Sáng kiến kinh nghiệm Học cách vận dụng và khai thác bài toán

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Học cách vận dụng và khai thác bài toán

1. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n I . ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong chương trình toán Đại số chương trình THCS, các dạng bài tập về Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khá rộng và phong phú. Song để giải được các bài tập trong dạng này yêu cầu học sinh phải có một kiến thức sâu rộng, bao quát, phải chịu khó tìm tòi suy nghĩ. Đi sâu vào loại toán này ta thấy rất nhiều dạng với phương pháp giải hết sức phong phú. Để giải được loại toán này đòi hỏi phải có suy luận lôgic chặt chẽ, tư duy sáng tạo, kết hợp với việc huy động nhiều kiến thức bên ngoài. Do vậy đây là một phần khó song nó lại có rất nhiều ứng dụng để làm các dạng bài tập khác; làm tiên đề cho việc học tập, nghiên cứu các nội dung toán học có liên quan. Chính vì thế tôi muốn đi từ một bài tập đơn giản để dẫn học sinh vào dạng toán này để có thể tìm ra phương pháp tốt nhất trong việc truyền thụ và gây hứng thú cho học sinh trong học tập. Để có thể nâng cao hiệu quả trong giảng dạy về loại toán này, trước tiên phải nắm được một số tính chất, định lý, và một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. Từ đó đưa ra các dạng bài tập và phương pháp vận dụng để giải dạng toán này, đồng thời đưa ra các dạng bài tập có liên quan đến vấn đề đó để nhằm củng cố khắc sâu kiến thức cho học sinh. 1 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
2. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n II . NỘI DUNG: Việc ứng dụng các bài toán cơ bản trong việc giải các bài tập khác nhau là một vấn đề mà người học toán cần quan tâm. Đặc biệt là xuất phát từ những bài toán đơn giản, biết cách vận dụng và khai thác nó là một vấn đề mà tất cả chúng ta cần quan tâm. Trong chương trình môn toán THCScó 1 bài toán quen thuộc (còn gọi là 1 bất đẳng thức cơ bản) mà việc ứng dụng của nó khi giải các bài tập khác về đại số và hình học rất có hiệu quả, đặc biệt là trong chương trình môn toán lớp 8. Bất đẳng thức đó như sau: (a b)2  a, b ta có: a2 b2 2ab (*) 2 2(a2 b2 ) (a b)2 2 Dễ thấy (*) (a b) 4ab 2 2 a b 2ab Cả 3 đẳng thức trên đều tương đương với (a-b)2 0 và do đó chúng xảy ra đẳng thức a = b. Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức: Với hai số dương a, b ta luôn có a b ab ( Bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm) 2 Bài tập 44 – sách bài tập toán 9 Tập 1 Ý nghĩa của (*) là nêu lên mối quan hệ giữa tổng hai số với tích của chúng hoặc với tổng các bình phương của hai số đó. Sau đây tôi xin đưa ra 1 vài ví dụ và bài tập minh họa cho việc vận dụng BĐT trên. Ví dụ 1: a) Cho x và y là các số dương. 1 1 4 Chứng minh rằng: x y x y ( Đề thi HSG Huyện lớp 9 vòng 1 năm học 2010 – 2011) b) Với a, b là các số dương. 2 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
3. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n 1 1 Chứng minh: a b 4 a b ( Đề kiểm tra năng lực giáo viên dạy giỏi trường năm học 2012 – 2013) Giải: a) Thật vậy từ (a + b)2 4ab ta cúng có (x + y)2 4xy x y 4 1 1 4 xy x y x y x y 1 1 4 b) Cách 1:Từ câu a ta có: a b (a b) = 4 a b a b 1 1 2 Cách 2: Ta có a + b 2 ab ; a b ab Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1: Cho a + b = 1. Chứng minh rằng: 1 a) a2 + b2 2 1 b) a4 + b4 8 1 c) a8 + b8 128 Giải: a) Áp dụng BĐT trên ta có: (a b)2 1 a2 + b2 2 2 1 Dấu “ = “ xảy ra a = b = 2 b) Tương tự, áp dụng BĐT trên ta có: 2 1 (a2 b2 )2 2 1 a4 + b4 2 2 8 3 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
4. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n 1 (a4 b4 )4 8 1 c) a8 + b8 2 2 128 Ví dụ 2: (Thi học sinh giỏi Huyện lớp 9, năm học 2006 - 2007) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc. Để hướng dẫn học sinh áp dụng được BĐT trên vào bài toán đó thì ta phải xét vế trái của BĐT. Nhưng việc áp dụng BĐT này như thế nào thì lại phải xét bình phương của BĐT suy ra từ nó: 2 a b 2 Từ 2ab a b 4ab 2 Tương tự, ta suy ra các BĐT khác: (b+c)2 4bc; (c+a)2 4ca Từ đó suy ra: (a+b)2(b+c)2(c+a)2 64a2b2c2 ( Ví a, b, c > 0) Suy ra: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc( ĐPCM) Điều cốt lõi là ở bài toán này là HS phải bíêt vận dụng linh động BĐT (*) vào để giải bài toán. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:  a, b, c ta có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca. Giải: Áp dụng BĐT ( *), ta có: a2 + b2 2ab b2 + c2 2bc c2 + a2 2ca Cộng vế theo vế của các BĐT trên ta có: 2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + bc + ca) 4 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
5. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n Suy ra: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca( ĐPCM) Ví dụ 4: ( Đề thi KSCL đầu khá Lớp 8 năm học 2006 - 2007 ) Chứng minh rằng: a b a) Nếu ab > 0 thì 2 b a a b b) Nếu ab 0 2 2 ab b a a2 b2 a b b) Do ab < 0 2 2 ab b a a b a2 b2 Từ BĐT (*), ta suy ra được 2 2 Từ đó ta có ví dụ sau. Ví dụ 5: Cho u, v là các số dương và u + v = 1. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 25 u v u v 2 Áp dụng ví dụ 4, ta có lời giải như sau: 1 1 Đặt a = u + ; b = v + . Như vậy: u v 2 2 2 a2 b2 1 1 1 a b u v 2 2 u v 2 2 2 2 1 1 1 1 1 u v u v 1 u v u v uv 2 2 2 2 1 4 25 2 2 5 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
6. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n 2 1 u v 1 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi u = v = ( Vì uv do đó 2 2 4 1 1 uv hay 4 ). 4 uv Ví dụ 6: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a2 + b2 2 Chứng minh : a + b 2 Giải: Từ BĐT a2 + b2 2 2 2ab Hay ab 1 (1) 2 Và từ a2 + b2 2 a b 2 2ab 4 a + b 2 Ví dụ 7 ( Chứng minh BĐT CôSi cho 4 số ). Chứng minh rằng:  a, b, c, d ta có: a4 + b4 + c4 + d4 4abcd Giải: Áp dụng BĐT (*) ta có: a4 + b4 2a2b2 c4 + d4 2c2d2 Từ đó suy ra: a4 + b4 + c4 + d4 2(a2b2 + c2d2) Ta lại có: a2b2 + c2d2 2abcd Vậy a4 + b4 + c4 + d4 4abcd (ĐPCM) Ví dụ 8: Chứng minh rằng: a) a2 + b2 +1 ab + a + b b) a2 + b2 + c2 +3 2(a + b + c ) Giải: a) Áp dụng BĐT (*) ta có: 6 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
7. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n a2 + b2 2ab a2 + 1 2a b2 + 1 2b Từ đó suy ra: 2a2 + 2b2 + 1 2(ab + a + b ) b) Tương tự ta có: a2 + 1 2a b2 + 1 2b c2 + 1 2c Suy ra: a2 +1 + b2 +1 + c2 +1 2a + 2b + 2c Hay a2 + b2 + c2 2(a + b + c ) Ví dụ 9. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: x2 y2 z 2 x y z y2 z 2 x2 y z x Giải: x y z Cách 1: Đặt a, b, c y z x Thì lúc đó bài toán trở thành: * a2 + b2 + c2 a + b + c. Vì x, y, z > 0 suy ra: a + b +c 3 Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. 1 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 3 Giải: Từ a + b + c = 1 Suy ra a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1 Từ BĐT (*) ta có: a2 + b2 2ab; 7 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
8. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n Ta có: a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 + b2 + c2 + a2 + b2 + c2 + a2 + b2 + c2 Hay 1 3(a2 + b2 + c2) 1 a2 + b2 + c2 3 Ví dụ 11. Cho a, b, c là các sô thực. 4 4 4 Chứng minh rằng: a + b + c abc(a + b + c) Giải: Áp dung BĐT (*) ta có: a4 + b4 2a2b2 b4 + c4 2b2c2 c4 + a2 2c2a2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 Suy ra: a + b + c a b + b c + c a ( 1 ) Mặt khác ta lại có: a2b2 + b2c2 2ab2c b2c2 + c2a2 2abc2 c2a2 + a2b2 2a2bc a2b2 + b2c2 + c2a2 abc(a + b + c) ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 12: Cho a + b + c + d 1 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 1 Giải: Áp dụng BĐT ( * ), ta có: a2 + b2 2ab; b2 + c2 2bc; c2 + d2 2cd; d2 + a2 2da; a2 + c2 2ac; b2 + d2 2bd Suy ra: 3(a2 + b2 + c2 + d2 ) 2 ( ab + ac + ad + bc + bd + cd) 8 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
9. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n 4 (a2 + b2 + c2 + d2 ) ( a + b + c + d )2 = 22 = 4 a2 + b2 + c2 + d2 1 1 Dấu “ = “ a = b = c = d = 2 Ví dụ 13: Chứng minh rằng:  a, b, c ta có: (a + b)2(b + c)2 4abc(a + b + c) Giải: Xét (a + b)2(b + c)2 = ( ab + ac + b2 + bc )2 2 = ac (a b c)b áp dụng BĐT (*) (a + b)2 4ab Ta có ac (a b c)b2 4abc(a + b + c) Vậy (a + b)2(b + c)2 4abc(a + b + c) Ví dụ 14: Cho a, b, c 0 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 (a + b)(c + d) Giải: Tương tự ví dụ 12 ta có: 4(a2 + b2 + c2 + d2 ) ( a + b + c + d )2 Áp dụng BĐT (a + b)2 4ab ta có: (a b)(c d)2 4(a b)(c d) 4(a2 + b2 + c2 + d2 ) 4(a + b)(c + d) Hay a2 + b2 + c2 + d2 (a + b)(c + d) Ví dụ 16: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: bc ac ab a. a b c a b c a b c 1 1 1 b. bc ac ab a b c Giải: 9 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
10. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n bc ac ab a. Áp dụng BĐT trên cho bộ 2 trong ba số dương: , , a b c bc ac bc ac 2 . 2c a b a b ac ab ab bc Tương tự: 2a ; 2b b c c a Cộng vế theo vế 3 BĐT trên ta có đpcm. b. Chứng minh tương tự. I.Một số bài tập tương tự: 4 4 1/ Cho a + b = 2. Chứng minh rằng : a + b 2 2/ Cho a, b, c (0;1). Chứng minh rằng: 1 a) a(1 - a) 4 1 1 1 b) Các BĐT : a( 1 - b) > ; b(1 - c) > ; c( 1 - a) > 4 4 4 Không đồng thời xảy ra. 3/ Cho a1, a2, a3 an (0;1). Chứng minh : 2 2 2 2 ( 1 + a1 + a2 + + an ) 4 ( a1 + a2 + + an ) 4/ Cho a, b, c d, e R. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b + c + d + e) 5/ Cho a, b, c R. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 3 2( a + b + c). 6/ Cho a, b, c, d 0. Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ( ac + 2)2(bd + 4)2. II. Học sinh tìm thêm một số bài tập vận dụng BĐT để giải 10 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
11. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n III. KẾT LUẬN: Qua quá trình giảng dạy cho học sinh khá giỏi kết hợp với tìm tòi tài liệu tham khảo, tôi đã đưa ra vấn đề từ một bài tập cơ bản có thể vận dụng để giải và tìm hiểu một số các bài tập một cách đễ dàng hơn, giúp học sinh có hứng thú trong việc giải một số bài tập về BĐT nói riêng và trong việc giải toán đại số nói chung. 11 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
12. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n Để giải các bài tập về BĐT, tuỳ đặc điểm của từng bài toán học sinh có thể vận dụng một trong các BĐT trên cho phù hợp. Giáo viên có thể thấy rõ đặc trưng của mỗi BĐT đó đối với từng đối tượng học sinh nhất định, từ đó có thể lựa chọn phương pháp phù hợp cho đối tượng học sinh của mình. Qua quá trình giảng dạy, nhiều năm ở các khối lớp 8, 9 tôi nhận thấy nếu học sinh được luyện kỹ phần này thì khả năng tư duy chặt chẽ, lập luận có căn cứ trong giải toán được tốt hơn. Cũng thông qua mảng đề tài này, những học sinh năng khiếu bộ môn toán có khả năng phát huy được tính sáng tạo của mình. Trên đây là một số suy nghĩ và hệ thống một số ví dụ giải toán BĐT của bản thân tôi. Mong rằng các đồng nghiệp cùng nghiên cứu và bổ sung thêm một số kiến thức khác để đề tài này được phong phú và đa dạng hơn. Người thực hiện Nguyễn Thị Lan Giáo viên tổ tự nhiên, trường THCS Diễn Lộc 12 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
13. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n MỤC LỤC TT Phần Nội dung Trang 1 Mở đầu Đặt vấn đề 1 2 Nội dung 2 – 11 3 Kết luận 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A
14. Häc c¸ch vËn dông vµ khai th¸c bµi to¸n TT Tên sách Tác giả Ghi chú 1 Sách nâng cao và phát triển toán 8 (tập 1, 2) 2 Sách nâng cao và phát triển toán 9 (tập 1, 2) 3 Đề thi HSG giỏi Huyện lớp 9 các năm 4 Đề thi học sinh đầu khá giỏi lớp 8 các năm 5 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp 6 Các bài toán chọn lọc về BĐT Lê Huy Tủy 4/1994 7 Chuyên đề BĐT chọn lọc cho học sinh THCS Phan Huy Khải 8 Tuyển tập các bài toán THCS chọn lọc Vũ Dương Thụy Trương Công Thành Nguyễn Ngọc Đạm 9 Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh Võ Đại Mau giỏi toán cấp 2 – Phân đại số 14 A NguyÔn ThÞ Lan Gi¸o viªn tr­êng THCS DiÔn Léc A