SKKN Xây dựng một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức đại số khi bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 8

Nội dung tóm tắt: SKKN Xây dựng một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức đại số khi bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 8

1. XÂY DỰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ KHI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 I. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Bài toán về bất đẳng thức là một nội dung quan trọng thường gặp trong chuyên đề BDHSG phần đại số. Thông thường học sinh nắm chắc định nghĩa và tính chất vận dụng làm tốt các bài tập về bất đẳng thức ở trong sách giáo khoa Toán 8, tuy nhiên khi gặp những bài toán trong đề thi học sinh giỏi Toán 8 thì rất khó khăn lúng túng không thể tìm ra phương pháp giải cũng như cách trình bày lời giải bài toán bất đẳng thức Vì vậy, việc tổng hợp, khái quát thành phương pháp giải đối với bài toán bất đẳng thức là một chìa khoá giúp học sinh biến bài toán bất đẳng thức phức tạp thành những bài toán đơn giản, có lối đi riêng một cách rõ ràng, từ đó dễ dàng vận dụng vào giải các bài tập trong chuyên đề bất đẳng thức, nâng cao chất lượng bồi dưỡng đội tuyển HSG môn Toán nói chung. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài "Xây dựng một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức đại số khi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8".”. Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp , giúp học sinh tìm được hướng giải hợp lý nhất cho mỗi bài toán. Giúp học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất về bất đẳng thức và một số phương pháp khác để giải bài toán bất đẳng . 1.2. Điểm mới của đề tài. Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, các phương pháp dạy học phổ biến nhằm hình thành cho các em tư duy khoa học hơn. Bài tập về bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú. Để giải các bài tập loại này chỉ dùng kiến thức về định nghĩa và tính chất thì chưa đủ. Muốn làm tốt các bài tập về bất đẳng thức HS cần phải nắm vững các kiến thức sau: 1.1 - Sử dụng định nghĩa 1.2 - Sử dụng tính chất 1.3 - Các bất đẳng thức sẳn có xem như một hệ quả 1.4 - Đặt biến phụ 1.5 - Phương pháp làm trội 1.6 - Bất đẳng thức ba cạnh của một tam giác
2. 1.7 - Phương pháp quy nạp. Để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu nêu ở trên, tôi thực hiện các giải pháp sau : + Nghiên cứu lý thuyết: Tổng quan các tài liệu về lí luận dạy học, các văn bản chỉ đạo về đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông, các bài tập nâng cao, các bài tập chuyên chọn + Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn các bài tập cơ bản, điển hình cho mỗi dạng sau đó tổng hợp thành phương pháp giải cho mỗi dạng trong bài toán bất đẳng thức + Nghiên cứu cơ sở lí luận về Bài tập bất đẳng thức ở trường phổ thông. + Nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản trong chuyên đề bồi dưỡng HSG chuyên đề bất đẳng thức + Thiết kế và xây dựng các bài tập mẫu về toán bất đẳng thức trong chương trình bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8 + Nghiên cứu hiệu quả của việc áp dụng phương pháp giải bài toán bất đẳng thức vào quá trình bồi dưỡng HSG môn Toán 8.
