Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

1. ïì x ³ - 2 x + 2 2 ï 3 9 + Với = 1 « x + 2 = x + 1 « í « x = - ® y = 2 ï 2 2 4 16 x + 1 îï (x + 2) = x + 1 ïì x £ - 2 x + 2 2 2 ï + Với = - « - 3(x + 2)= 2 x + 1 « í 2 2 3 ï 9(x + 2) = 4 x2 + 1 x + 1 îï ( ) - 18- 164 488 + 36 164 « x = ® y = . 5 25 æ ö æ 3 9 ÷ö ç- 18- 164 488 + 36 164 ÷ Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= ç- ; ÷ , ç ; ÷ èç 4 16ø÷ èç 5 25 ø÷ ì 3 ï x + 3x = (y + 4) y + 1 (1) Bài tập 2 Giải hệ phương trình: íï ï 3 îï x + 2x + y + y + 1- 17 = 0 (2) Hướng dẫn: Điều kiện y 1 (*). 3 Phương trình (1) « x3 3x y 1 3 y 1 3 . 3 2 Xét hàm số f(t) t + 3t với t R , f '(t) 3t +3>0 t R Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R. Từ (3) f x f ( y 1)  x y 1  y x2 1 thay vào (2) ta được: x3 + x2 + 3x - 18 = 0 « x = 2 ® y = 3. Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (2;3) Bài tập 3 Giải hệ phương trình: ïì 2 2 ï 3x(2 + 9x + 3)- (4y + 2)(1+ 1+ y + y )= 0 (1) íï ï 3 2 2 îï x - 6x + 4y + 6y + 1= 0 (2) Hướng dẫn: æ ö æ ö Phương trình (1) « 3xç2 + (3x)2 + 3÷= (2y + 1)ç2 + (2y + 1)2 + 3÷ (3) èç ø÷ èç ø÷ 2 2 2 t Xét hàm số f (t) t 2 t 3 với t R , f '(t) 2 t 3+ >0 t R t2 3 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R. Từ (3) f 3x f (2y 1)  3x 2y 1 thay vào (2) ta được: 3 3 - 4 + 3 2 x3 + 3x2 + 3x - 1= 0 « (x + 1) = 2 « x = - 1+ 3 2 ® y = 2 æ 3 ö ç 3 - 4 + 3 2 ÷ Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= ç- 1+ 2; ÷ èç 2 ø÷ 4
2. 2 2 4 2 2y 4y 3x x x 3 1 Bài tập 4 Giải hệ phương trình: 2019x 2y 2x 5 x 1 4038 2 Hướng dẫn: Điều kiện 2y 2x 5 0 (*). Từ phương trình (1) y ³ 0 Ta nhận thấy x = 0 ® y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Xét x ¹ 0 3 æ2yö æ2yö 3 Phương trình (1) « ç ÷ + 3ç ÷=x +3x (3) èç x ÷ø èç x ø÷ 3 2 Xét hàm số f (t) t 3t với t R , f '(t) 3t +3>0 t R Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R. 2y 2y 2 Từ (3) f f (x)  x  2y x thay vào (2) ta được: x x x 2 x 2 2019 x 2x 5 x 1 4038  2019 x 1 4 x 1 =4038 (4) Đặt u = x - 1phương trình (4) « 2019u+1 ( u2 + 4 - u)= 4038 (5) Xét hàm số g(u)= 2019u+1 ( u2 + 4 - u) u Î R . æ ö æ ö + ç u ÷ ç u ÷ g' u = 2019u 1 çln 2019 + - 1÷³ 0 çDo ln 2019 > 2, - 1 0 2 2 Phương trình (1) « y - 2 + (y - 2) + 4 = (- 2x)+ (- 2x) + 4 (3) 2 t Xét hàm số f(t) t t 4 với t R , f '(t) 1 >0 t R t2 4 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R. Từ (3) f y 2 f ( 2x)  y 2 2x thay vào (2) ta được: 5
3. é x = 0 ® y = 2 2 ê 5x - 8x = 0 « ê 8 - 6 thỏa mãn (*). êx = ® y = ëê 5 5 æ8 6ö Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (0;1) hoặc (x;y)= ç ;- ÷ èç5 5ø÷ 3 3 2 x - y + 3y - 3x - 2 =0 1 Bài tập 6 Giải hệ phương trình: 2 2 2 x + 1 x - 2 2y y +1=0 2 1 x 1 Hướng dẫn: Điều kiện * . 0 y 2 3 3 Phương trình (1) « x - 3x = (y - 1) - 3(y - 1) (3) 3 2 Xét hàm số f(t) t 3t với t  1,1 , f '(t) 3t - 3 0 t 0 2 t 4 hàm số luôn đồng biến và liên tục trên [0;+ ¥ ) 3 1 Từ phương trình (3) f (x - 1)= f (y)« x - 1= y thay vào (2) ta được: x = ® y = 2 2 æ3 1ö Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= ç ; ÷ . èç2 2ø÷ ì 3 3 2 2 ï 7x - y - 3x y - 3xy + x - y = 0 (1) Bài tập 8 Giải hệ phương trình íï ï 2 îï x - y + 2 - 2 = 0 (2) Hướng dẫn: y ³ - 2 3 3 Phương trình (1) « (x + y) + (x + y)= (2x) + 2x (3) 6
