Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống bài tập giới hạn

Nội dung tóm tắt: Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống bài tập giới hạn

1. e) 1 lim n 2 3 Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 10. Tìm giới hạn các dãy số sau. 2 2 3n + 2n + 5 n + 1 + 4n 2 a) lim b) lim c) lim n + 2n + 3 - n 7n 2 + n - 8 3n - 2 1 1 2n n3 d) lim 2 e) lim n f) lim 2 n 1 1 2 n 1 Giải 2 5 n 2 3 + + 2 5 2 2 3 + + 3n + 2n + 5 n n n n 2 3 a) lim = lim = lim = . 7n 2 + n - 8 1 8 1 8 7 2 7 + - n 7 + - 2 n n 2 n n 1 n 1+ + 4 1 2 2 1+ + 4 n +1 + 4n n n2 1+ 4 5 b) lim = lim = lim = = . 3n - 2 2 2 3 3 n 3 - 3 - n n n2 + 2n + 3 - n n2 + 2n + 3 + n c) lim n2 + 2n + 3 - n = lim . 2 n + 2n + 3 + n 3 n 2 + n2 + 2n + 3 - n2 2n + 3 n = lim lim = lim n2 + 2n + 3 + n n2 + 2n + 3 + n 2 3 n 1+ + +1 2 n n 3 2 + 2 = lim n = = 1 2 3 1 + 1 1 + + + 1 n n 2 2 1 1 n 2 2 1 n n d) lim 2 lim lim 0 . n 1 2 1 1 n 1 2 1 2 n n 10
2. n 1 n 1 1 2 2 e) lim n lim n 1 1 2 1 1 2 n3 1 f) lim lim 2 1 1 n 1 n n3 Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính các giới hạn sau: 3n2 +5n+4 6 +3n - n2 2n3 - 4n2 +3n+7 1)lim 2 ; 2)lim 2 ; 3)lim 3 ; 2 - n 3n +5 n -7n+5 Bài 2n5 -6n+9 2n3 1- 5n2 n3 3n2 4)lim 5 ; 5)lim 2 + ; 6)lim 2 - ; 1- 3n 2n +3 5n+1 n +1 3n+1 2. Tính các giới hạn: 3n2 +1 - n2 -1 2n2 +1 - n2 +1 1)lim n2 +n - n ; 2)lim ; 3)lim ; n n+1 4)lim n2 +1 - n2 -1 ; 5)lim( n2 +n - n2 +1 ); 6)lim n-1( n+2 - n ); PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ: I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa giới hạn của hàm số: 1.1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm: Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập (a;b) \ {x0}. Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới x 0(hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập (a;b) \ {x0} mà lim xn x0 ta đều có lim f (xn) L . Ta viết: lim f (x) L hoặc f (x) L khi x x0 x x0 1.2. Định nghĩa giới hạn vô cực: Được định nghĩa tương tự như trên. 1.3. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực: Gỉả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; ) . Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi x dần rới + nếu với mọi dãy số (xn) trong (a; ) mà lim xn , ta đều có: lim f (xn) L . Ta viết: lim f (x) L x 11
3. Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự. 1.4. Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0;b) (x0 R) . Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần tới x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn ) trong (x0;b) mà lim xn x0 , ta đều có lim f (x ) L . Ta viết: lim f (x) L n x x0 Giới hạn bên trái. (tương tự) Ta viết: lim f (x) L x x0 Nhận xét: lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L x x 0 x x0 x x0 2. Một số hàm số có giới hạn đặc biệt: Với x0 R , ta có: a) lim c c (c: hằng số) b) lim x x0 x x0 x x0 Với mọi số nguyên dương k ta có: k k neáu k chaün 1 1 l im x ; lim x lim 0 lim 0 x x neáu k leû x xk x xk 3. Một số định lí về giới hạn 3.1. Một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1: Giả sử lim f (x) L lim g(x) M (L, M R). x x0 x x0 a) lim f (x) g(x) L M x x0 b) lim f (x) g(x) L M x x0 c) lim f (x)g(x) LM Đặc biệt, lim cf (x) cL x x0 x x0 f (x) L d) lim (M 0 ) x x0 g(x) M Định lí 2: Giả sử lim f (x) L x x0 a) lim f (x) L x x0 b) lim 3 f (x) 3 L x x0 c) Nếu f (x) 0,x J \ {x0} , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 , thì L 0 và lim f (x) L x x0 12