3. 2. PHẦN NỘI DUNG 2.1. Thực trạng của vấn đề mà đề tài cần giải quyết Trong năm học 2016-2017 và năm học 2017-2017 , sau khi đội tuyển HSG của trường được chọn tham gia bồi dưỡng tại lớp “ Bồi dưỡng HSG toán “ của PGD huyện Lệ Thủy, tôi đã thống kê về kết quả chất lượng làm bài của các học sinh (HS) phần Bất đẳng thức như sau: Số HS chỉ làm Số HS làm được Số HS không được các dạng các dạng nâng làm được cơ bản cao SL % SL % SL % Tống số HS: 5 2 40 2 40 1 20 Với kết quả này đã làm ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả học tập môn toán nói chung của HS ( Cụ thể qua lớp 9 chỉ có một HS tiếp tục bồi dưỡng môn toán) Qua bảng trên cho thấy, học sinh làm bài tập phần bất đẳng thức đạt kết quả chưa cao, phương pháp học của các em và phương pháp GV định hướng , hướng dẫn về phần này chưa được tốt nên ảnh hưởng đến chất lượng của đội tuyển HSG. Chính vì vậy bản thân tôi có nhiều trăn trở, suy nghĩ muốn tìm ra những phương pháp giải chuyên đề này để rèn kĩ năng cho học sinh nhằm góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở trường THCS. 2.1.2. Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu nêu ở trên, tôi thực hiện các phương pháp nghiên cứu sau : Nghiên cứu lý thuyết về Tổng quan các tài liệu về lí luận dạy học, các văn bản chỉ đạo về đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông, các bài tập nâng cao, các bài tập chuyên chọn
4. Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn các bài tập cơ bản, điển hình cho mỗi dạng sau đó tổng hợp thành phương pháp giải cho mỗi dạng trong bài toán bất đẳng thức Nghiên cứu cơ sở lí luận về Bài tập bất đẳng thức ở trường phổ thông. Nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản trong chuyên đề bồi dưỡng HSG chuyên đề bất đẳng thức Thiết kế và xây dựng các bài tập mẫu về toán bất đẳng thức trong chương trình bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8 Nghiên cứu hiệu quả của việc áp dụng phương pháp giải bài toán bất đẳng thức vào quá trình bồi dưỡng HSG môn Toán 8. 2.2. NỘI DUNG 2.2.1. Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức: Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dựng hằng bất đẳng thức M 2 0 với  M Bài số1:Với mọi a,b lớn hơn 0 Chứng minh: a3+b3 ab(a+b) Để chứng minh ta xét hiệu: a3+b3 – ab(a+b) = (a+b)(a2 – ab + b2) – ab(a+b) = (a+b)( a2 –2ab + b2) = (a+b)(a-b)2 Vì a,b dương nên (a+b) > 0 , (a-b)2 0 suy ra (a+b)(a-b)2 0 Hay a3+b3 ab(a+b) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Bài số 2: Chứng minh rằng với mọi xy ta luôn có : x2+ y2+1 xy+x+y Xét hiệu x2 y 2 1 ( xy x y ) 1 2x2 2 y 2 2 2 xy 2 x 2 y 2 1 2 (x y )2 y 1 ( x 1) 2 0 2 Vì ( x - y)2 0 , (y-1)2 0 ,(x-1)2 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 Bài số 3: chứng minh rằng : 2 a 2 b 2 a b a) ; 2 2 2 a 2 b 2 c 2 a b c b) 3 3 c) Hãy tổng quát bài toán
5. 2 a 2 b 2 a b 2 a 2 b2 a 2 2ab b2 Giải: a) Ta xét hiệu = 2 2 4 4 2 2 2 1 1 2 a b a b = 2a 2 2b 2 a 2 b 2 2ab = a b 0 Vậy . 4 4 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b b)Ta xét hiệu 2 2 2 2 a b c a b c 1 2 2 2 =  a b b c c a  0 . 3 3 9 2 a 2 b 2 c 2 a b c Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 3 3 2 a 2 a 2 a 2 a a a c)Tổng quát 1 2 n 1 2 n n n Bài số 4: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải: 2 2 2 2 m 2 m 2 m 2 m mn n mp p mq q m 1 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m n p q 1 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 m n 0 m 2 n m 2 p 0 m p m 2 Dấu bằng xảy ra khi 2 m 2 q 0 m n p q 1 2 q m 2 1 0 m 2 2 Bài số 5: Cho x 1, y 1. 1 1 2 Chứng minh: 1 x2 1 y 2 1 xy 1 1 2 1 1 1 1 Xét hiệu : 1 x2 1 y 2 1 xy 1 x 2 1 y 2 1 xy 1 xy x()() y x y x y x( y x )(1 y2 ) y ( x y )(1 x 2 ) (1 x2 )(1 xy ) (1 y 2 )(1 xy ) (1 x2 )(1 y 2 )(1 xy ) (x y )( x xy2 y x 2 y ) ( x y ) 2 ( xy 1) 0 (1 x2 )(1 y 2 )(1 xy ) (1 x 2 )(1 y 2 )(1 xy ) Vì x 1,y 1 xy-1 0 và (x-y)2 nên bất đẳng thức cuối cùng đúng