4. 3 2 Xét hàm số f (t) t t với t R , f '(t) 3t +1 >0 t R Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên R. Từ (3) f x y f(2x)  x y 2x  x y thay vào (2) ta được: x2 - x + 2 - 2 = 0 Điều kiện x ³ - 2 . ì 2 ï x = u + 2 (4) Đặt u = x + 2 u ³ 0 (*) Ta được íï ï 2 îï u = x + 2 (5) Trừ vế với vế ta được (x - u)(x + u + 1)= 0 + Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2 x = u = 2 ® x = y = 2 là nghiệm - 1- 5 + Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được ® x = y = là nghiệm 2 æ ö ç- 1- 5 - 1- 5 ÷ Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (2;2);ç ; ÷ . èç 2 2 ø÷ ïì 2 æ 1 2 ö ï x(2+ x + 3) + (2y + 2)ç1+ 4 + 2y + y ÷= 0 (1) ï èç 2 ø÷ Bài tập 9 Cho hệ phương trình:íï ï x- 1 ï (x- 2)(5+ y)+ x- 2 + 5+ y = + x + 1 (2) îï 2 n Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x1;y1), (x2;y2 ) (xn ;yn ) T = å xk bằng k=1 17 26 A. 10 B. 15 C. D. 2 5 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 4 .(*) 2 Phương trình(1)  x 2 x2 3  (y 1) 2  (y 1) 3 (3) 2 2 t Xét hàm số f (t) t 2 t2 3  t R , f '(t) 2 t 3 >0 t R t2 3 Hàm số luôn đồng biến trên R. Từ (3) f(x) f( y 1)  x y 1 y x 1 . x 1 Thay vào (2) ta được x 2 4 x x 2 4 x x 1 2 Đặt t x 2 4 x điều kiện 2 t 2 ( ). 2 t2 2 x 1 2 Phương trình (1)  t x 1 (2) 2 2 k2 2 g(k)  k k 2;4 , g '(k) k 1 0 k 2;4 Hàm số g(k) luôn 2   đồng biến trên 2;4 . Từ (2) ta có g(t) g( x 1)  t x 1 7
5. 11 2 26  x 1 x 2 4 x  x 3;  ® T = x = Chọn (D) 5 å k  k=1 5 ïì 2 2 ï (x + x + 1)(y - 3+ y - 6y + 13)= 2(1) Bài tập 10 Hệ phương trình: íï ï 2 2 îï x + 2y + 3y - 6 = 0 (2) Có bao nhiêu nghiệm? A.1 B.2 C.3 D.4 Hướng dẫn: Do x2 1 x x x2 1 x  x2 1 x 0 . Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với x2 1 x ta được 2 2 2x 2x 4 y 3 y 3 4 (3) t Xét hàm số f (t) t t2 4 , t R . Ta có f '(t) 1 0 t R t2 4 t t Do t2 4 t 1 1 1 0 Hàm số luôn đồng biến trên -1;+ t2 4 t2 4 Từ phương trình (3) ta có f (y 3) f ( 2x)  y 3 2x . Thay y 3 2x vào (2) ta được 11y2 + 2y - 13 = 0 phương trình có 2 nghiêm nên hệ phương trình có 2 nghiệm chọn (B) Nhận xét: Trong 10 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như: Từ một phương trình của hệ có chuyển về phương trình đơn giản ngay được không, có phân tích nhân tử được không Tiếp theo ta thấy có 1 phương trình của hệ có thể dùng phương pháp hàm số để giải đưa về mối quan hệ x và y sau đó thế vào phương trình còn lại để được phương trình 1 ẩn để giải Bài tập Giải các hệ phương trình sau ì ï (2x + 2) 2x + 1 + (y - 3) 2- y = 0 1/ íï ï îï 8x + 4 - (2- y) 2- y = 1 ì 2 ï (4x + 1)x + (y - 3) 5- y = 0 2/ íï ï 2 2 îï 4x + y + 2 3- 4x = 7 ì 3 ï 2(2x + 1) + 2x + 1= (2y - 3) y - 2 3/ íï ï îï 4x + 2 - 2y + 4 = 6 ì 5 4 10 6 ï x + x.y = y + y 4/ íï ï 2 îï 4x + 5 + y + 8 =6 8
