SKKN Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học cực trị hình học không gian tổng hợp

Nội dung tóm tắt: SKKN Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học cực trị hình học không gian tổng hợp

1. 2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI HĐ1. ÔN TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a) Mục tiêu: Ôn tập kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng b)Nội dung: GV yêu cầu HS giải các bài toán sau: Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn BC = 2a đáy bé AD = a , AB = b . Mặt bên SAD là tam giác đều, M là một điểm di động trên AB . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và song song với SA , BC . 1. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( P) . Thiết diện là hình gì? 2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AM ,(0 < x < b). Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn nhất. Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a B￿AD=B￿AA￿ =A￿￿AD =60￿ a. Tính thể tích khối hộp ABCD.A' B 'C ' D ' b. Gọi I , J , G lần lượt là trung điểm A￿D, AB, IJ . Mặt phẳng ( P ) đi qua G cắt các cạnh A￿A, A￿B, A￿D lần lượttại A1, B1, D1 ( A ￿( P ), B ￿( P ), D ￿( P) ) . Gọi V ,V ,V lần lượt là thể tích các khối chóp A.A B D , B.AB D , D.AB D . Tìm A. A1 B 1 D 1 B. A 1 B 1 D 1D . A 1B 1 D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + V + V giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = VA. A B D B. A B D D. A B D theo a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) Sản phẩm: Bài 1 S P Q C B N M D A 1. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) . Thiết diện là hình gì? Do SA// (P) nên ( P) cắt (SAB) theo giao tuyến là đường thẳng đi qua M , song song với SA cắt SB tại Q . 54
2. Do BC // ( P) nên ( P) cắt ( ABCD) theo giao tuyến là đường thẳng đi qua M , song song với BC cắt CD tại N . ( P) cắt (SBC ) theo giao tuyến là đường thẳng đi qua Q , song song với BC cắt SC tại P . Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( P) là hình thang MNPQ (MN //PQ) . Do MN //BC, MQ//SA nên (MNPQ)//(SAD) suy ra PN //SD . Khi đó P￿NM = S￿DA = 600, Q￿MN = S￿AD = 600 (hai góc có các cặp cạnh tương ứng song song) nên MNPQ là hình thang cân. 2. Tính diện tích hình thang MNPQ P Q N K M b ￿ x 2.a.x ab + ax Ta tính được MQ = NP = a, PQ = ; MN = . b b b ab ￿ a.x 3 Từ đó tính được QK = . . b2 Suy ra diện tích của MNPQ là: 1 3.a2 MN + PQ .QK = SMNPQ = ( ) (b ￿ x)(b + 3x) 2 4b2 2 3.a2 3b ￿ 3.x + b + 3.x 3. 2 2 ￿ ￿ = a 3.a 2 ￿ Ta có SMNPQ = 2 b ￿ x b + 3x ￿ 12b 2 3 4b ( )( ) ￿ ￿ ￿ b Dấu “=” xảy ra khi x = . 3 b Vậy S đạt giá trị lớn nhất ￿ x = . MNPQ 3 Bài 2 55
