Tiểu luận Sáng tác 10 bài toán về Chuyên đề dãy số và số học

pdf 13 trang Giang Anh 21/03/2024 420
Bạn đang xem tài liệu "Tiểu luận Sáng tác 10 bài toán về Chuyên đề dãy số và số học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftieu_luan_sang_tac_10_bai_toan_ve_chuyen_de_day_so_va_so_hoc.pdf

Nội dung tóm tắt: Tiểu luận Sáng tác 10 bài toán về Chuyên đề dãy số và số học

  1. Bậ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC QUY NHƠN PHẠM VĂN DƯỠNG TIỂU LUẬN SÁNG TÁC 10 BÀI TOÁN VỀ CHUYấN ĐỀ DÃY Sẩ VÀ Sẩ HÅC Chuyản ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÂ số : 60.46.01.13 Khúa : 15 Người hướng dăn khoa học: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN BèNH ĐỊNH - THÁNG 12 NĂM 2013
  2. SĂng tĂc mởt số bài toĂn vã dÂy số và giới hÔn Để tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số (un) bơng phương phĂp lặp ta thường tẳm cĂc hàm số f(x) và h(x) sao cho f(un) = h (f(un−1)): (*) Sỷ dụng (*) liản tiáp ta thu được f(un) = h (f(un−1)) = h (h (f(un−2))) := h2 (f(un−2)) = ããã = hn (f(u0)): ( ) Tứ ( ) ta tẳm được un. Hàm số f được gọi là hàm số phụ, cỏn hàm số h được gọi là hàm lặp. Để sĂng tĂc cĂc bài toĂn cho phƯn này, ta cƯn xƠy dựng mởt số lớp hàm cú thº lặp được. 1. Lớp hàm g(x) = x2 + ax + b. Ta cú g(x) − c = x2 + ax + b − c: Vêy cƯn chọn a; b; c sao cho x2 + ax + b − c = (x − c)2 ) x2 + ax + b − c = x2 − 2cx + c2 2 n a = −2c n a = −2c )ax + b − c = −2cx + c ) b − c = c2 ) b = c + c2: Vẵ dụ 1. Chọn c = 7, khi đú a = −14; b = 56. Ta được bài toĂn sau. Bài toĂn 0.1. Cho dÂy số (xn) như sau: x1 = α 2 R và 2 xn+1 = xn − 14xn + 56; 8n = 1; 2;::: Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho. GiÊi. Ta cú 2 2 22 xn − 7 = xn−1 − 14xn−1 + 49 = (xn−1 − 7) = (xn−2 − 7) 23 2n−1 2n−1 = (xn−3 − 7) = ããã = (x1 − 7) = (α − 7) : Vêy số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho là: 2n−1 ∗ xn = 7 + (α − 7) ; 8n 2 N : Lưu ý. Trong bài toĂn này thẳ hàm số phụ là f(x) = x − 7, cỏn hàm lặp là h(x) = x2. 2
  3. Vẵ dụ 2. Chọn c = −2, khi đú a = 4; b = 2. Ta được dÂy số (xn) như sau: 2 xn+1 = xn + 4xn + 2; 8n = 1; 2;::: Ta tiáp tục làm khú hơn bơng cĂch đổi bián xn = 3un. Khi đú được dÂy số (un) thỏa mÂn điều kiằn 2 3un+1 = 9un + 12un + 2; 8n = 1; 2;::: 2 ,u = 3u2 + 4u + ; 8n = 1; 2;::: n+1 n n 3 Ta được bài toĂn sau. Bài toĂn 0.2. Cho dÂy số (un) như sau: u1 = α 2 R và 2 u = 3u2 + 4u + ; 8n = 1; 2;::: n+1 n