6. ì 6 3 2 2 ï x - y + x - 9y - 30 = 28y 5/ í ï îï 2x + 3 + x = y B/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn dùng phương pháp hàm số để giải. Cho hàm số y f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D nếu tồn tại x0 D sao cho f (x0 ) 0 thì trên D phương trình f (x) 0 có nghiệm duy nhất x x0 . ì 2 3 2 ï x + y - xy - (y + 6)x + 6y = 0 (1) Bài tập 11 Giải hệ phương trình: íï ï 4 4 îï 4 - x + y - 2 = 2 (2) x 4 Hướng dẫn: Điều kiện * . y 2 éx = y x2 - y2 + y + 6 x + y y2 + 6 = 0 « ê Phương trình (1) « ( ) ( ) ê 2 ëêx = y + 6(VN do(*)) Thay vào (2) ta được 4 x 2 4 4 x 2 Điều kiện 2 x 4 . Xét hàm số f (x) 4 x 2 4 4 x liên tục trên 2;4 1 1 Ta có f '(x) , f '(x) 0  x 3 4 4 x 2 3 4 4 4 x 3 Bảng biến thiên: x 2 3 4 y’ + 0 - 2 y 4 4 2 2 Ta có f 3 2 x =3 là nghiệm của phương trình f x 2 . Với x=3 y=3 thỏa mãn (*). Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (3;3) . ì 3 3 2 2 ï x - 6y + 4xy +x y =0 (1) Bài tập 12 Giải hệ phương trình: íï ï 2 2 îï x +15 =3y - 2 + y +8 (2) Hướng dẫn:Ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ phương trình. Xét y ¹ 0 chia hai vế của phương trình (1) choy3 ta được 3 2 æxö æxö x x ç ÷ +ç ÷ +4 - 6 =0 « = 1« x = y thay vào (2) ta được èçyø÷ èçyø÷ y y 2 2 x 2 + 1 5 = 3 x -2 + x 2 + 8  3x - 2 + x +8 - x +15=0 (3) 9
7. Xét hàm số: f (x) 3x 2 x2 8 x2 15 liên tục trên R x x f '(x) 3 0 x R Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R. x2 8 x2 15 Ta có f 1 0  x 1 y =1. Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (1;1) . ì 3 2 2 3 ï 7x - 3x y - 3xy - y = 0 (1) Bài tập 13 Giải hệ phương trình:íï ï 2 2 2 îï x +3 + y + 8 + y - 6 =0 (2) Hướng dẫn: Phương trình (1) « (x + y)3 = (2x)3 « x + y = 2x « x = y Thay vào (2) ta được x2+3 + x2 + 8 + x2 - 6 =0 (3) Xét hàm số f (t) = t+3 + t + 8 + t - 6 =0 t ³ 0 1 1 f '(t) = + + 1>0 " t ³ 0 ® Hàm số đồng biến và liên tục trên [0;+ ¥ ) . 2 t+3 2 t + 8 Ta có f (t) = 0 « t = 1 . Từ (3) « x2 = 1« x = ± 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)= (1;1),(- 1;- 1) 2x y + 3x y = x+ 2x 1 Bài tập 14 Giải hệ phương trình: 3 2 x 3y 4x 2 x 8 y 7 2 ïì 2x - y ³ 0 ï ï 3x - y ³ 0 Hướng dẫn: Điều kiện í ï x ³ 0 ï îï y + 7 ³ Phương trình (1) « x + (x - y)+ 2x + (x - y)= x + 2x (3) Xét x > y « x - y > 0 từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải Xét x 0 t R Hàm số luôn đồng biến trên R. x 1 Từ (2) f(x 1) f( x 7) x 1 x 7  2  x 2 ® y=2 là nghiệm x x 6 0 của phương trình . Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(2;2) 10
