Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong việc dạy tìm chữ số tận cùng với học sinh THCS

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong việc dạy tìm chữ số tận cùng với học sinh THCS

1. 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên có tính thực tiễn cao. Từ lâu, con người đã vận dụng kiến thức Toán học để tính toán, giải quyết các vấn đề trong tự nhiên và trong thực tiễn của cuộc sống. Có thể khẳng định rằng: Tất cả các môn khoa học khác đều liên quan mật thiết với Toán học. Vì vậy, việc giảng dạy Toán học phải hướng tới một mục đích lớn hơn, đó là thông qua việc dạy học Toán để phát triển trí tuệ, phát huy trí thông minh, sự sáng tạo đồng thời góp phần giáo dục phẩm chất, đạo đức, lối sống và rèn luyện kĩ năng sống cho học sinh. Tri thức khoa học của nhân loại vô cùng phong phú và luôn mới mẻ. Mục tiêu giáo dục thay đổi, yêu cầu chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học một cách phù hợp. Để giúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học, đã có nhiều giáo sư tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phương pháp dạy học. Để đáp ứng yêu cầu đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục đào tạo theo tinh thần Nghị quyết 29 của BCH Trung ương Đảng khóa XI, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học đối với tất cả các môn học phải theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn, chỉ đạo của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề để lĩnh hội tri thức, từ đó học sinh tích cực, chủ động sáng tạo, có ý thức vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào vào thực tiễn. Đối với môn toán trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán để củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn Toán. Từ đó, rút ra được nhiều phương pháp dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Nhưng trong quá trình học Toán nói chung, đặc biệt là phần Số học nói riêng, việc nắm bắt và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó khăn. Vì vậy, những giáo viên dạy Toán phải có nhiệm vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học sinh. Là một giáo viên dạy môn Toán học, sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh và học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong việc giảng dạy phần Số học còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, Đặc biệt là dạng toán “Tìm một số chữ số tận cùng”, đây là dạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS, trong khi đó dạng toán này chưa đề cập nhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng cao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức, 1
2. suy nghĩ của mình để giải quyết, vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật chữ số tận cùng của lũy thừa). Xuất phát từ thực tế đó, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm trong việc dạy tìm chữ số tận cùng” để giúp các em tháo gỡ khó khăn trên. 1.2. Những điểm mới của đề tài Nội dung “Tìm chữ số tận cùng” đã có nhiều người nghiên cứu, nhất là những giáo viên giảng dạy tại các trường THCS. Tuy vậy qua tìm hiểu và nắm bắt ở trong trường và các trường bạn, các thầy cô giáo chủ yếu tập trung vào việc nghiên cứu các dạng bài tập nhỏ về tìm 1 chữ số tận cùng. Điểm mới trong đề tài bản thân tôi thực hiện tập trung hệ thống hóa các dạng bài tập liên quan đến các dạng toán tìm 1, 2, 3 chữ số tận cùng của lũy thừa, vận dụng dạng toán đó để chuyển thành dạng toán mới cùng với các phương pháp cụ thể và các bài tập mở rộng, nâng cao cùng dạng cho học sinh khá giỏi. 1.3. Phạm vi áp dụng của đề tài Đề tài trên tôi đã thực hiện đối với dạy các tiết Toán trong chương trình chính khóa và day bồi dưỡng học sinh giỏi cho các em tại đội tuyển học sinh giỏi của trường nơi tôi trực đang công tác và có thể áp dụng để bồi dưỡng HSG toàn huyện. 2