n 3 Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho. GiÊi. x CĂch 1. Đặt u = n . Khi đú dÂy số (x ) thỏa mÂn điều kiằn x = 3α và n 3 n 1 2 ∗ xn+1 = xn + 4xn + 2; 8n 2 N : Ta cú 2 2 22 2n−1 xn + 2 = xn−1 + 4xn−1 + 4 = (xn−1 + 2) = (xn−2 + 2) = ããã = (x1 + 2) : 2n−1 Vêy xn = (3α + 2) − 2. Số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho là: n−1 (3α + 2)2 − 2 u = ; 8n 2 ∗: n 3 N x Lưu ý. Ph²p đặt u = n được tẳm ra như sau: Ta đặt u = kx , với k là n 3 n n hơng số s³ tẳm sau. Khi đú 2 2 kx = 3k2x2 + 4kx + ) x = 3kx2 + 4x + : n+1 n n 3 n+1 n n 3k 1 x Vêy ta tẳm k thỏa mÂn 3k = 1 ) k = ) u = n : 3 n 3 CĂch 2. Ta cú 2 2 2  4 4 u + = 3u2 + 4u + + = 3 u2 + u + n 3 n−1 n−1 3 3 n−1 3 n−1 9 2 2  22   22  22 = 3 u + = 3 3 u + = 31+2 u + n−1 3 n−2 3 n−2 3 2  22 23  2 2  2 = 31+2 3 u + = 31+2+2 u + n−3 3 n−3 3 2n−1 2n−1 n−2  2 n−1  2 = ããã = 31+2+ããã+2 u + = 32 −1 u + : 1 3 1 3 3
  4. Số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho là: n−1 (3α + 2)2 − 2 u = ; 8n 2 ∗: n 3 N 2 Lưu ý. Điểm mĐu chốt trong lời giÊi ở cĂch 2 là x²t u + . Vẳ sao lÔi xuĐt n 3 2 hiằn số ? Ta x²t 3 2  4 2 − 3β  u − β = 3u2 + 4u + − β = 3 u2 + u + : n n−1 n−1 3 n−1 3 n−1 9 CƯn chọn β sao cho  4 2 − 3β  u2 + u + = (u − β)2 = u2 − 2βu + β2 n−1 3 n−1 9 n−1 n−1 n−1 8 4 = −2β < 3 2 ) 2 − 3β ) β = − : : = β2 3 9 Vẵ dụ 3. Chọn c = 3, khi đú a = −6; b = 12. Ta được dÂy số (xn) như sau: 2 xn+1 = xn − 6xn + 12; 8n = 1; 2;::: Ta tiáp tục làm khú hơn bơng cĂch đổi bián xn = 1 − 5un. Khi đú được dÂy số (un) thỏa mÂn điều kiằn 2 1 − 5un+1 = (1 − 5un) − 6 (1 − 5un) + 12 6 ,1 − 5u = 25u2 + 20u + 7 , u = −5u2 − 4u − : n+1 n n n+1 n n 5 Ta được bài toĂn sau. Bài toĂn 0.3. Cho dÂy số (un) như sau: u1 = α 2 R và 6 u = −5u2 − 4u − : n+1 n n 5 Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho. 1 GiÊi. Đặt u = − x . Khi đú n 5 n 1 1 4 6 − x = − x2 + x − , x = x2 − 4x + 6 , x − 2 = (x − 2)2 : 5 n+1 5 n 5 n 5 n+1 n n n+1 n 2 22 2n−1 Vêy xn −2 = (xn−1 − 2) = (xn−2 − 2) = ããã = (x1 − 2) : Số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho là 1 h n−1 i u = − 2 + (5α + 2)2 ; 8n 2 ∗: n 5 N 4
