học sinh một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập về số phức. Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn khi tiếp cận dạng toán này. Qua việc trình bày nội dung chuyên đề trên, tôi thật sự muốn chia sẻ với các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh một và kinh nghiệm của bản thân đã góp nhặt được trong quá trình giảng dạy. Tôi rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý cho chuyên đề từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chương số phức nói riêng và bộ môn toán nói chung. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà nội, ngày 21 tháng 4 năm 2012. Người viết Bùi Thị Hải 25
26. Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC Phần mở đầu Trang 1 Phần nội dung Trang 3 A. Tóm tắt nội dung cơ bản về số phức Trang 3 B. Một số dạng bài tập về số phức Trang 6 Phần kết luận Trang 24 26
27. Sáng kiến kinh nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình nâng cao 2) Phân dạng và phương pháp giải toán số phức ( Tác giả: Lê Hoành Phò) 3) Phương pháp cơ bản trọng tâm ( Tác giả: Phan Huy Khải) 4) Một số sai lầm thường gặp trong giải toán ( Tác giả: Trần Phương) 27
28. Sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hà Nội, ngày 20 tháng 5 năm 2012 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Ký tên 28