Chuyên đề Hướng dẫn học sinh tính diện tích đa giác

Nội dung tóm tắt: Chuyên đề Hướng dẫn học sinh tính diện tích đa giác

1. A. ĐẶT VẤN ĐỀ Như chúng ta đã biết toán học là một môn khoa học nói chung, nhưng có vai trò rất quan trọng trong nhà trường. Đòi hỏi học sinh phải tích cực học tập, tự mình tìm ra kiến thức mới trên cơ sở hướng dẫn của giáo viên . Học sinh phải phát huy tốt tính tích cực của mình không chỉ trong học lý thuyết mà còn trong việc giải các bài tập và áp dụng vào thực tiễn. Là người được trực tiếp dạy học Toán 8, tôi có điều kiện nghiên cứu và thấy rằng: Bài toán về tính diện tích các đa giác là một mảng kiến thức rất rộng và là một phần rất quan trọng trong chương trình Toán THCS. Các bài toán này có tính ứng dụng thực tế cao, phù hợp với mục đích của việc dạy học toán hiện nay đó là học toán gắn liền với việc giải quyết những vấn đề thực tế. Qua thời gian dạy học đại trà nhận thấy một điều như sau: Mặc dù đã được làm quen ở Tiểu học và lên lớp 8 các em được hướng dẫn kĩ và cặn kẽ hơn về diên tích đa giác, nhưng khi gặp những bài toán cụ thể các em vẫn còn gặp nhiều khó khăn trong viêc tìm hướng giải quyết. Khi giải các bài toán nhiều khi học sinh chưa có kĩ năng hoặc không xác định được phương pháp giải. Xuất phát từ thực trạng trên nên tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu, tìm tòi, tích luỹ kiến thức để tìm phương pháp hiệu quả nhất để hướng dẫn học sinh giải quyết những bài toán diện tích được một số bài toán liên quan đến diện tích để hướng dẫn học sinh một số cách tính diện tích đa giác. Chuyên đề này chủ yếu hướng dẫn học sinh tính diện tích đa giác bằng cách cắt ghép hình hay tìm cách chia đa giác đã cho thành các phần là các tam giác hoặc các đa giác đặc biệt từ đó sẽ dễ dàng giải quyết bài toán. B. NỘI DUNG I. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác: 1. Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó 2. Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau 3. Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một đơn vị vuông 4. Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao. 5. Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh đó. 2 6. Tam giác đều cạnh a có diện tích 3a . 4
2. Những điểm cần chú ý khi sử dụng phương pháp diện tích để giải toán: Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính được diện tích hình đó bằng những công thức mà ta đã biết. Ngược lại các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng. Sử dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng. Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó bằng phương pháp diện tích, ta chú ý các điểm sau : - Xác định quan hệ diện tích giữa các hình. - Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài. - Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh. Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích ta cần nắm vững : + Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích của các hình. + Sử dụng tính chất : - Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. - Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy. - Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1 : 3 - Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. - Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích bằng nhau - Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành. - Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích của chúng bằng bình phương tỉ số đồng dạng II. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA CÁC ĐA GIÁC ĐẶC BIỆT: 1. Công thức tính diện tích hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó S = a.b b 2. Công thức tính diện tích hình vuông: a Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó. S = a2 a a
3. 3. Công thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác: Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với đường cao ứng với cạnh đó S = 1 a.h h 2 a b) Diện tích tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông 1 1 b S = a.b = c.h a 2 2 h c 4. Công thức tính diện tích hình thang: Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao a S = 1 (a+b).h 2 h b 5. Công thức tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với đường cao ứng với cạnh đó S = a.h h a 6. Công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó. 1 S = d1.d2 d2 2 d1