  5. 2. Lớp hàm g(x) = x3 + ax2 + bx + c. Ta cú g(x) − d = x3 + ax2 + bx + c − d: Vêy cƯn chọn a; b; c; d sao cho x3 + ax2 + bx + c − d = (x − d)3 = x3 − 3dx2 + 3d2x − d3  a = −3d  a = −3d ) b = 3d2 ) b = 3d2 c − d = −d3 c = d − d3: Vẵ dụ 4. Chọn d = 1, khi đú b = 3; a = −3; c = 0, ta được dÂy số (xn) thỏa mÂn hằ thực truy hồi 3 2 ∗ xn+1 = xn − 3xn + 3xn; 8n 2 N : Tuy nhiản dÂy số (xn) cho như vêy "khĂ lở", ta cú thº "dĐu bớt đi" bơng cĂch đổi bián xn = 5un. Khi đú dÂy (un) thỏa mÂn hằ thực truy hồi 3 2 3 2 5un+1 = 125un − 3:25un + 3:5un , un+1 = 25un − 15un + 3un: Ta cú bài toĂn sau. Bài toĂn 0.4. Cho dÂy số (un) như sau: u1 = α 2 R và 3 2 ∗ un+1 = 25un − 15un + 3un; 8n 2 N : Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho. x GiÊi. Đặt u = n . Ta được dÂy số (x ) thỏa mÂn điều kiằn x = 5α và n 5 n 1 1 1 3 3 x = x3 − x2 + x , x = x3 − 3x2 + 3x 5 n+1 5 n 5 n 5 n n+1 n n n 3 , xn+1 − 1 = (xn − 1) : Vêy với mọi số nguyản dương n ta cú 3 32 3n−1 3n−1 xn − 1 = (xn−1 − 1) = (xn−2 − 1) = ããã = (x1 − 1) = (5α − 1) : Số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho là n−1 (5α − 1)3 + 1 u = ; 8n 2 ∗: n 5 N ax 3. Lớp hàm g(x) = . b + c2x2 Ta cú ax bd − ax + dc2x2 d − g(x) = d − = : b + c2x2 b + c2x2 Ta cƯn chọn a; b; c; d sao cho bd − ax + dc2x2 = (d − x)2 = d2 − 2dx + x2 8 b = d  bd = d2 < a = 2d ) a = 2d ) 1 dc2 = 1 c2 = : : d 5
  6. 1 Vẵ dụ 5. Chọn d = 2, khi đú b = 2; a = 4; c2 = và 2 4x 8x g(x) = = : 1 4 + x2 2 + x2 2 Ta được bài toĂn sau. Bài toĂn 0.5. Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số (xn) cho như sau: 8xn x1 = α 2 R và xn+1 = 2 ; 8n = 1; 2;::: 4 + xn GiÊi. Náu α = −2 thẳ xn = −2; 8n = 1; 2;::: Tiáp theo x²t α 6= −2. Ta cú 2 2 8xn−1 2xn−1 − 8xn−1 + 8 2 (2 − xn−1) 2 − xn = 2 − 2 = 2 = 2 : (1) 4 + xn−1 4 + xn−1 4 + xn−1 2 2 8xn−1 2xn−1 + 8xn−1 + 8 2 (2 + xn−1) 2 + xn = 2 + 2 = 2 = 2 : (2) 4 + xn−1 4 + xn−1 4 + xn−1 2 − x X²t hàm số f(x) = . Tứ (1) và (2) ta cú 2 + x  2 2 − xn 2 − xn−1 2 22 f(xn) = = = [f(xn−1)] = [f(xn−2)] 2 + xn 2 + xn−1 2n−1 2n−1 = ããã = [f(x1)] = [f(α)] : (3) n−1 Đặt β = [f(α)]2 . Tứ (3) ta cú 2 − xn 2 − 2β = β , 2 − xn = 2β + βxn , xn = : 2 + xn 1 + β Vêy náu α = −2 thẳ xn = −2; 8n = 1; 2;::: , náu α 6= −2 thẳ " n−1 # 2 − α2 2 1 − 2 + α xn = ; 8n = 1; 2;::: 2 − α2n−1 1 + 2 + α Vẵ dụ 6. Trong bài toĂn 0.5, ta đổi bián xn = 3un − 1. Khi đú được dÂy số (un) thỏa mÂn 8 (3un − 1) 24un − 8 3un+1 − 1 = 2 = 2 4 + (3un − 1) 9un − 6un + 5 2 24un − 8 9un + 18un − 3 )3un+1 = 2 + 1 = 2 9un − 6un + 5 9un − 6un + 5 2 3un + 6un − 1 )un+1 = 2 : 9un − 6un + 5 Như vêy ta được bài toĂn 0.6 ở trang 7. 6