4. 3.2. Một số định lí về giới hạn vô cực 1 Định lí: Nếu lim f (x) thì lim 0 x x0 x x0 f (x) Qui tắc 1: Nếu lim f (x) và lim g(x) L thì: x x0 x x0 lim f (x) L lim f (x)g(x) x x0 x x0 + + + + – – – + – – – + Qui tắc 2: Nếu lim f (x) L 0 lim g(x) 0 và g(x) 0 hoặc g(x) 0 với x x0 x x0 x J \ {x0}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì: f (x) L g(x) lim x x0 g(x) + + + + – – – + – – – + II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: 1. Giới hạn của hàm số dạng: f x 0 lim x a g x 0 13
5. Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số. Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. Sau đó rút gọn tử, mẩu f x 2. Giới hạn của hàm số dạng: lim x g x Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất của x. Chú ý: Nếu x thì coi như x>0, nếu x thì coi như x 0 với mọi n suy ra (xn 1) limf(xn)= + 3 Vậy lim x 1 x 1 2 1 d) Xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn) , xn 0 với mọi n và limxn=- , x 14
6. 1 ta có limf(xn)=0. Vậy lim 0 x x Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính chất dãy số Bài 2. Xác định giới hạn của các dãy số sau? a) lim 4 b) lim x c) lim x 4 d) lim x 5 x 3 x 3 x x 1 1 e) lim x 4 c) lim x 5 d) lim e) lim x x x x 3 x x 5 Giải a) lim 4 4 b) lim x 3 c) lim x 4 d) lim x 5 x 3 x 3 x x 1 1 e) lim x 4 f) lim x 5 g) lim 0 h) lim 0 x x x x 3 x x 5 Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài hàm số có giới hạn đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ hàm số có giới hạn đặc biệt Bài 3. Tìm giới hạn các hàm số sau. x2 3 a) lim b) lim x3 x c) lim x 2 3x 4 x 1 x 1 x x 2 Giải x2 3 12 3 a) lim 2 x 1 x 1 1 1 b) lim x3 x x c) lim x 2 3x 4 2 2 3.2 4 0 x 2 Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau. x2 - 3x+2 x+1 - 2 3x-1 2x x 3 a) b) c) lim d) lim lim lim 2 x 2 x - 2 x 3 3x - 3 x 2x 1 x x x 1 3x2 -1 x e) lim f) lim x3 2x2 1 g) lim x+1- x h) lim x-2 + 2 x 2x 1 x x + x 2 x -4 Giải 15
7. 0 a) dạng 0 x2 - 3x+2 x - 2 x -1 lim =lim =lim x -1 = 2-1=1.Chia tử và mẫu cho (x-2). x 2 x - 2 x 2 x - 2 x 2 0 b) dạng 0 x+1 - 2 x+1 - 2 x+1 + 2 3x +3 x+1- 4 3x +3 1 lim = lim = lim x 3 3x - 3 x 3 3x - 3 x+1 + 2 3x +3 x 3 3x - 32 x+1 + 2 2 c) dạng 1 1 x 3 3 3x-1 x x 3 lim lim lim x 2x 1 x 1 x 1 2 x 2 2 x x d) dạng 2 x 3 1 3 x2 2 2x x 3 x x2 x x2 lim lim lim 0 x 2 x x x x 1 2 1 1 1 1 x 1 2 1 2 x x x x e) dạng 2 1 1 2 x 3 3 3x -1 x x lim lim lim 0 x x x 2x 1 2 2 1 2 1 x 2 2 x x x x f) dạng 3 2 3 2 1 lim x 2x 1 lim x (1 3 ) x x x x g) dạng 1 lim x+1- x lim 0 x + x x 1 x h) dạng 0. x x(x 2)2 x(x 2) lim x-2 2 lim 2 lim 0 x 2+ x -4 x 2 x 4 x 2 x 2 16
8. Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn Bài 1: (Tính trực tiếp) a. lim(x2 +2x+1) b. lim(x+2 x +1) c. lim 3 - 4x 2 x -1 x 1 x 3 x+1 x2 + x+1 d. lim ; e. lim x 1 2x -1 x -1 2x5 +3 Bài 2: (Tính giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số) 0 x2 - 1 x - 3 x2 - 3x + 2 a)lim ; b)lim ; c )lim ; x 1 x - 1 x 3 x2 + 2x - 15 x 2 x - 2 2 x4 - 1 x2 - x 8x3 - 1 d)lim ; e)lim ; f )lim ; x 1 2 x 1 1 2 x + 2x - 3 x - 1 x 6x - 5x +1 2 Bài 3: (Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai) 0 x + 4 - 2 x + 3 - 2 2 - x - 2 a)lim ; b)lim ; c)lim ; x 0 x x 1 x - 1 x 7 x2 - 49 x - 2x - 1 x - 2 - 2 x2 + 5 - 3 d)lim ; e)lim ; f) lim ; x 1 x2 - 12x +11 x 6 x - 6 x 2 x - 2 Bài 4: (Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và 0 bậc cao) 3 4x - 2 3 1- x - 1 3 2x - 1 - 1 a)lim ; b )lim ; c )lim ; x 2 x - 2 x 0 x x 1 x - 1 3 x - 1 3 2x - 1 - 3 x 3 2 - x - 1 d)lim ; e )lim ; f )lim x 1 3 x - 2 +1 x 1 x - 1 x 1 x - 1 Bài 5: (Tính giới hạn dạng của hàm số ) -6x5 +7x3 -4x+3 x+ x2 +1 x+ x2 +x a) lim 5 4 2 ; b) lim ; c) lim ; x + 8x -5x +2x -1 x + 2x+ x+1 x 3x- x2 +1 4x-1 2x2 +x-1 5x+3 1- x d) lim ; e) lim ; f ) lim ; x 4x2 +3 x x x2 -1 x 1- x Bài 6: (Tính giới hạn dạng của hàm số) 17