6. Suy ra bất đẳng thức đã cho được chứng minh Tóm lại: Các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2: Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 + .+(E+F) 2 Bước 3: Kết luận A B . Lưu ý dấu bằng xảy ra khi nào ? 2.2.2 Phương pháp 2 : Dùng các tính chất của bất đẳng thức + A > B B A + A > B và B > C A C + A > B A+C > B + C + A > B và C > D A + C > B + D + A > B và C > 0 A.C > B.C + A > B và C 0 A B Bài số 6: Cho a > 2, b > 2 . Chứng minh ab > a + b Cách 1: Với a > 2, b > 0 nên ab > 2b b > 2, a > 0 nên ab > 2a Suy ra 2ab > 2a + 2b ab > a + b 1 1 1 1 Cỏch 2: Cũng có thể lập luận a > 2 , b > 2 a 2 b 2 1 1 1 1 1 ab ab Với ab > 0 nghĩa là ab > a + b a b a b Bài số 7: Với a,b,c là các số thực: Chứng minh a2 b 2 c 2 ab bc ca -Nhân 2 vế của bất đẳng thức với số 2 ta có : a2 b 2 c 2 ab bc ca 2(a2 b 2 c 2 ) 2( ab bc ca ) 2a2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 bc 2 ca 2a2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 bc 2 ca 0 (a b )2 ( b c ) 2 ( c a ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng Hay a2 b 2 c 2 ab bc ca - Có thể gợi ý cho học vận dụng định nghĩa để giải như bài số 2 Bài số 8: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4 b 4 c4 abc(a b c)
7. Giải: Cách 1:Ta có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c) , a,b,c 0 a 4 b 4 c 4 a 2bc b 2 ac c 2 ab 0 2a 4 2b 4 2c 4 2a 2bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0 2 2 2 a 2 b 2 2a 2b 2 b 2 c 2 2b 2c 2 c 2 a 2 2a 2c 2 2a 2bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0 2 2 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 (a 2b 2 b 2c 2 2b 2 ac) (b 2 c 2 c 2 a 2 2c 2 ab) (a 2b 2 c 2 a 2 2a 2 ab) 0 2 2 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ab bc 2 bc ac 2 ab ac 2 0 Đúng với mọi a, b, c. Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu và kết hợp với kết quả của bài tập 7 ta có: Ta luôn có : a4 b 4 c 4 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Mà a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ab 2 c abc 2 a 2 bc abc() a b c 2.2.3.Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ a) x 2 y 2 2xy b) x2 y 2 2 xy dấu = xảy ra khi x = y = 0 c) x y 2 4xy a b d) 2 b a 1 1 4 x 2 ( x 0); ( x , y 0) x xy() x y 2 1 1 4 (x , y 0) x y x y Lưu ý: Xem các bất đẳng thức phụ như các hệ quả khi làm bài vận dụng cần phải chứng minh lại. Bài số 9: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4xy Ta có a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac Nhân vế theo vế của các bất đảng thức trên a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
8. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 1 Bài số 10 : Cho a + b = 1 .Chứng minh a2 b 2 2 Theo bài ra ta có a b 1 ( a b )2 1 a 2 2 ab b 2 1 (1) Mặt khác ta có (a b )2 0 a 2 2 ab b 2 0 (2) 1 Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có 2(a2 b 2 ) 1 a 2 b 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 2 *Sử dụng kết quả bài số 10 nhưng thay đổi giả thiết và yêu cầu cao hơn ta có bài toán sau: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng : a4 + b4 2 Giải : Theo bài ra ta có a b 2 ( a b )2 4 a 2 2 ab b 2 4 (1) Mặt khác ta có (a b )2 0 a 2 2 ab b 2 0 (2) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có 2(a2 b 2 ) 4 a 2 b 2 2 (3) Bình phương hai vế bất đẳng thức (3) ta có (a2 b 2 ) 2 4 a 4 2 a 2 b 2 b 4 4 (4) Ta cũng có (a2 b 2 ) 0 a 4 2 a 2 b 2 b 4 0 (5) Cộng bất đẳng thức (4) và (5) vế theo vế ta có : 2(a4 b 4 ) 4 a 4 b 4 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 1 1 Sử dụng kết quả của bài số 10 và tính chất A 0 , y > 0 và x + y = 2. Chứng minh 8(x4 y 4 ) 17 xy 1 Ta có (x+y)2 4xy 4 4xy 1 xy 1 (1) xy 1 8(x4 y 4 ) 8.2 1 17 xy Bài số 12 : Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 1. Chứng minh b +c 16abc