  7. Bài toĂn 0.6. Cho dÂy số (un) như sau: 2 3un + 6un − 1 u1 = α; un+1 = 2 ; 8n = 1; 2;::: (α là tham số thực): 9un − 6un + 5 Tẳm α để dÂy số (un) cú giới hÔn hỳu hÔn khi n ! +1 và tẳm giới hÔn trong cĂc trường hủp đú. 1 GiÊi. Dạ thĐy rơng với mọi số nguyản dương n thẳ luụn tồn tÔi u . Náu α = − n 3 1 1 thẳ u = − ; 8n = 1; 2;::: Tiáp theo x²t α 6= − . Ta cú n 3 3 2 2 3un−1 + 6un−1 − 1 −6un−1 + 12un−1 − 6 un − 1 = 2 − 1 = 2 9un−1 − 6un−1 + 5 9un−1 − 6un−1 + 5 2 −6 (un−1 − 1) = 2 : (1) 9un−1 − 6un−1 + 5 Mặt khĂc 2 2 9un−1 + 18un−1 − 3 18un−1 + 12un−1 + 2 3un + 1 = 2 + 1 = 2 9un−1 − 6un−1 + 5 9un−1 − 6un−1 + 5 2 2 (3un−1 + 1) = 2 : (2) 9un−1 − 6un−1 + 5 x − 1 X²t hàm số f(x) = . Tứ (1) và (2) ta cú 3x + 1  2 un − 1 un−1 − 1 2 f(un) = = −3 = −3 [f(un−1)] 3un + 1 3un−1 + 1  2 2 1+2 22 = −3 −3f (un−2) = (−3) [f(un−2)] 2 1+2  2 2 1+2+22 23 = (−3) −3f (un−3) = (−3) [f(un−3)] 1+2+22+ããã+2n−2 2n−1 = ããã = (−3) [f(u1)] 2n−1 n−1 n−1 [3f(α)] = (−3)2 −1 [f(α)]2 = − : (3) 3 n−1 [3f(α)]2 Đặt β = − . Tứ (3) ta cú n 3 un − 1 1 + βn = βn , un − 1 = 3βnun + βn , un = : 3un + 1 1 − 3βn Vêy n−1 n−1 [3f(α)]2 3α − 32 1 − 2n−1 3 − 3 3 − [3f(α)] 3α + 1 un = n−1 = n−1 = n−1 : 1 + [3f(α)]2 3 + 3 [3f(α)]2 3α − 32 3 + 3: 3α + 1 7
  8. 1 1 1 Túm lÔi: Náu α = − thẳ u = − ; 8n = 1; 2;::: , náu α 6= − thẳ 3 n 3 3 n−1 3α − 32 3 − 3α + 1 un = ; 8n = 1; 2;::: 3α − 32n−1 3 + 3: 3α + 1 Ta cú cĂc bián đổi tương đương sau 3α − 3 = 1 , 3α − 3 = 3α + 1 , 0α = 4 vụ nghiằm 3α + 1 3α − 3 1 : 3α + 1 3 3α − 3 1 1 > 1 , − 6= α thẳ lim = 0 ) lim un = 1: 3 n!+1 3α + 1 n!+1 n−1 1 1 3α − 3−2 1 • Náu − 6= α 0 và xn+1 = 2 ; 8n = 1; 2;::: 3xn + 2 GiÊi. Ta cú p p p 3 p 3 p 3 2  xn + 6xn xn − 3 2xn + 6xn − 2 2 xn − 2 xn+1 − 2 = 2 − 2 = 2 = 2 ; 3xn + 2 3xn + 2 3xn + 2 8
  9. p p p 3 p 3 p 3 2  xn + 6xn xn + 3 2xn + 6xn + 2 2 xn + 2 xn+1 + 2 = 2 + 2 = 2 = 2 : 3xn + 2 3xn + 2 3xn + 2 p x − 2 X²t hàm số f(x) = p . Khi đú x + 2 p  p 3 xn − 2 xn−1 − 2 3 32 f (xn) = p = p = [f (xn−1)] = [f (xn−2)] xn + 2 xn−1 + 2 3n−1 3n−1 = ããã = [f (x1)] = [f (α)] : (1) Tứ (1) ta cú p xn − 2 3n−1 p 3n−1 p 3n−1 p = [f (α)] , xn − 2 = [f (α)] xn + 2: [f (α)] xn + 2 p 3n−1 p p α − 2 p p n−1 2 + 2 p 2 + 2: [f (α)]3 α + 2 ,x = , x = : n 3n−1 n p 3n−1 1 − [f (α)] α − 2 1 − p α + 2  b = 3 Vẵ dụ 8. Tứ a = 3d2 chọn c = 4 ta được b = 3, a = 12, d = ±2. Ta cú bài c = d2 toĂn sau. Bài toĂn 0.8. Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số (xn) cho như sau: 3 xn + 12xn x1 = α > 0 và xn+1 = 2 ; 8n = 1; 2;::: 3xn + 4 GiÊi. Ta cú 3 3 2 3 xn−1 + 12xn xn−1 − 6xn−1 + 12xn − 8 (xn−1 − 2) xn − 2 = 2 − 2 = 2 = 2 : (1) 3xn−1 + 4 3xn−1 + 4 3xn−1 + 4 3 3 2 3 xn−1 + 12xn xn−1 + 6xn−1 + 12xn + 8 (xn−1 + 2) xn + 2 = 2 + 2 = 2 = 2 : (2) 3xn−1 + 4 3xn−1 + 4 3xn−1 + 4 x − 2 X²t hàm số f(x) = . Tứ (1) và (2) suy ra x + 2  3 xn − 2 xn−1 − 2 3 32 f (xn) = = = [f (xn−1)] = [f (xn−2)] xn + 2 xn−1 + 2 3n−1 3n−1 = ããã = [f (x1)] = [f (α)] : (1) Tứ (1) ta cú xn − 2 3n−1 3n−1 3n−1 = [f (α)] , xn − 2 = [f (α)] xn + 2: [f (α)] xn + 2 n−1 α − 23 3n−1 2 + 2 2 + 2: [f (α)] α + 2 ,xn = n−1 , xn = n−1 : 1 − [f (α)]3 α − 23 1 − α + 2 9
  10. Vẵ dụ 9. Trong bài toĂn 0.8, đổi bián xn = un − 1 ta được dÂy số (un) thỏa mÂn điều kiằn 3 (un−1 − 1) + 12 (un−1 − 1) un − 1 = 2 3 (un−1 − 1) + 4 3 2 un−1 − 3un−1 + 3un−1 − 13 + 12un−1 )un − 1 = 2 3un−1 − 6un−1 + 7 3 2 un−1 − 3un−1 + 15un−1 − 13 )un − 1 = 2 3un−1 − 6un−1 + 7 3 un−1 + 9un−1 − 6 )un = 2 : 3un−1 − 6un−1 + 7 Như vêy, ta được bài toĂn 0.9 ở trang 10. Bài toĂn 0.9. Cho dÂy số (un) như sau: 3 un−1 + 9un−1 − 6 ∗ u1 = α; un = 2 ; 8n 2 N (α là tham số thực): 3un−1 − 6un−1 + 7 Tẳm α để dÂy số (un) cú giới hÔn hỳu hÔn khi n ! +1 và tẳm giới hÔn trong cĂc trường hủp đú. GiÊi. Dạ thĐy rơng với mọi số nguyản dương n thẳ luụn tồn tÔi un. Náu α = −1 thẳ un = −1; 8n = 1; 2; ããã Tiáp theo x²t α 6= −1. Ta cú 3 3 2 un−1 + 9un−1 − 6 un−1 + 3un−1 + 3un−1 + 1 un + 1 = 2 + 1 = 2 3un−1 − 6un−1 + 7 3un−1 − 6un−1 + 7 3 (un−1 + 1) = 2 : (1) 3un−1 − 6un−1 + 7 Mặt khĂc 3 3 2 un−1 + 9un−1 − 6 un−1 − 9un−1 + 27un−1 − 27 un − 3 = 2 − 3 = 2 3un−1 − 6un−1 + 7 3un−1 − 6un−1 + 7 3 (un−1 − 3) = 2 : (2) 3un−1 − 6un−1 + 7 x − 3 X²t hàm số f(x) = . Tứ (1) và (2) ta cú x + 1  3 un − 3 un−1 − 3 3 f(un) = = = [f(un−1)] un + 1 un−1 + 1 32 3n−1 3n−1 = [f(un−2)] = ããã = [f(u1)] = [f(α)] : (3) 3n−1 Đặt βn = [f(α)] . Tứ (3) ta cú un − 3 3 + βn = βn , un − 3 = βnun + βn , un = : un + 1 1 − βn 10
  11. Vêy n−1 α − 33 3 + α + 1 un = ; 8n = 1; 2; ããã α − 33n−1 1 − α + 1 Túm lÔi: Náu α = −1 thẳ un = −1; 8n = 1; 2;::: , náu α 6= −1 thẳ n−1 α − 33 3 + α + 1 un = ; 8n = 1; 2; ããã α − 33n−1 1 − α + 1 Ta cú cĂc bián đổi tương đương sau α − 3 = 1 , α − 3 = α + 1 , 0α = 4 (vụ nghiằm): α + 1 α − 3 1: α + 1 α − 3 > 1 , −1 6= α 1 thẳ lim = 0 ) lim un = 3: n!+1 α + 1 n!+1 n−1 α − 3−3 • Náu −1 6= α < 1 thẳ lim = 0 ) lim un = −1. n!+1 α + 1 n!