3. 2. PHẦN NỘI DUNG 2.1. Thực trạng của vấn đề Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THCS, tôi nhận thấy nội dung lượng kiến thức của bộ môn Toán nhiều, nhiều dạng bài tập. Mỗi tiết dạy đại trà ở lớp, giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp nhận kiến thức về các dạng Toán cơ bản cho nhiều đối tượng. Như vậy không có đủ lượng thời gian để giáo viên mở rộng và nâng cao kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh. Biện pháp tốt nhất để rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh để học sinh có thể thường xuyên được luyện giải nhiều dạng bài tập khác nhau, cũng như tiếp xúc với các dạng bài tập có tính chất mở rộng và nâng cao, để từ đó học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt các cách giải từng dạng bài tập là hướng dẫn học ở nhà.Việc học sinh tự học ở nhà có một ý nghĩa lớn lao về mặt giáo dục và giáo dưỡng. Nếu việc học ở nhà của học sinh được tổ chức tốt sẽ giúp các em rèn luyện thói quen làm việc tự lực, giúp các em nắm vững tri thức, có kỹ năng, kỹ xảo. Ngược lại nếu việc học tập ở nhà của học sinh không được quan tâm tốt sẽ làm cho các em quen thói cẩu thả, thái độ lơ là đối với việc thực hiện nhiệm vụ của mình dẫn đến nhiều thói quen xấu làm cản trở đến việc học tập. Vì vậy chất lượng chưa được đáp ứng. Trước khi thực hiện đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra và khảo sát đối với 15 học sinh khá, giỏi ở các lớp 6 tại đơn vị bằng một số bài tập nâng cao. Kết quả thu được như sau: 0 - < 2 2 - < 5 5 - < 6,5 6,5 - < 8 8 – 10 SL % SL % SL % SL % SL % 01 6,7 06 40,0 05 33,3 02 13,3 01 6,7 * Nhận xét: Cơ bản học sinh nắm được nội dung của lý thuyết đơn thuần, song do các dạng bài tập phức tạp (nhiều yêu cầu, giả thiết có nhiều yếu tố), vì vậy, còn nhiều học sinh chưa nắm được nội dung của lý thuyết và các phương pháp giải toán, kĩ năng vận dụng kiến thức và phương pháp vào giải bài tập, kĩ năng trình bày bài còn hạn chế. Qua kết quả đại trà các năm trước và khảo sát số học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy do những nguyên nhân sau: * Về phía giáo viên: Việc đánh giá chất lượng học sinh có lúc còn nương nhẹ, giáo viên bồi dưỡng chưa đưa ra được phương pháp giải cụ thể cho mỗi dạng bài tập, chưa có kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng HSG. * Về phía học sinh: Do học sinh chưa ham học, chỉ làm những gì giáo viên giao, ý thức tìm tòi, ham hiểu biết chưa hình thành thói quen ở các em.Kiến thức học sinh còn chưa đồng đều. * Nguyên nhân khác: Do một số phụ huynh học sinh chưa nhận thức sâu sắc về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc học Toán, nhất là kiến thức nâng cao nên chưa thực sự quan tâm đến việc học tập của học sinh. 3
4. 2.2. Các giải pháp để tiến hành giải quyết vấn đề 2.2.1. Cung cấp kiến thức cơ bản: 2.2.1.1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số đều bằng a. an = a.a.a a (n thừa số a) 2.2.1.2. Chữ số tận cùng của số tự nhiên Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ thập phân: Với a, b, c, d N, 1 a 9, 0 b, c, d 9 ab 10a b có chữ số tận cùng là b abc 100a 10b c có chữ số tận cùng là c abcd 1000a 100b 10c d có chữ số tận cùng là d n n 2 anan 1 a2a1a0 an.10 an 1.10 a2.10 a1.10 a0 với an ,an 1, ,a2 ,a1,a0 N, 1 an 9,0 an 1,an 2 , ,a2 ,a1,ao 9, có chữ số tận cùng là a0 Dạng tổng quát của các số tự nhiên liên tiếp: a - 1, a, a + 1, a + 2, a N, a > 1 2.2.1.3. Tính chất chữ số tận cùng của một tích + Tích của các số lẽ là một số lẽ + Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn - Một số chính phương thì tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9. Không có số chính phương tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2.2.2 Trang bị các phương pháp tìm chữ số tận cùng hoặc một chữ số cuối cùng 2.2.2.1. Dạng 1: Tìm một chữ số tận cùng Phương pháp giải Xem số tự nhiên A = nk với n, k N * Cách 1: - Muốn tìm chữ số cuối cùng của A, ta chỉ cần biểu diễn A dưới dạng A = 10a + b = a bb là chữ số cuối cùng của A Ta viết: A = nk = (10q + r )k = 10t + rk. với r N và 0 r 9 Chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của rk. Nếu A = 100a + bc abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A n A = 10 .an an 1an 2 a1a0 anan 1 a2a1a0 thì an 1an 2 a1a0 là n chữ số cuối cùng của A. * Cách 2: Khi k lấy lần lượt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân của số A = nk , chữ số cuối cùng hoặc một số chữ số cuối cùng của A xuất hiện tuần hoàn.Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tượng này và A ở trường hợp nào với giá trị k đã cho. * Cách 3: Dùng phép chia có dư 4