4. 7. Công thức tính diện tích của hình thoi Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo. 1 d2 S = d1.d2 d 2 1 NỘI DUNG BÀI DẠY TÍNH DIỆN TÍCH BẰNG CÁCH GHÉP HÌNH Bài 1: a) Hãy tính diện tích H1. b) Tính diện tích H2 dựa theo diện tích H1 a a H1 H2 Bài 2: a) Hãy tính diện tích H3. b) Tính diện tích H4 dựa theo diện tích H3 h a H3 H4
5. Bài 3: Quan sát cách ghép hình và trả lời các câu sau: - Tính diện tích hình chữ nhật theo h và a - Tính diện tích hình chữ nhật theo S1,,S2. - Tính diện tích hình tam giác H5 theo S1,,S2. - Suy ra diện tích hình tam giác H5 theo h và a h a H5 Bài 4: Dùng 2 đường cắt để ghép các mảnh của hình tam giác thành 1 hình chữ nhật nào đó h a h a
6. Bài 6: Bằng cách ghép thành các hình:hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác. Hãy tính diện tích các hình dưới đây biết mỗi cạnh của ô vuông là 1 m H1 H2 H3 H4 AI TINH MẮT HƠN Cho kích thước như hình vẽ sau, tính diện tích phần tô đậm
7. ỨNG DỤNG THỰC TẾ Một mảnh đất hình vuông có diện tích là 900m2. Người chủ đất muốn làm con đường hình bình hành như hình vẽ, sao cho diện tích con đường bằng 1/6 diện tích mảnh đất. Tìm vị trí cắm cọc N trên cạnh AB của mảnh đất để làm đường. TRÒ CHƠI GHÉP HÌNH Bài 1: Dùng các mảnh ghép có sẵn ghép thành hình theo mẫu cho trước. Bài 2: Cho hình vẽ bên, hãy cắt thành 5 mảnh để ghép lại thành 1 hình vuông
8. III. BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1. Người ta làm một lối đi theo chiều dài và chiều rộng của một sân bóng rổ hình chữ nhật như hình sau. Em hãy tính chiều rộng x của lối đi. Biết rằng lối đi có diện tích bằng 129 m2, sân bóng rổ có chiều dài 26 m, chiều rộng 14 m. 26m x 14m Bài 2. Một con đường hình bình hành dự định sẽ cắt ngang một thửa ruộng hình chữ nhật với các dữ liệu được cho trên hình sau. Hãy tính diện tích phần đất canh tác còn lại của thửa ruộng . 130m A M B 110m D N E C 40m D Bài 3. Ông Tư dành một miếng đất hình thang vuông 4 (xem hình 1) để trồng rau và trồng hoa. Phần diện tích A m được tô đậm có dạng hình chữ nhật để trồng rau, phần E còn lại để trồng hoa. Tính diện tích trồng hoa biết diện 6 2 m tích đất trồng rau là 60m . B C Hình 1 Bài 4. Nhà bạn Nghi chuẩn bị lát gạch tầng trệt ngôi nhà (gồm phòng khách và phòng ăn). Phòng khách là hình chữ nhật có kích thước là 5m và 6m, phòng ăn cũng là hình chữ nhật có kích thước là 4,5m và 4m. Tiền gạch lát phòng khách là 300 000 đồng/m2; tiền gạch lát phòng ăn là 200 000 đồng/m 2 và tiền công lát (tính cả vật liệu) là 60 000 đồng/m 2. Hỏi nhà bạn Nghi phải tốn tổng cộng bao nhiêu tiền để lát gạch hết tầng trệt ngôi nhà? Bài 5. Một miếng đất hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật đó có chiều dài bằng 48 m, chiều rộng bằng 8 m. Hỏi cạnh miếng đất hình vuông đó có độ dài bằng bao nhiêu ? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
9. Bài 6. Mỗi hình vuông lớn trong hình vẽ bên có diện tích bằng 1. Tính hiệu diện tích 2 phần tô đậm trong hai hình vuông lớn. Bài 7. Một hình chữ nhật được chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ đánh số 1, 2, 3, 4 như hình vẽ bên. Biết diện tích hình 4 bằng một nửa diện tích hình 1. diện tích hình 2 bằng I diện tích hình 1. Tính tỉ số của diện tích hình 3 với diện tích hình chữ nhật ban đầu. Bài 8. Mỗi cạnh của một hình chữ nhật được chia thành 2,3, hoặc 4 đoạn bằng nhau như hình vẽ. Tính tỷ số của diện tích tứ giác tạo bởi các đường nét liền với diện tích tứ giác tạo bởi các đường nét đứt. D E C Bài 9. Gọi E là trung điểm cạnh CD của hình vuông ABCD. Biết diện tích hình vuông bằng 144 cm2. Tính diện tích phần tô đậm. Bài 10. Một mảnh giấy hình chữ nhật được chia thành bốn hình chữ nhật con như hình vẽ. Biết rằng diện tích của ba hình chữ nhật trong số đó là 6, 10, 15 và hình chữ nhật thứ tư có diện tích lớn hơn diện tích của mỗi hình trong ba hình đó. Tính diện tích mảnh giấy Bài 11. Cho đường gấp khúc ABCDEF như hình vẽ dưới đây. Biết AB = a và AB 2 2 = DE = EF = 3 BC = 3 CD. Gọi M là điểm chính giữa của đường gấp khúc nói trên. Tính diện tích ∆AMF theo a.