3. a. Các tam giác ABD, AA￿D, AA ' B là các tam giác đều suy ra A￿B = BD = A￿D = a . Do đó tứ diện AA￿BD là tứ diện đều có cạnh bằng a. 2 a 3 Gọi H là trọng tâm tam giác A￿BD . Ta có BH = . = a 3 . Tam giác ABH 3 2 3 a2 a2 vuông tại H nên AH = 2 2 =2 =;a 2 S=. 3 AB ￿ BH a ￿ A' BD 3 3 4 1 a 2 a2 3 a3 2 Vậy V = .=. A. A' BD 3 3 4 12 a3 2 a3 2 Suy ra V = 6.V = 6. = . ABCD. A￿B￿C￿D￿ A. A' BD 12 2 b. G là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện A￿ABD nên G là trọng tâm tứ diện. Coi a là một đơn vị dài. Áp dụng bổ đề trên cho tứ diện A￿ABD với G là trọng tâm tứ diện và A1, B1, D1 lần lượt là giao điểm của mặt phẳng 1 1 1 ( P ) qua G với các cạnh A￿A, A￿B, A￿D . Ta có: + + = 4 . A￿A A￿B A￿D 1 1 11 1 1 Đặt A￿A x; A￿B y; A￿D = z 0 < x, y, z < 1 ta được + + = 4 . = = ( ) 1 1 1 x y z 56
4. 1 1 1 1 27 27 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 4 = + + ￿ 33 ￿ ￿ 64 ￿ xyz￿ . x y z xyz xyz 64 3 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = (mặt phẳng (P) song song với ( ABD)). 4 Mặt khác VAA B D AA 1 ￿x VBA B D BB 1 ￿y VDA B D DD 1￿z 1 1 1 = 1 = ; 1 1 1 = 1 = ; 1 1 1 = 1 = và VA￿A B D VA￿A B D VA￿A B D 1 1 1 A￿A1 x 1 1 1 A￿B1 y 1 1 1 A￿D1 z V A￿ A A￿ B A ￿D A￿A1 B 1 D 1 = 1 1 1 = xyz ￿ V = xyz.V A￿A1B1D1 A￿ABD VA￿ABD A￿A A￿B A￿D Suy ra ￿ 1 1 1 ￿ ￿ 1 1 1 ￿ 27 T = ￿1+ ￿1+ ￿.V1 = + + ￿ 3 .xyz.V = xyz.V ￿ V ￿ ￿ A￿A1B1D1 ￿ ￿ A￿ABD A￿ABD A￿ABD ￿ x y z ￿ ￿ x y z ￿ 64 3 3 3 a 2 27 a 2 9a 2 Mà V = ￿T ￿ . ￿ Tmin ￿ đạt được khi mp (P) song song A￿ABD 12 64 12 256 với mp ( ABD) . d) Tổ chức thực hiện - GV yêu cầu học sinh làm bài tập Chuyển giao - HS nhận nhiệm vụ - HS thực hiện nhiệm vụ cá nhân Thực hiện - GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn học sinh - HS nêu bật được mối liên hệ giữa đường và mặt Báo cáo thảo - GV gọi 2 HS lên bảng trình bày lời giải luận - HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động Đánh giá, nhận viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt xét, tổng hợp động học tiếp theo - Chốt kiến thức và các bước thực hiện 3. Hoạt động 3: Luyện tập bài tập làm thêm. a) Mục tiêu: Nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng định nghĩa, định lý vào chứng minh bài toán hình học. Luyện tập cách xác định và tính các loại khoảng cách trong không gian b) Nội dung: Giải bài tập số 3 và bài tập số 4 sách giáo khoa trang 121 c) Sản phẩm: BÀI TẬP GỢI Ý Cho hình hộp đứng ABCD.AB C D có đá ￿ ￿ ￿ ￿ 1) Gọi H là trung điểm của AC ￿ SH là ABCD là hình vuông. trung tuyến trong tam giác SAC . Mặt 57