5. Nhận xét: (*) Để tìm số tận cùng của một luỹ thừa, ta chú ý rằng: Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chó ý: 92 = 34 = 81; 24 = 16 b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. * Bài tập áp dụng Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 799 b) 141414 c) 4567 Hướng dẫn giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + + 9 + 1) chia hết cho 4 => 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7 Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7. b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6. c) Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N) => 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4 567 có chữ số tận cùng là 4. Tính chất sau được => từ tính chất 1. Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. * Bài tập áp dụng Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + + 20048009. Hướng dẫn giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, , 2004}). Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3. Tính chất 3: 5
6. a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. * Bài tập áp dụng Bài 3. Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011. Hướng dẫn giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. * Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. Bài 4. Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Hướng dẫn giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5. Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau: Bài 5. Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương: a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán: Bài 6. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: p 8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5. Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931 ; 8732; 5833 ; 2335 Hướng dẫn giải: 6
7. - Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 4 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6. Ta có: 74 30 = (744)7. 742 = 6. 6 = 6 tận cùng bằng 6 - Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 9 thì khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn thì được số có chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì được số có chữ số tận cùng là 9, Ta có: 4931 số mũ lẻ nên 4931 có chữ số tận cùng là 9. - Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 7 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 1. Ta có: 8732 = (874)8 = 1 - Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 8 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6. Ta có: 5833 = (584)8 . 58 = 6 . 58 = 8 - Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 3 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 1. Ta có: 2335 = (234)8 . 233 = 1 . 7 = 7 Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau: a, 132001 - 82001 b, 7552 - 218 c,12591 + 12692 d, 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166 Hướng dẫn giải: Ta có a, 132001 - 82001 = (134)500. 13 - (84)500. 8 = ( 1). 13 - ( 6) . 8 = 3 . 8 = 4 b, 7552 - 218 = 5 - 1 = 4 c,12591 + 12692 = 5 + 6 = 1 d, 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166 = 1 + 124. 122 + 134. 132 + (142)3 + 5 + 6 = 1 + 6 . 4 + 1 . 9 + 6 + 5 + 6 = 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 = 1 9 9 3 4 Bài 9. Tìm chữ số cuối cùng của số: a, A = 9 b, B = 2 Hướng dẫn giải: a, Xem xét số M = 9k , k N. Cách 1: - Nếu k chẵn: k = 2m. Ta có: M = m 92m 81m 80 1 (10q 1)m 10t 1 m, q, t N. Suy ra M tận cùng là 1 nếu k chẵn. - Nếu k lẻ: k = 2m + 1.Ta có: M = 92m 1 92m.9 (10t 1).9 10 p 9 với m, p, t N. Suy ra M tận cùng là 9 nếu k lẻ. 9 9 Ta có: 99 là 1 số lẻ. Do đó 9 có chữ số tận cùng là 9. Cách 2: ta xét quy luật tuần hoàn của 9k. b, Ta có: 3 4 2 = 16 3 281 25 .2 3216.2 30 2 16 .2 10q 217 10q 25 .22 10q 10 p 2 3 .22 10t 25 10h 2 . Vậy B tận cùng là 2. k Cách 2: ta xét quy luật tuần hoàn của 2 . 7
8. Bài 10: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a, (2345)42 b, (5796)35 Hướng dẫn giải: Ta có a, (2345)42 = 2345 . 42 = 234210 = (2342)105 = ( 6)105 = 6 b, (5796)35 = 5796.35 = 579210 = (5792)105 = ( 1)105 = 1 Bài 11. Cho S = 1 + 3 +32 +33 + + 330 . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính phương. Hướng dẫn giải: S = 1 + 3 +32 +33 + + 330 = (1 + 3 + 9 + 27 ) + ( 1 + 3 + 9 + 7 ) + +( 1 + 3 + 9 + 7 ) +( 1 + 3 + 9 ) = 0 + 0 + 0 + + 0 + 3 = .0.8 + 3 = 0 + 3 = 3 Vậy chữ số tận cùng của S là 3 Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3 nên S không phải là số chính phương 2.2.2.2. Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng: Phương pháp giải Nhận xét: Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am  2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1  25. Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq  4 ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq. Vì an - 1  25 => apn - 1  25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1)  100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1  100. Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v aun - 1  100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av. 8
9. Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av. (*) Để tìm số hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa, ta chú ý rằng : - Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01, 25, 76. - Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có hai chữ số tận cùng bằng 01 - Các số 220, 65, 184, 242 ,684 ,742 có hai chữ số tận cùng bằng 76 - Số 26n (n > 1) có hai chữ số tận cùng bằng 76. * Bài tập áp dụng Bài 12: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) a2003 b) 799 Hướng dẫn giải: a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1  25. Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025  25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1)  25 => 23(220 - 1)  100. Mặt khác: 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1  100. Ta có 74 = 2401 => 74 - 1  100. Mặt khác: 99 - 1  4 => 99 = 4k + 1 (k Є N) Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07. Bài 13: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25. Hướng dẫn giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3 517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1  100. Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1  50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1)  100. Mặt khác: 516 - 1  4 => 5(516 - 1)  20 => 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng. Các bài toán trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4. Một câu hỏi đặt ra là: Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây. Tính chất 4: Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1  25. 9
10. Bài 14: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng: 2002 2002 2002 2002 a) S1 = 1 + 2 + 3 + + 2004 2003 2003 2003 2003 b) S2 = 1 + 2 + 3 + + 2004 Hướng dẫn giải: a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a 100 - 1  25. Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1)  100. 2002 2 2000 2 2000 2 2 Do đó S 1 = 1 + 2 (2 - 1) + + 2004 (2004 - 1) + 2 + 3 + + 20042. Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S 1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 + 22 + 32 + + 20042. áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. 2003 3 2000 b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 1 + 2 (2 - 1) + + 3 2000 3 3 3 2004 (2004 - 1) + 2 + 3 + 2004 . Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + + 20043. áp dụng công thức: => 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng. Ta có tính chất sau đây. Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu: + A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ; + A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ; + A có hai chữ số tận cùng là lẻ. Bài 15: Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7 n + 2 không thể là số chính phương. Hướng dẫn giải: Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 74 - 1 = 2400  100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7 r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4. Bài 16: Tìm số hai chữ số tận cùng của 71991 10
11. Hướng dẫn giải: 7 4 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01. Suy ra 71991 = 71988 .73 = 497 74 .343 01 497 .343 01 .343 43 Bài 17: Tìm số hai chữ số tận cùng của 2100 Hướng dẫn giải: 2 10= 1024. Bình phương của số tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76. Mà các số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng76. 10 5 2100 210 1024 10 10242 76 5 76 Bài 18: Tìm hai chữ số tận cùng của 2999. Hướng dẫn giải: Ta có: 210 + 1 = 1024 +1 = 1025  25 220 - 1  25. Ta lại có: 21000 - 1 = (220)50 -1  220 - 1 21000 - 1  25. Do đó 21000 - 1 tận cùng bằng 26 hoặc 51 hoặc 76. Nhưng 21000  4 nên 21000 tận cùng bằng 76 2999 tận cùng bằng 38 hoặc 88 Vì 2999  4 nên 2999 tận cùng bằng 88 Bài 19: Tìm hai chữ số tận cùng của 5n (n>1) Hướng dẫn giải: 52 = 25. Các số có tận cùng bằng 25 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 25 Nếu n chẵn thì 5n = 52k = 25k tận cùng bằng 25. Nếu n lẻ thì 5n = 52k + 1 = 25k . 