8. x3 + 2x2 y +12xy2 - 40y3 =0 1 Bài tập 15 Giải hệ phương trình: x4 2x3 4y 1 x 3 2 2 8y 2x 4y x 0 Hướng dẫn: Điều kiện 3 2 (*) (*) 8y 2x 4y 0 Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình. 3 2 x x x Xét y ¹ 0 chia hai vế của (1) cho 8y3 ta được + +3 - 5=0 2y 2y 2y 4 3 x x 2x 2x 1 « = 1 « x = 2y thay vào (2) ta được x 3 2 (3) 2y x 2x 2x 3 x 1 x 1 3 x x-1 3 Phương trình (3)  x  2 = 2 (4) x x 1 2 1 x 1 1 x 1 2 2 3 4 2 t3 3t t 1 2t.t t 3t Xét f (t) , f '(t) 2 = 2 0 hàm số luôn t2 1 t2 1 t2 1 đồng biến trên R. Từ phương trình (4) ta có x 1 3 5 3 5 f x f x 1 x x 1 x y   2  x x 1 0 2 4 3 5 3 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y ; 2 4 x2 - y 3 y x - y y -3y=0 1 Bài tập 16 Cho hệ phương trình: y2 y 2 3 2y 1 x 1 2 3 2x 1 3 Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2 ) và M(x1;y1), N(x2;y2 ) 2 + 10 MN bằng? A. 5 B. C.3 D.4 2 Hướng dẫn: Điều kiện x 1, x 13, y 0 (*) ïì x = y Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được íï ï îï x = - 3- y (loai do(*)) x 2 x 2 3 2x 1 Với x=y thay vào (2) ta được x 1 3 2x 1 3 11
9. x2 x 6 (x 2)( x 1 2)  x 1 2 1 3 2x 1 3 3 2x 1 3 3  2x 1 3 2x 1 x 1 x 1 (2) Xét f (t) t3 +t t R , f '(t) 3t2 +1>0 t R Hàm số luôn đồng biến trên R. Từ phương trình (2) ta có f 3 2x 1 f x 1  3 2x 1 x 1 1 5 1+ 5 1+ 5  x 0; x là nghiệm cần tìm . Với x = 0® y = 0, x= ® y = 2 2 2 æ ö ç1+ 5 1+ 5÷ 2 + 10 Vậy M(0;0), Nç ; ÷® MN= Chọn (B) èç 2 2 ø÷ 2 2 x - y 4 x - 4y=0 1 Bài tập 17 Cho hệ phương trình: 4 4 3 x 4 3 y 1 5 2 Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2 ) và M(x1;y1), N(x2;y2 ) trung điểm của MN có tọa độ là? A.(0;0) B.(1;2) C.(3;-1) D.(2;-3). Hướng dẫn: Điều kiện x 3, y 3 (*) ïì x = y Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được íï îï x = - 4(loai do(*)) Với x=y thay vào (2) ta được 4 3 x 4 3 x 1 4 5 Điều kiện 3 x 3 . Hàm số f (x) 4 x 3 4 3 x là hàm chẵn trên  3;3 1 1 Xét 0 x 3 y' 0 x 0;3 hàm số luôn nghịch 3 3  4 4 3 x 4 4 3 x biến trên 0;3 . Ta có f 2 1 4 5 x = 2 là nghiệm. 1 1 Xét 3 x 0 y' 0 x 3;0 hàm số luôn đồng 3 3 4 4 3 x 4 4 3 x biến trên  3;0 . Ta có f 2 1 4 5 x = - 2 là nghiệm Với x= - 2® y= - 2, x=2® y= 2 Vậy M(- 2;- 2), N(2;2) ® Tọa độ trung điểm của MN là (0;0) Chọn (A) 3 2 2 3 x + x y + xy - 3y = 0 1 Bài tập 18 Hệ phương trình: 2 2 có bao nhiêu x x 1 y y 1 3 1 2 nghiệm? A.0 B.1 C.2 D.3 Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình. 12
10. 3 2 x x x Xét y ¹ 0 chia hai vế của (1) cho y3 ta được + + - 3=0 y y y x « = 1 « x = y thay vào (2) ta được x2 x 1 x2 x 1 3 1 y Xét hàm số f (x) x2 x 1 x2 x 1 x R 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 f '(x) 2 x2 x 1 2 x2 x 1 2x 1 2 3 2x 1 2 3 t 3 Xét g(t) t R , g '(t) >0 t R g(t) là hàm số đồng t2 3 (t2 3) t2 3 biến trên R. 2x 1 2x 1 Ta có 2x 1 2x 1 f '(x) 0 x R nên f(x) 2x 1 2 3 2x 1 2 3 đồng biến trên R . Ta có f(1)= 3+1  x =1 y=1. Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y) =(1;1) Chọn (B) 2 x - y 2 y x - 2y - y y =0 1 Bài tập 19 Cho hệ phương trình: 2 y 1 x(y 3y 3) 3 2y 2 2x 3 2 Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x0;y0 ) T = x0 + 4y 0 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau? A.(10;12) B.(12;14) C.(14;16) D.