9. Hướng dẫn : Trước hết chứng minh bài toán phụ để có (x+y)2 4xy Áp dụng bài toán phụ ta có 1 a ( b c )2 4 a ( b c ) ( b c ).1 4 a ( b c )2 16 abc 2.2.4 Phương pháp 4 : Phương pháp đặt biến phụ (Thường dùng áp dụng cho BĐT có điều kiện) Bài số 13:(Áp dụng làm bài số 10) 1 Cho a + b =1 .Chứng minh a2 b 2 2 1 1 1 1 1 1 Đặt a x; b x Khi đó ta có a2 b 2 ( x ) 2 ( x ) 2 2 x 2 2 2 2 2 2 2 1 Dấu bằng xảy ra khi x = 0 a b 2 Với bài số 13 vế trái có hai hạng tử thì lớn hơn hoặc bằng 1 nếu vế trái có 3 2 hạng tử ta có bài toán sau: Bài số 14: 1 Cho a + b +c =1 .Chứng minh a2 b 2 c 2 3 1 1 1 Đặt a x,, b y c z Vì a + b + c = 1 x + y + z = 0 3 3 3 1 1 1 a2 b 2 c 2 ()()() x 2 y 2 z 2 Khi đó ta có 3 3 3 1 2 1 1 ()x y z x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 3 3 3 3 1 Dấu bằng xảy ra khi x = y= z = 0 và a b c 3 Từ bài tập 13 và 14 ta có bài toán tổng quát: *Tổng quát : Với a1 a 2 a 3 an 1. Chứng minh : 1 a2 a 2 a 2 a 2 . 1 2 3 n n 2.2.5 Phương pháp 5: Phương pháp làm trội: a a a c a > 0 , b > 0 và 0 thì b b b c Bài số 15: a b c Cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng 1 2 a b b c c a a a a a c Vì 1 nên a b a b c a b a b c
10. b b a c Tương tự: a b c b c a b c c c c b a b c c a a b c Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh Bài số 16 : a b c 3 Cho a,b,c là các số không âm . Chứng minh 1 a2 1 b 2 1 c 2 2 a 1 b1 c 1 Ta có : (a 1)2 0 a 2 1 2 a Tương tự: ; 1 a2 2 1 b2 2 1 c 2 2 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta điều cần chứng minh Bài số 17: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì: 1 1 1 1 a)2 2 2 2 1 2 3 4 n 1 1 1 1 1 3 b) 2n 1 n 2 n 3 n n 4 Giải: a) Với k N và k 2 ta có: 1 1 1 1 1 Cho k các giá trị từ 2 đến n ta được k2 k. k k ( k 1) k 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;; 22 2 1 2 3 2 3 1 3n 2 n 1 n Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên tacó : 1 1 1 1 1n 1 1 1 22 3 2 4 2n 2 n n 1 1 b) Ta có : với k=1,2,3, , n-1 Suy ra n k2 n 1 1 1 1 1 1 1n 1 (1) n 1 n 2 n 3 n n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 1 1 3 Mặt khác ta lại có 3k2 3 nk n 3 k luôn đúng với n k n ( n 1 k ) 2 n k =1,2, ,n 1 1 3 Với k = 1, ta có n 1 n n 2 n 1 1 3 Với k = 2, ta có n 2 n ( n 1) 2 n
11. 1 1 3 Với n = k ,ta có n n n 1 2 n Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có : 1 1 1 3 3 3 3n 3 2 (2) n 1 n 2 n n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh 2.2.3 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm : Mặc dù đây là một chuyên đề rộng và khó, song qua quá trình vận dụng sáng kiến này vào thực tế tôi nhận thấy tất cả các học sinh đều tiếp thu và vận dụng tốt các phương pháp đó vào việc giải các bài tập về toán bất đẳng thức. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện tôi đó thu được một số thành công bước đầu như sau: GV và HS đã phân loại được các dạng bài tập và từ đó xây dựng các phương pháp giải cụ thể cho từng loại bài. Đặc biệt đối với các bài tập về bất đẳng thức đây không chỉ là nội dung quan trọng trong chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 mà các bài tập này sẽ được tiếp tục nghiên cứu nhiều hơn ở chương trình Toán ở các lớp trên. Do đó tạo được nền tảng vững chắc để các em có thể học tốt môn toán ở các lớp cấp THPT. Cụ thể chất lượng làm bài của HS đó có bước tiến rõ nét: Số HS chỉ làm được các dạng Số HS làm được Số HS không bài cấp độ các dạng nâng làm được nâng cao đơn cao khó giản SL % SL % SL % Tống số HS 0 0% 2 40% 3 60% khảo sát : 5