+1 x4 + ax2 + b 5. Lớp hàm g(x) = . cx3 + dx Ta cú x4 + ax2 + b x4 − cex3 + ax2 − dex + b g(x) − e = − e = : cx3 + dx cx3 + dx Ta cƯn chọn a; b; c; d; e sao cho x4 − cex3 + ax2 − dex + b = (x − e)4 )x4 − cex3 + ax2 − dex + b = x4 − 4ex3 + 6e2x2 − 4e3x + e4 8 ce = 4e 8 c = 4 < a = 6e2 < a = 6e2 ) de = 4e3 ) d = 4e2 : b = e4 : b = e4: p Vẵ dụ 10. Chọn e = 2, khi đú a = 12; b = 4; c = 4; d = 8. Ta được dÂy số 4 2 xn + 12xn + 4 ∗ (xn) thỏa mÂn hằ thực truy hồi: xn+1 = 3 ; 8n 2 N : Ta được bài 4xn + 8xn toĂn sau. 11
  12. Bài toĂn 0.10. Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số (xn) cho như sau: 4 2 xn + 12xn + 4 ∗ x1 = α > 0 và xn+1 = 3 ; 8n 2 N : 4xn + 8xn ∗ GiÊi. Dạ thĐy xn > 0; 8n 2 N . Ta cú p 4 2 p xn + 12xn + 4 xn+1 + 2 = 3 + 2 4xn + 8xn p p p 4 4 3 2  xn + 4 2xn + 12xn + 8 2xn + 4 xn + 2 = 3 = 3 : (1) 4xn + 8xn 4xn + 8xn Mặt khĂc p 4 2 p xn + 12xn + 4 xn+1 − 2 = 3 − 2 4xn + 8xn p p p 4 4 3 2  xn − 4 2xn + 12xn − 8 2xn + 4 xn − 2 = 3 = 3 : (2) 4xn + 8xn 4xn + 8xn p x − 2 X²t hàm số f(x) = p ; 8x > 0. Tứ (1) và (2) ta suy ra x + 2 p  p 4 xn − 2 xn−1 − 2 4 42 f (xn) = p = p = [f (xn−1)] = [f (xn−2)] xn + 2 xn−1 + 2 4n−1 4n−1 = ããã = [f (x1)] = [f (α)] : (3) 4n−1 Đặt βn = [f (α)] . Tứ (3) ta cú p p p xn − 2 p p 2 + 2βn p = βn , xn − 2 = βnxn + 2βn , xn = : xn + 2 1 − βn Số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số đó cho là p 4n−1 p p α − 2 2 + 2 p α + 2 x = ; 8n 2 ∗: n p 4n−1 N α − 2 1 − p α + 2 Bài toĂn 0.11. Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số (un) cho như sau: 2  4un 4un + 1 ∗ u1 = α 2 R và un+1 = 4 2 ; 8n 2 N : 16un + 24un + 1 1 GiÊi. Dạ thĐy, với mọi số nguyản dương n thẳ luụn tồn tÔi u . Náu α = − n 2 1 1 thẳ u = − ; 8n = 1; 2;::: Tiáp theo x²t α 6= − . Ta cú n 2 2 3 4 3 2 32un + 8un 16un + 32un + 24un + 8un + 1 2un+1 + 1 = 4 2 + 1 = 4 2 16un + 24un + 1 16un + 24un + 1 12
  13. 4 (2un + 1) = 4 2 : (1) 16un + 24un + 1 Mặt khĂc 3 4 3 2 32un + 8un −16un + 32un − 24un + 8un − 1 2un+1 − 1 = 4 2 − 1 = 4 2 16un + 24un + 1 16un + 24un + 1 4 − (2un − 1) = 4 2 : (2) 16un + 24un + 1 2x − 1 X²t hàm số f(x) = . Tứ (1) và (2) ta cú 2x + 1  4 2un − 1 2un−1 − 1 4 42 f(un) = = − = − [f(un−1)] = − [f(un−2)] 2un + 1 2un−1 + 1 4n−1 4n−1 = ããã = − [f(u1)] = − [f(α)] : (3) Tứ (3) ta được 4n−1 2u − 1 n−1 1 − [f(α)] n = − [f(α)]4 , u = : n 4n−1 2un + 1 2 + 2 [f(α)] 1 1 1 Vêy náu α = − thẳ u = − ; 8n = 1; 2;::: , cỏn náu α 6= − thẳ 2 n 2 2 n−1 2α − 14 1 − 2α + 1 un = ; 8n = 1; 2;::: 2α − 14n−1 2 + 2: 2α + 1 13