(16;18) Hướng dẫn: Điều kiện x 0, y 0 (*) ïì x = y Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được íï ï îï x = - 2- y (loai do(*)) Với x=y thay vào (2) ta được x 1 x(x2 3x 3) 3 2x 2 2x 3 (3) 3 3 Phương trình (3)  x 1 x 1 1 3 2x 2 3 2x 2 1 (4) 3t2 Xét f(t) t t3 1 t -1;+ , f '(t) 1 0 2 t3 1 Hàm số luôn đồng biến trên -1;+ Từ (4) f (x 1) f ( 3 2x 2)  x 1 3 2x 2  x 3 ® y = 3 . Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x0;y0 )= (3;3)® T = 15 Î (14;16) Chọn (C). x2y2 2x y2 0 (1) Bài tập 20 Giải hệ phương trình: 3 2 2x 3x 6y 12x 13 0 (2) 13
11. 2 2x x 0 Hướng dẫn: Phương trình (1)  y 2 (*) x 1 1 y 1 Phương trình (2)  6y 2x3 3x2 12x 13 (3) Xét hàm số f (x) 2x3 3x2 12x 13 với 1 x 1 ta có bảng biến thiên x -1 1 f’(x) - 26 f(x) 6 ïì - 6 £ VT £ 6 Phương trình (3) có íï vậy phương trình (3) « VT = VP = 6 « x = y = 6 îï 6 £ VP £ 26 Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(6;6) 3x y + 7x y = 2x+ 6x 1 Bài tập 21 Giải phương trình 3 2 2 2 y +6y +1 2 - y =2 1- x 2 ïì 3x - y ³ 0 ï ï 7x - y ³ 0 Hướng dẫn: Điều kiện íï (*) ï x ³ 0 ï ï 2 îï 1- x ³ 0 Phương trình (1) « 2x + (x - y)+ 6x + (x - y)= 2x + 6x (3) Xét x > y « x - y > 0 từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải Xét x < y « x - y < 0 từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải Xét x=y vế trái bằng vế phải Vậy x=y thay vào (2) x3 +6x2 +1 2 - x2 =2 1- x2 (4) Giải phương trình (4) Điều kiện 1 x 1 2 3 2 2 1 x Phương trình (4)  x 6x 1 2 (5) . 1 1 x2 2 2 1 x 3 2 Ta thấy vế phải 0 2 1 . Xét hàm số y x 6x 1 với 1 x 1 ta 1 1 x2 có bảng biến thiên 14
12. x -1 0 1 y’ - 0 + 6 8 y x3 6x2 1 1 1  Phương trình 2 1 x2  x 0 y 0 là nghiệm cần tìm. 1 2 x2 Vậy (x;y)=(0;0) 3 2 2 3 2x + x y + xy - 4y = 0 1 Bài tập 22 Giải hệ phương trình: 4 3 2 x y y x y x 1 0 2 Hướng dẫn: Điều kiện x 0. Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình. 3 2 x x x Xét y ¹ 0 chia hai vế của (1) cho y3 ta được 2 + + - 4=0 y y y x 4 3 2 « = 1 « x = y thay vào (2) ta được x x x x x x 1 0 (3) y Ta thấy x=0 không là nghiệm phương trình (3). Xét x>0 chia hai vế của phương trình (3) cho x x ta được: 3 2 1 1 1 x x x 3 2 x x x Xét f (t) t3 +t2 +t t R , f '(t) 3t2 +2t+1>0 t R Hàm số luôn đồng biến trên R. 1 Từ phương trình (2) ta có f (x) f  x 1 y 1. x Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(1;1). Nhận xét: Trong 12 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như: Có biến đổi 1 phương trình của hệ phương trình tìm mối liên hệ x,y có phân tích nhân tử được không khi đã có mối quan hệ x và y ta thay vào phương trình còn lại của hệ và dùng hàm số để giải. 15