10. Bài 12. Cho hình thang có độ dài hai đường chéo là 3cm và 5cm. Độ dài đoạn nối trung điểm hai đáy là 2cm. Tính diện tích hình thang. Bài 13. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm và hai đường chéo là AC = 16cm, BD = 12cm. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 14. Cho hình thang ABCD (BC là đáy nhỏ). Gọi I là trung điểm của CD. Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB. Kẻ AH và BE vuông góc với d. Chứng minh SABCD = SABEH . Bài 15. Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AC = 8cm, B· DC = 45°. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 16. Cho tam giác ABC. Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E, F (B nằm giữa A và D ; C năm giữa B và E ; A nằm giữa C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC. Gọi s là diện tích của ABC. Tính diện tích DEF theo s. F A B C E D Cách 1 : Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích Xét ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) => SABC = SACE = s => SABE = SABC + SACE = 2s AED có EB là trung tuyến (AB = BD) => SABE = SBED = 2s => SAED = SABE + SBED = 4s BCF có BA là trung tuyến (AC = AF) => SABC = SBAF = s CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) => SACE = SAEF = s => SCEF = SACE + SAEF = 2s AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) => SDBF = SBAF = s => SAFD = SDBF + SBAF = 2s SDEF = SAED + SAFE + SAFD = 4s + s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s
11. Cách 2 : Kẻ BI  AC và EH  CF Chứng minh vuông BIC = vuông EHC (Cạnh huyền và góc nhọn) => BI = EH Ta có AC = AF và AC + AF = CF => CF = 2AC => SCEF = 2SABC = 2s (hai tam giác có cung đường cao nhưng cạnh đáy CF của CEF gấp hai lần cạnh đáy AC của ABC) Tương tự ta cũng chứng minh được SADF = 2SABC = 2s Và SBDE = 2SABC = 2s Mà SDEF = SABC + SBED + SCFE + SAFD = s + 2s + 2s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s Bài 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD và CD. Nối BN và CM cắt nhau tại E. Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp 5 lần diện tích tam giác BEC . GT Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA = a Và AM = MD , NC = ND KL SABCD = 5SBEC Giải H B P C Q E N A M D Cách 1 : 1 2 *Để chứng minh SABCD = 5S BEC . Ta chuyển về tính S BEC = a . 5 Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a. + Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của 1 tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE. 2 + BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (slt) => BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM  BN tại E
12. BQP = CEN (gcg) => PQ = NE (2) Từ (1) và (2) => 2NE = BQ và BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE = 2EN 1 Ta có : BN = BQ + QE + EN = 5NE => NE = BN 5 2 CE 2 => CE = BN hay = 5 BN 5 CE EH 2 2 2 ECH ~ BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a BN BC 5 5 5 1 1 2 1 2 2 S BEC = BC.EH = a. a = a . Mà SABCD = a 2 2 5 5 1 Vậy S BEC = SABCD hay SABCD = 5S BEC 5 Cách 2 : Chứng minh BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (slt) => BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM  BN tại E 2 1 2 a SCEN CN 1 Chứng mính CEN ~ BEC => = = 2 BC a 4 SBEC 1 => SCEN = SBEC 4 1 1 2 Kẻ đường chéo BD của hình vuông ABCD => SBCD = S HV/ABCD = a 2 2 1 1 1 2 1 2 BCD có BN là đường trung tuyến => SBCN = SBCD = . a = a 2 2 2 4 1 5 1 2 5 Mà SBCN = SBEC + SCEN = SBEC + SBEC = SBEC hay a = SBEC 4 4 4 4 2 2 => 5SBEC = a , mà a = SABCD . Do đó SABCD = 5SBEC. Cách 3 : + Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của 1 tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE. 2 + BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (slt) => BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM  BN tại E
13. BQP = CEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE Ta có BE = BQ + QE = CE + CE = 2CE Trong vuông BEC có BC2 = BE2 + CE2 = (2CE)2 + CE2 = 5CE2 BC 2 a 2 a a => CE = = = => BE = 2CE = 2. 5 5 5 5 1 1 a a 1 2 BEC vuông tại E: SBEC = CE .BE = .2. = a . 2 2 5 5 5 2 Mà SABCD = a , nên SABCD = 5SBEC. Bài 18. Cho ∆ABC trên một nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm D sao cho diện tích ∆ABC bằng diện tích∆ABD. Gọi E là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng E là trung điểm của CD. D SABC SADB ABC và ABD có chiều cao ứng với cạnh AB bằng nhau. E SBCE SDBE DE = EC (Do có cùng A chiều cao ứng với cạnh DC). Mà D, E, C thẳng hàng E là trung C điểm của CD. B Bài 19.(HSG TPHCM 2017) Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có diện tích 4 cm2. Các điểm A, B, C, D là đỉnh của các hình vuông. Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chai 9 hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn CE. Bài 20. Trong hình bên, I, J là các trung điểm của các cạnh hình vuông với diện tích 144 cm2 và 400 cm2.Tính diện tích của ∆ABC. Bài 21. Cho ABCD là một hình bình hành có diện tích 174 cm2. Điểm E nằm trong hình bình hành sao cho ∆ECD có diện tích 28 cm2.Tính diện tích của ∆ABE.