5 = 25. 5 = 25 Bài 20: Tìm hai chữ số tận cùng của a, 5151 b, (9999)99 c, 6666 d, 14101 .16101 Hướng dẫn giải: a, 5151 = (512)25. 51 = ( 01)25. 51 = 01 . 51 = 51 b, (9999)99 = 9999.99 = 999801 = (992)4900 . 99 = 01 . 99 = 99 c, 6666 = (65)133 . 6 = 76 . 6 = 456 = 56 d, 14101 .16101 = (14 . 16)101 = 224101 = (2242)50 . 224 = 76. 224 = 24 2.2.2.3. Dạng 3: Tìm ba, bốn chữ số tận cùng: Phương pháp giải Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x). Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho 125. Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a q chia hết cho 8 ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq. 11
12. Vì an - 1 chia hết cho 125 => apn - 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a q. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho 1000. Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v aun - 1 chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a v. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của av. Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. Tính chất 6: Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125. Chứng minh: Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 => a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a 100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125. (*) Để tìm số ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa: - Các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 001, 376, 625 - Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625 - Các số có tận cùng bằng 4 nâng lên luỹ thừa chẵn thì được số có tận cùng bằng 6. - Các số có tận cùng bằng 9 nâng lên luỹ thừa chẵn thì được số có tận cùng bằng 1. - Các số có tận cùng bằng 9 nâng lên luỹ thừa lẻ thì được số có tận cùng bằng 9. Bài 21: Tìm ba chữ số tận cùng của 123101. Hướng dẫn giải: Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123 100 - 1 chia hết cho 125 (1). Mặt khác: 123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 123100 - 1 chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N). Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123. Bài 22: Tìm ba chữ số tận cùng của 3399 98. Hướng dẫn giải: Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi hết cho 125 (1). Tương tự bài 21, ta có 9100 - 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 9 100 - 1 chia hết cho 1000 => 3 399 98 = 9199 9 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N). Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999. 12
13. Lại vì 9100 - 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9 100 là 001 mà 999 = 9100: 9 => ba chữ số tận cùng của 9 99 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9 99 là 9, sau đó dựa vào phép nhân để xác định ). Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 là 889. Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước: Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng. Bài 23: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200. Hướng dẫn giải: do (2004, 5) = 1 (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư 1 => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1 => 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004200 chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376. - Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên. Bài 24: Tìm số 4 chữ số tận cùng của 51992 498 Hướng dẫn giải: 51992 = 54 0625 498 0625 2.2.2.4. Dạng 4: Một số dạng bài tập chứng minh chia hết liên quan đến tìm chữ số tận cùng Bài 25: CMR: 8102 - 2102  10 25 Hướng dẫn giải: 8102 = 84 .82 6 25 .64 6 .64 4 25 2102 = 24 .22 1625.4 6 .4 4 8102 - 2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10. Bài 26: Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8 Hướng dẫn giải: Ta thấy: 26 5 = 11881376, số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 376. Do đó: 261570 = (265)314 = ( 376)314 = ( 376). Mà 376 chia hết cho 8 Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8. Vậy 261570  8 Bài 27: Chứng tỏ rằng 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: Ta xét các chữ số tận cùng của 175 ; 244 ; 1321 - Ta xét chữ số tận cùng của 175 Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 7 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 1 hay 17 4 = 1. Suy ra 175 = 174 . 17 = 1 . 17 = 7 tận cùng bằng 7 - Ta xét chữ số tận cùng của 244 Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 4 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6 hay 244 = 6 tận cùng bằng 6 - Ta xét chữ số tận cùng của 1321 13
14. Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 3 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 1 hay 134 = 1. mà 21 = 4 . 5 + 1 nên 1321 = (134)5 . 13 = 1 . 13 = 3. Suy ra 1321 tận cùng bằng 3. - Suy ra: 175 + 244 - 1321 = 7 + 6 - 3 = 0 chia hết cho 10 Bài 28: Cho A =51n+ 47102 (n N). Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: Ta có 51n = 1. 47102 = (474)25. 472 = 1 . 9 = 9 A =51n+ 47102 = 1 + 9 = 0 chia hết cho 10 Bài 29: Chứng tỏ rằng vói mọi số tự nhiên n: a, 74n-1 chia hết cho 5 b, 34n+1 +2 chia hết cho 5 c, 24n+1+3 chia hết cho 5 d, 24n+2+1 chia hết cho 5 e, 92n+1+1 chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: a, 74n -1 chia hết cho 5 74n -1 = 1 - 1 = 0chia hết cho 5 b, 34n+1 +2 chia hết cho 5 34n+1 +2 = 34n. 3 +2 = 1 . 3 + 2 = 3 + 2 = 5 chia hết cho 5 c, 24n+1 +3 chia hết cho 5 24n+1 +3 = 24n. 2 + 3 = 6 . 2 + 3 = 2 + 3 = 5 chia hết cho 5 d, 24n+2+1 chia hết cho 5 24n+2+1 = 24n. 22 +1 = 6 . 4 + 1 = 4 + 1 = 5 chia hết cho 5 e, 92n+1+1 chia hết cho 10 92n+1+1 = 92n . 9 + 1 = 1 . 9 + 1 = 9 + 1 = 0 chia hết cho 10 99 19781970 6870 99 99 Bài 30: CMR: a, 7 3 10 b, 7 7 100 Hướng dẫn giải: Ta có a, 71978 = (74)494 . 72 = 1 . 49 = 9 Số mũ 1970 là số mũ chẵn nên ( 9)1970 = 1 368 = (34)17 = ( 1)17 = 1. Khi đó ( 1)70 = 1 19781970 6870 7 3 = 1 - 1 = 0 chia hết cho 10 1 2006 94 .(72004 392 ) Bài 31: Chứng minh rằng A = 10 là một số tự nhiên. Hướng dẫn giải: 2006 Ta có 7 2004 = 74n có chử số tận cùng là 1 94 392 = 34m có chử số tận cùng bằng 1 2006 94 2006 94 => 7 2004 - 392 có chử số tận cùng là 0 => 7 2004 - 392 10 1 2006 94 .(72004 392 ) Vậy A = 10 là một số tự nhiên. 14
15. Bài 32: Tìm số dư của các phép chia: a) 21 + 35 + 49 + + 20038005 cho 5 Hướng dẫn giải: Các số mủ của các số hạng có dạng 4n + 1 Mọi số tự nhiên n khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 thì chử số tận cùng vẫn không thay đổi Nên chử số tận cùng của các số hạng của dãy 2 1 + 35 + 49 + + 20038005 không thay đổi Số số hạng có chử số tận cùng là 2 hoặc 3 là ( 2002 – 2): 10 + 1 = 20 1số Số số hạng có chử số tận cùng là 4 ( 1994 – 4): 10 + 1 = 200 số Số số hạng có chử số tận cùng là 5 ( 1995 – 5): 10 + 1 = 200 số Số số hạng có chử số tận cùng là 6 ( 1996 – 6): 10 + 1 = 200 số Số số hạng có chử số tận cùng là 7 ( 1997 – 7): 10 + 1 = 200 số Số số hạng có chử số tận cùng là 8 ( 1998 – 8): 10 + 1 = 200 số Số số hạng có chử số tận cùng là 9 ( 1999 – 9): 10 + 1 = 200 số Số số hạng có chử số tận cùng là 1 ( 2001 – 11): 10 + 1 = 200 số Vậy chử số tận cùng của dãy trên là 201(3+ 2) + 200(1 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 9005 Suy ra số dư của các phép chia: 21 + 35 + 49 + + 20038005 cho 5 là 0 b, 23 + 37 + 411 + + 20038007 cho 5 Hướng dẫn giải: Các số mủ của các số hạng có dạng 4n + 3 Mọi số tự nhiên có tận cùng là 0; 1; 4; 6 ; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 thì chử số tận cùng vẫn không thay đổi Các số có chử số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 thì có chử số tận cùng là 8 Các số có chử số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 thì có chử số tận cùng là 7 Các số có chử số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 thì có chử số tận cùng là 3 Các số có chử số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 thì có chử số tận cùng là 2 Số số hạng có chử số tận cùng là 2 hoặc 3 là ( 2002 – 2): 10 + 1 = 201 số Số số hạng có chử số tận cùng là 1;4;5;6;7;8;9 ( 2001 – 11): 10 + 1 = 200 số Vậy chử số tận cùng của dãy trên là 201(8+ 7) + 200(1 + 4 + 6 + 9) + 200.5 + 200(2+3) = 9015 Suy ra số dư của các phép chia: 23 + 37 + 411 + + 20038007 cho 5 là 0 15