12. 3. KẾT LUẬN Qua thời gian giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, tôi nhận thấy yếu tố quan trọng nhất để nâng cao chất lượng đó là phương pháp giảng dạy của giáo viên. Trong đó đối với việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thì một vấn đề đặc biệt quan trọng là giáo viên phải xây dựng được một hệ thống phương pháp giải bài tập cho từng loại bài. Có vậy học sinh mới hiểu và nắm vững một cách tổng quát về kiến thức, trên cơ sở đó các em mới có thể tự học, tự nghiên cứu tài liệu và có hứng thú học tập, biết tự lực, chủ động, tự tin làm tốt bài thi. Đây là sáng kiến đã được phát hiện và được tích lũy qua quá trình bản thân trực tiếp nghiên cứu và vận dụng vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 trong năm học này. Do đó đây là những vấn đề rất thiết thực và có tính ứng dụng cao. Mỗi nội dung được trình bày mang tính chất khái quát cao và đã được giải quyết một cách cụ thể, chi tiết. Chính vì vậy đây không chỉ đơn thuần là những kiến thức, những phương pháp để áp dụng cho việc giải các bài tập về bất đẳng thức đại số và hệ thống các tính chất quan trọng của bất đẳng thức . Do đó việc giảng dạy theo nội dung của đề tài này sẽ không chỉ giúp học sinh lớp 8 có một hệ thống phương pháp giải bài tập, mà quan trọng hơn là các em nắm được bản chất các bài toán về bất đẳng thức Qua thời gian giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, tôi nhận thấy yếu tố quan trọng nhất để nâng cao chất lượng đó là phương pháp giảng dạy của giáo viên. Trong đó đối với việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thì một vấn đề đặc biệt quan trọng là giáo viên phải xây dựng được một hệ thống phương pháp giải bài tập cho từng loại bài. Có vậy học sinh mới hiểu và nắm vững một cách tổng quát về kiến thức, trên cơ sở đó các em mới có thể tự học, tự nghiên cứu tài liệu và có hứng thú học tập, biết tự lực, chủ động, tự tin làm tốt bài thi. Bài tập về bất đẳng thức nói chung là một nội dung rất rộng và khó. Bởi lý do các phương pháp để giải loại bài tập này đòi hỏi phải vận dụng một lượng kiến thức tổng hợp và nâng cao. Đối với học sinh lớp 8 thì việc nắm được những bài tập như vậy là rất khó khăn. Tôi nghĩ rằng, để học sinh có thể hiểu một cách sâu sắc và hệ thống về từng loại bài tập thì nhất thiết trong qúa trình giảng dạy giáo viên phải phân loại các dạng bài tập và xây
13. dựng các phương pháp giải cụ thể cho từng loại bài. Đặc biệt đối với các bài tập về bất đẳng thức đây không chỉ là nội dung quan trọng trong chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 mà các bài tập này sẽ được tiếp tục nghiên cứu nhiều hơn ở chương trình Toán ở các lớp trên. Do đó đây chính là nền tảng vững chắc để các em có thể học tốt môn toán ở các lớp cấp THPT. Sáng kiến này chỉ xây dựng phương pháp giải bài tập cho một mảng nhỏ trong số các dạng bài tập nâng cao của đại số lớp 8. Tuy nhiên, bằng phương pháp tương tự, trong quá trình giảng dạy mỗi giáo viên đều có thể xây dựng các phương pháp giải cho tất cả các loại bài tập còn lại. Việc phân loại và xây dựng các phương pháp giải bài tập Toán bao giờ cũng là vấn đề khó khăn nhất đối với tất cả các giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán. Song đây là công việc nhất thiết phải làm thì mới mang lại hiệu quả cao trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán nói chung và môn Toán cho học sinh giỏi lớp 8 nói riêng. Qua quá trình nghiên cứu và giảng dạy , cùng với sự học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn đăng kí tên sáng kiến kinh nghiệm sẽ viết trong năm học này ngay từ đầu năm theo kế hoạch. Do thời gian có hạn, sáng kiến này không tránh khỏi những khiếm khuyết cần phải sửa chữa, bổ sung. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các cấp lãnh đạo và của các bạn đồng nghiệp để sáng kiến của tôi được hoàn thiện tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn./.