14. Bài 22. Cho ABCD là một hình vuông. E, F,G, H lần lượt là các điểm chính giữa của các cạnh AB, AD, BC và CD. Biết rằng diện tích hình vuông ABCD bằng 120 cm2, tính diện tích phần tô đậm. Bài 23. Trong tam giác ABC, lấy các điểm D,E trên cạnh BC sao cho BD = DE = EC và điểm F trên AC sao cho AF = FC. Biết rằng diện tích của tam giác ABC là 480 cm2, tính diện tích của ∆BGD; ∆AGJ. Bài 24. Cho hình vuông ABCD. Hai điểm E, F lần lượt thuộc cạnh CD và DA sao cho diện tích các tam giác BCE, EDF và ABF lần lượt là 21 cm2, 44 cm2 và 42 cm2. Tính diện tích tam giác BEF. Bài 25. Cho ∆ABC có diện tích 24cm2. Gọi D là trung điểm của AB, E nằm trên cạnh AC thỏa AE = 2EC, BE cắt CD tại F. Tính diện tích tứ giác ADFE Bài 26. Cho hình thang ABCD (BC là đáy nhỏ). Gọi I là trung điểm của CD. Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB. Kẻ AH và BE vuông góc với d. Chứng minh SABCD = SABEH . Bài 27. Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AC = 8cm, BDµC = 45°.Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 28. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm và hai đường chéo là AC = 16cm, BD = 12cm. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 29. Cho tam giác ABC có diện tích là S, các đường trung tuyến AD, BE và CF. Gọi S’ là diện tích tam giác có độ dài các cạnh bằng AD, BE và CF.
15. A F E G H 3 C Chứng minh rằng S’ = S. B D 4 HD: Gọi G là trọng tâm của ABC, H là trung điểm của GC. Chọn SGDH làm trung gian . Tính được S’ = 9SGDH và S = 12SGDH. Bài 30. Hình thang ABCD có các đáy AB = b, CD = a (a > b). Đoạn thẳng MN song song với hai đáy, hai đầu của đoạn thẳng thuộc hai cạnh bên và chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng a2 + b2 MN2 = . 2 HD: Gọi O là giao điểm của AD và BC. Đặt S = SABNM = SMNCD và MN = x Vận dụng sự đồng dạng của các cặp tam giác OAB và OMN, ODC và OMN O A b B x N M C D a Bài 31 . Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và đường phân giác BE. Đường vuông góc với BE tại E cắt cạnh BC ở G, cắt tia đối của tia AB ở D. Kẻ EF vuông góc với BC. Tính diện tích tam giác ABC, biết AD = 15 cm, HF = 20 cm. HD: Kẻ EN // BC, cắt AH tại M, cắt AB tại N. ABC ~ ANE +Tính diện tích ANE +Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác ABC và ANE. Từ đó suy ra điều cần tìm.
16. D 15 A N M E B H 20 F G C Bài 32 . Cho tam giác có độ dài các cạnh là BC = a, AC = b, AB = c và a - b = b - c . G là giao điểm các đường trung tuyến. I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác đã cho. Chứng minh GI // AC. B F J I G C M A H E K Giải HD: Kẻ BH và GK vuông góc với AC Ta có : a - b = b - c => a + c = 2b I là giao điểm của ba đường phân giác trong, nên I là tâm đường tròn nội tiếp của ABC => IE = IF = IJ (IE, IF và IJ là khoảng cách từ tâm I đến các cạnh của tam giác hay IE = IF = IJ là các bán kính) GK GM 1 Ta có BH // GK (vì cùng vuông góc với AC) => = = (1) BH BM 3 1 1 SABC = BH.AC = BH.b (2) 2 2 1 1 1 SABC = IE(AB + BC + CA) = (a + b + c).IE = .3b.IE (vì a + c = 2b) (3) 2 2 2 1 1 IE 1 Từ (2) và (3) => BH.b = .3b.IE BH = 3IE = (4) 2 2 BH 3 Từ (1) và (4) => GK = IE. Tứ giác GKEI có GK = IE và GK // IE (vì cùng vuông góc với AC) nên là hình bình hành và có GK  EK nên là hình chữ nhật => IG // EK hay IG // AC .