13. Cách ra “Hệ phương trình sử dụng hàm số để giải” Bước 1: Xây dựng một phương trình hai ẩn để tại mối quan hệ x và y sử dụng éx = u(y) 2 - é + ù + = « ê 1/ Viét đảo x ëu(y) v(y)ûx u(y).v(y) 0 ê ëx = v(y) 2/ Đẳng cấp ví dụ a.u3 (x)+ b.u2 (x).v(y)+ c.u(x).v2 (y)+ d.v3 (y)= 0 3/ Đánh giá được mối quan hệ x và y Bước 2: Xây dựng một phương trình hai ẩn để thay mối quan hệ x và y sử dụng ở bước 1 thay vào được phương trình 1 ẩn sử dụng hàm số 1/ x3 x ax b ax b >0 2/ x3 x 2 x ax b ax b  ax b với y x3 x 2 x luôn 2 2 2 4/ax ax  bx bx  trong đó y ax ax  là hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R. 3 3 5/ ax b ax b cx d cx d 6/ 3 ax b 3 ax b 3 cx d 3 cx d với ac>0 Bước 3: Với phương trình đã lập ở bước 2 ta giải bài toán này bằng cách biến đổi theo chiều xuôi kiểm tra tính chính xác, mức độ đề để điều chỉnh và kết thúc ra đề. Bài tập Giải các hệ phương trình sau ì 2 ï x - (y - y - 6)x - y( y + 6)= 0 1/ íï ï 3 îï x + y = (y + 3) x + 2 ïì x3 + x2y + xy2 - 3y3 = 0 ï 2/í 2 2 ï x + x + 3 2y + 1+ 2 y + y + 1 =3 îï ( )( ) ì 3 ï x - 2y + 1= 0 3/ íï ï îï (3- x) 2- x - 2y 2y - 1 = 0 ì 11 10 22 12 ï x + xy = y + y 4/ï í 4 4 2 2 ï 7y + 13x + 8 = 2y .3 x 3x + 3y - 1 îï ( ) ì 3 3 2 ï y + y = x + 3x + 4x + 2 5/ íï ï 2 îï 1- x - y = 2- y - 1 16
14. 7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo: [1]. Đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi THPT quốc gia môn Toán [2]. Đề thi HSG Toán 12 Tỉnh Vĩnh Phúc. [3]. Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục. [4]. Các đề thi thử ĐH của khối chuyên ĐHSP Hà Nội. 7.2 Khả năng áp dụng của sáng kiến: SKKN này đã được áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 . SKKN này đã được áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên cách ra bài tập hệ phương trình vô tỷ sử dụng hàm số. 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12 sau khi học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình. Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng thường xuyên. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: - So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu được khi áp dụng giải pháp trong đơn so với trường hợp không áp dụng giải pháp đó, hoặc so với những giải pháp tương tự đã biết ở cơ sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu quả kinh tế, lợi ích xã hội cao hơn như thế nào hoặc khắc phục được đến mức độ nào những nhược điểm của giải pháp đã biết trước đó - nếu là giải pháp cải tiến giải pháp đã biết trước đó); - Số tiền làm lợi (nếu có thể tính được) và nêu cách tính cụ thể. 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Đề tài này đã được tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia năm học trước. Giúp học sinh làm tốt các bài toán giải phương trình vô tỷ sử dụng phương pháp hàm số. Sáng kiến kinh nghiệm này là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên và học sinh. Độc giả quan tâm có thể bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú và hấp dẫn hơn 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: 17
15. 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực TT chức/cá nhân áp dụng sáng kiến 1 2 , ngày tháng năm Bình Xuyên, ngày 18.tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Lê Văn Vượng 18