5. 1) GọiS là tâm của hình vuông khác tam giác SAC cân tại S ￿ SH là A￿B￿C￿D￿ . SA , BC có trung điểm lần đường cao ￿ SH ￿ AC . lượt là M và N . Tính thể tích của (SAC ) ￿ ( ABC );(SAC ) ￿( ABC ) = AC ￿￿ ￿ khối chóp S.ABC theo a , biết MN tạo SH SAC ; SH AC ￿ ( ) ￿ ￿ . với mặt phẳng ABCD một góc bằng ( ) ￿ SH ￿ ( ABC ) 600 và AB = a . Gọi I là trung điểm của AH , mà M là 2) Khi AA￿ = AB . Gọi R , S lần lượt trung điểm của SA ￿ IM là đường trung A D CD￿ IM / /SH nằm trên các đoạn thẳng ￿ , sao ￿￿ bình trong tam giác SAH ￿ . cho RS vuông góc với mặt ￿ 1 a 3 ￿IM = SH phẳng (CB￿D￿) và RS = . Tính thể ￿2 ￿ 3 SH ￿ (ABC )￿ ￿ ￿ IM ￿ (ABC ) tích khối hộp ABCD.A￿B￿C￿D￿ theo a . IM / /SH ￿ ￿ . 3) Cho AA￿ AB a . Gọi G là trung ￿ ￿ = = ￿ MNI = (ABC ) = 600 (MN , ) điểm BD ￿ , một mp ( P) thay đổi luôn đi qua G cắt các đoạn thẳng Tam giác ABC vuông cân tại B , có AD￿ , CD ￿ , D￿B￿ tương ứng tại H , I , K AB = a ￿ BC = a ; 3 3 . AC = a 2 ￿ CI = AC = a 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 1 1 1 1 a T = + + . NC = BC = ; tam giác ABC vuông cân D￿H .D￿I D￿I.D￿K D￿K.D￿H 2 2 ￿ ￿ tại B ￿ A = C = 450. Xét tam giác CNI có a 10 NI = CI 2 +CN 2 ￿ 2CI.CN . cos I￿CN = 4 a 30 ￿ MI = IN . tan 600 = 4 . a 30 ￿ SH = 2MI = 2 . 1 1 1 a3 30 ￿V = .S .SH = . .AB.BC.SH = S. ABC 3 ￿ABC 3 2 12 2) Đặt AA￿ = m , A￿D￿ = n , A￿B￿ = p ￿ m = n = p = b ; m.n = n. p = p.m = 0 . Mặt khác A￿R = x.A￿D ; D￿S = y.D￿C . 58
6. Ta có A￿R = x.m + x.n ; D￿S = y.m + y.p ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿ . ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ RS = RA + AD + DS = ( y ￿ x)m +(1￿ x) n + yp Do đường thẳng RS vuông góc với mặt phẳng (CB￿D￿) nên ta có: ￿RS.B￿C = 0 ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿RS.D ￿C = 0￿￿ ￿￿( y ￿ x) ￿ ￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿m (1 x )n y p. ￿ ￿￿￿ + ￿ + ￿ ( m + n) = 0 ￿ ￿( y ￿ x) ￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿ m + (1￿ x )n + y p. ￿ m + p = 0 ￿￿ ￿ ( ) ￿ 2 x = ￿1+ y ￿ 2x = 0 ￿ 3 ￿ ￿ . ￿ ￿ ￿2 y ￿ x = 0 1 y = ￿ 3 Vậy R , S là các điểm sao cho ￿￿￿￿ 2 ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ 1 ￿￿￿￿￿ A￿ R = A￿ D ; D ￿S = D ￿C 3 3 ￿￿￿￿ 1 ￿￿ 1 ￿ 1 ￿￿ b2 ￿ RS = ￿ m + n + p ￿ RS 2 = 3 3 3 3 b 3 a 3 ￿ RS = = ￿ b = a ￿ V = a3 3 3 ABCD. A￿B￿C ￿D￿ . 3) Vì AA￿ = AB = a nên ABCD.A￿B￿C￿D￿ là hình lập phương có G là trung điểm BD￿ nên G là tâm của ABCD.A￿B￿C￿D￿ . Gọi E , F lần lượt là tâm ADD￿A￿ và BB￿C￿C ￿ E, F lần lượt là trung điểm A￿D và B￿C ; G là trung điểm EF . ￿ GA + GB￿ + GC + GD￿ = 2GE + 2GF = 0 ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿ D G = ￿ D ￿ A+ D ￿ C+ D￿ B ￿ 1 4 ( ) ￿￿￿￿￿ D￿A ￿￿￿￿￿ D￿C ￿￿￿￿￿ D￿B￿ ￿￿￿￿ ￿ 4 ￿ = ￿ + .D ￿K + .D￿ I D G .D H D￿I ￿￿￿￿￿ D￿H ￿￿￿￿ D￿K ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ D G = .D I + .D K + .D H 1 ￿ ￿ 4aD ￿2I ￿ 4aD ￿2K ￿ 4aD 2￿H ￿ ( ) Vì bốn điểm H , I , K , G đồng phẳng nên: 59