17. Bài 33. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân ghiác AD. Vẽ DH vuông góc 1 1 1 với AB. Đặt DH = d, AB = c, AC = b. Chứng minh: = + . d b c + Sử dụng tính chất diện tích: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác nhỏ không có điểm chung trong, thì diện tích đa giác được chia bằng tổng diện tích các đa giác chia. A K H C B D Bài 34. Cho tam giác ABC và điểm M ở trong hoặc ở trên một cạnh của tam giác, sao cho SMBC = SMAB + SMAC. Chứng minh rằng M di động trên một đoạn thẳng cố định. Sử dụng tính chất diện tích và tính chất hai tam giác có cùng cạnh đáy, thì tỉ số hai diện tích băng tỉ số hai chiều cao A M F E B H C Bài 35. Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó. Lấy điểm A cố định trên tia Ox, điểm B cố định trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot. Tia Ot cắt AB tại M. Chứng minh rằng SAOC = SBOC khi và chỉ khi M là trung điểm của AB Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh phần thuận. “Nếu M là trung điểm của AB thì SAOM = SBOM.” Sử dụng tính chất diện tích để chứng minh phần đảo lại : “Nếu SAOM = SBOM thì MA = MB.”
18. y B C M O A x Bài 36. Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và E. Tính SADOE ? A HD: E D Để tính diện tích đối với bài tập này học sinh phải. nhận thấy S ABC đã biết nên ta cần N O tìm mối quan hệ về SADOE với SABC. Lại có H và O là những điểm đặc biệt trên các đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm được mối quan B H C hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của DC. Bài 37. Cho hbh ABCD có diện tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt BD ở Q. Tính diện tích MQDC ? C D M E N Q B A HD: 1 Hs cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD = . 2 Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ . Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ của SBMQ với SBCD . Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí đặc biệt không bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của 1 Bài 38. Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM = BC. Trên cạnh 5 1 CD lấy N sao cho CN = CD. 3
19. a) Tính SAMN theo SABCD. b) BD cắt AM ở P, BD cắt AN ở Q. Tính SMNQP theo SABCD. HD: A P B Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận ra phải M sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có Q điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng K diện tích của các đa giác đó ( tính cộng). H D N C Bài 39. Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5. Vẽ các đường phân giác AD, BE, CF. Tính diện tích tam giác DEF. HD:- Để tính được diện tích của DEF thì ta A phải đi tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC Học sinh dễ dàng tính được S ABC, SAEF vì đó F E là hai tam giác vuông. - Để tính được SBFD, SDFC thì cần phải kẻ thêm đường cao. Căn cứ thêm vào giả thiết : có phân giác của các góc nên từ đó suy ra kẻ đường cao FH và EK B H D C K FH = FA; EK = EA. Bài 40. Cho hình thang ABCD. Biết độ dài hai đường chéo là 3 và 5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 2. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 41. Cho hình thang ABCD, BC // AD. Các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: SOAB = SOCD . HD: - Ta nhận thấy OAB và OCD không chung đường cao và cũng không chung cạnh. - BAD và CAD là hai tam giác có chiều cao bằng nhau và chung đáy AD SBAD = SCAD đpcm
20. Bài 42. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD. 1 Chứng minh rằng: SMNP = SABCD. 4 HD: Ta có M, N, P là trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD. Nếu ta lấy thêm Q là trung điểm của AD => MNPQ là hình bình hành.Do đó 1 SMNP = SMNPQ. 2 Ta nhận thấy SMNPQ có mối liên hệ với SABCD. Vì vậy => đpcm Bài 43. Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy M, N, P lần lượt thuộc AB, BC, CD sao cho AM : MB = 1:2 ; BN : NC = 2:3 ; CP : PD = 3:4. Nối CM, DN chúng cắt nhau tại điểm E. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AP tại F. Đường thẳng BF cắt AD tại Q. a) Tính DQ : QA ? b) Tính SPEQ theo SABCD ? Bài 44. Cho tứ giác ABCD. M và N là trung điểm của AB, CD. AN cắt DM tại P, B CM cắt BN tại Q. M A Chứng minh: SMPNQ = SADP + SBCQ. P Q D H I N K C