16. 2.3. Kết quả đạt được Sau khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Tìm một số chữ số tận cùng trên 15 học sinh khối 6. Kết quả đạt được như sau: 0 - < 2 2 - < 5 5 - < 6,5 6,5 - < 8 8 - 10 S % S % S % S % S % L L L L L / / 0 2 0 3 0 3 0 1 3 0,0 5 3,3 5 3,3 2 3,3 *Nhận xét: - Sau khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh yếu, kém giảm, số lượng học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng lên. - Đa số học sinh nắm được các dạng toán và trình bày được lời giải bài toán logic, nhiều em vận dụng vào làm bài tập khá tốt. - Khả năng suy luận tìm được quy luật, áp dụng được tính chất của chữ số tận cùng đã được nâng lên. Hầu hết các em chứng minh và giải được những bài toán từ vận dụng thấp trở lên, nhiều em còn đưa ra được những bài toán tổng quát, những bài toán ở mức độ vận dụng cao 2.4. Bài học kinh nghiệm: Từ kết quả nghiên cứu trên tôi đã rút ra những bài học kinh nghiệm sau: - Việc phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh làm tốt các dạng bài tập đã giúp cho giáo viên nắm vững mục tiêu, chương trình từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán. - Giúp giáo viên không ngừng tìm tòi, sáng tạo những phương pháp phân loại và giải bài tập phù hợp đối với đối tượng học sinh, từ đó nhằm nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ của người giáo viên. 3. PHẦN KẾT LUẬN 3.1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài Từ bước đầu nghiên cứu đề tài “Tìm một số chữ số tận cùng” tôi thấy vấn đề này rất cần thiết không những đối với học sinh mà cả đối với giáo viên, nhất là giáo viên đang BDHSG. Đề tài “Tìm một số chữ số tận cùng” tôi đãthực hiện trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng HSG nhiều năm trở lại đây tại đơn vị hiện công tác và đã đem lại những kết quả khá tốt: Hầu hết học sinh, (chủ yếu là học sinh khá, giỏi) khi được trang bị đề tài “Tìm một số chữ số tận cùng” đều trở nên tự tin khi gặp những bài toán tìm chữ số tận cùng, có em đã đưa ra được nhiều phương pháp giải hay, khai thác, mở rộng được nhiều bài toán. Bước đầu phát hiện học sinh có năng lực, từ đó giáo viên có phương pháp dạy, bồi dưỡng nhằm phát huy trí tuệ, tính say mê sáng tạo của các em.Trước khi được áp dụng đề tài này nhiều em không làm được cũng 16
17. như không biết hướng giải bài toán tìm chữ số tận cùng. Nhưng khi áp dụng đề tài nhiều em làm tốt những bài toán tìm chữ số tận cùng. Qua thực tế triển khai thực hiện đề tài này vào trong giảng dạy với những kết quả đạt được ở trên, có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm này đã có tính khả thi cao, hy vọng các giáo viên dạy Toán và các em học môn Toán trong cụm và trong huyện Lệ Thủy sẽ vận dụng tốt và phát huy hơn nữa năng lực học tập bộ môn để đạt được những kết quả cao hơn. Đề tài trên chỉ mới áp dụng ở địa bàn hẹp, chưa có sức lan toả tới những vùng miền khác. Vì vậy đề tài còn tiếp tục được nghiên cứu, còn nhiều biện pháp khác chưa có điều kiện đề cập tới, đó là hướng nghiên cứu tiếp tục của đề tài trong tương lai. 3.2. Những kiến nghị, đề xuất. Hiện nay hầu hết các giáo viên ở trường tôi nói riêng và trên địa bàn Huyện nói chung đã tích cực trong việc đổi mới phương pháp vào giảng dạy các môn học để nâng cao hơn nữa hiệu quả giáo dục. Tuy nhiên, việc vận dụng quan niệm dạy học này cũng gặp phải những khó khăn nhất định. Vì vậy tôi xin có một vài đề xuất nhỏ như sau: * Đối với nhà trường: Cần đầu tư thêm trang thiết bị dạy học đặc biệt cho môn Toán, các tài liệu phong phú để học sinh tìm thêm tư liệu, sách tham khảo phục vụ cho việc nghiên cứu. Cần có phòng học bộ môn dành riêng cho môn Toán, trong đó có các mô hình Toán học, để giáo viên có thể ứng dụng công nghệ thông tin một cách thành thạo. * Đối với ngành giáo dục Thường xuyên tổ chức các cuộc thi nhằm nâng cao kĩ năng, phương pháp cho giáo viên và học sinh. Bản thân với trăn trở của một người giáo viên trẻ trực tiếp giảng dạy môn Toán học, tôi xin mạnh dạn đưa ra những suy nghĩ của mình, mong góp một phần nhỏ vào thực hiện đề tài “Tìm một số chữ số tận cùng” để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS hiện nay. Trong quá trình tích lũy kinh nghiệm và viết đề tài không tránh khỏi những khiếm khuyết, hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của bạn bè, đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn đánh giá, bổ sung để đề tài của tôi thêm hoàn thiện, khả thi và có giá trị hơn nữa trong thực tiễn. Xin trân trọng cảm ơn ! 17