7. GH = kGI + lGK ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ D ￿H ￿ D ￿G = k (D ￿I ￿ D ￿G ) + l (D￿ K ￿ D ￿G ) ￿￿￿￿￿ k ￿￿￿￿ l ￿￿￿￿￿ 1 ￿￿￿￿￿ ￿DG￿ = .DI￿ + .DK￿ ￿ .DH￿ (2) k +l ￿1 k +l ￿1 k +l ￿1 do D￿I , D￿K , D￿H không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta được: a 2 a 2 a 2 + + = 1 . 4D ￿I4D ￿K4D ￿H Mặt khác 1 1 1 T = + + D￿H .D￿I D￿I.D￿K D￿K.D￿H 2 1 ￿ 1 1 1 ￿ 8 ￿ ￿ + + ￿ = 2 3 ￿ D￿I D￿H D￿K ￿ 3a 3a 2 ￿ T = 8 ￿ D￿H = D￿I = D￿K = . 3a2 4 8 Vậy giá trị lớn nhất của T là . 3a2 d) Tổ chức thực hiện: GV: HS làm việc cặp đôi, viết lời giải vào giấy nháp. Chuyển giao HS:Nhận GV: GV quan sát HS làm việc, nhắc nhở các em không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc về nội dung bài tập. Thực hiện HS: Mỗi cặp hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả bài làm. Báo cáo thảo Giáo viên gọi hai học sinh đại diện lên bảng trình bày lời giải. Các luận hs khác quan sát lời giải, cho ý kiến góp ý. Đánh giá, nhận GV góp ý, sửa sai, rút kinh nghiệm cho các em hs ( nếu cần). Yêu xét, tổng hợp cầu HS tự trình bày lời giải vào vở. 4. Hoạt động 4: Vận dụng a) Mục tiêu: Hình thành năng lực toán học, năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh. b) Nội dung: Giải bài tập số 5 sách giáo khoa trang 121 c) Sản phẩm: 60
8. BÀI TẬP GỢI Ý Bài tập 5: Cho tam giác đều OAB có AB = a . Trên đường thẳng (d) đi qua O vuông góc với mặt phẳng (OAB ) lấy một điểm M sao cho OM = x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB. Đường thẳng EF cắt đường thẳng (d) tại N. a) Chứng minh rằng AN ￿ BN. a) Ta có: b) Xác định x theo a để thể tích khối ￿ AF ￿ OB ￿ ￿ AF ￿ (OMB) ￿ AF ￿ MB, AF ￿ OM tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị ￿ nhỏ nhất đó. mà AE ￿ MB nên BM ￿ ( AEF ). Do AN ￿ ( AEF ) nên AN ￿ BM . b) Theo câu a) ta có ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ AN.BM = 0 ￿ (ON ￿ OA)(OM ￿ OB) = 0 ￿ ￿OM .ON + OA.OB.cos 600 = 0 0 2 OA.OB.cos 60 a ￿ ON = = . OM2x Do MN ￿ (OAB) nên 1 V = V + V = MN.S= ABMN MOAB NOAB 3 OAB 1 a 3 ￿ a ￿ a 3 ￿ a ￿ = 2 2 2 2 . ￿ x + ￿ = ￿ x + ￿. 3 4 ￿ 2x ￿ 12 ￿ 2x ￿ Theo bất đẳng thức Cauchy thì a2 a2 a3 6 x + ￿ 2 x. = 2a ￿ V ￿ . 2x2x ABMN 12 Vậy thể tích lớn nhất của khối tứ diện a36 a 2 a 2 ABMN là khi x = ￿ x = . 12 2x2 61
9. d) Tổ chức thực hiện: GV: HS làm việc cặp đôi, viết lời giải vào giấy nháp. Chuyển giao HS:Nhận GV: GV quan sát HS làm việc, nhắc nhở các em không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc về nội dung bài tập. Thực hiện HS: Mỗi cặp hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả bài làm. Báo cáo thảo Giáo viên gọi một học sinh lên bảng trình bày lời giải. Các hs luận khác quan sát lời giải, cho ý kiến góp ý. Đánh giá, GV góp ý, sửa sai, rút kinh nghiệm cho các em hs ( nếu cần). nhận xét, tổng Yêu cầu HS tự trình bày lời giải vào vở. hợp 62