9. a) lim x+1 - x ; b) lim x2 + x+1 - x ; c) lim x3 - 2x -1 ; x + x + x d) lim 2x2 +1+ x ; e) lim x4 2x2 3 ; f ) lim x 4x2 +9 +2x ; x x x Bài 7: (Giới hạn một bên) x + 2 x 4 - x2 x2 -7x +12 a) lim ; b) lim ; c) lim ; x 0+ x - x x 2- 2 - x x 3- 9 - x2 x2 + 3x + 2 3x +6 3x +6 b) lim ; e) lim ; f) lim ; x -1 + x5 + x4 x -2 + x + 2 x -2 - x + 2 Bài 8: (Tính giới hạn dạng 0. của hàm số) x 3 x x-1 a) lim x- 2 2 ; b) lim x +1 2 ; c) lim x+2 3 ; x 2+ x -4 x -1 + x -1 x + x +x 2x+1 3x+1 2x3 +x d) lim x+1 ; e) lim 1- 2x ; f) lim x . x - x3 +x+2 x + x3 +1 x - x5 - x2 +3 x3 khi x<-1 Bài 9: Cho hàm số f x . 2 2x 3 khi x 1 Tìm lim f x , lim f x vµ limf x (nếu có). x 1 x 1 x 1 9 x2 khi -3 x<3 Bài 10: Cho hàm số f x 1 khi x 3 . 2 x 9 khi x 3 Tìm lim f x , lim f x vµ limf x (nếu có). x 3 x 3 x 3 PHẦN III: HÀM SỐ LIÊN TỤC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Hàm số liên tục 1.1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên (a;b) và x0 (a;b) . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: lim f (x) f (x0 ) x x0 Hàm số không liên tục tại x0 đgl gián đoạn tại x0 . 1.2. Định nghĩa: a) Gỉa sử hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J. b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn nếu[a;b] nó liên tục trên khoảng (a;b) và:lim f (x) f (a) , lim f (x) f (b) x a x b 18
10. Chú ý: Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [a;b) , (a;b] , [a; ) , ( ;b] cũng được định nghĩa tương tự. 2. Tính chất của hàm số liên tục Định lí: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] . Nếu f (a) f (b) thì với số M nằm giữa f (a), f (b) , tồn tại ít nhất điểm c (a;b) sao cho f (c) M Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và M nằm giữa f (a), f (b) thì đường thẳng y M cắt đồ thị của hàm số y f (x) ít nhất tại 1 điểm có hoành độ c (a;b). Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên [a;b ]và f (a).f (b) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f (c) 0 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và f (a).f (b) 0 thì đồ thị hàm số y f (x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c (a;b) . II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1. Hàm số liên tục tại điểm: Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau: - Tính f(x0) - Tính (l imtrongf (x )nhiều trường hợp ta cần tính ,) lim f (x) lim f (x) x x 0 x x0 x x0 - So sánh lim f (x)vôùi f x0 x x0 - Rút ra kết luận 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) trên một khoảng ta thực hiện như sau: * Xét x x0 (hayx x0 ,x x0 ) * Xét tại x x0 - Tính f(x0) - Tính (l imtrongf (x )nhiều trường hợp ta cần tính ,) lim f (x) lim f (x) x x 0 x x0 x x0 - So sánh lim f (x)vôùi f x0 x x0 - Rút ra kết luận * Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không 3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm: 19
11. Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau : - Đặt y = f(x) hàm số liên tục trên (a;b) - Tính f(a), f(b) f(a). f(b)<0 - Kết luận về sự có nghiệm của phương trình III. CÁC VÍ DỤ: Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x0=1 : 2x 1 x2 x 2 , khi x 1 , khi x 1 a. f (x) x b. f (x) x-1 1, khi x 1 3, khi x 1 Bài giải. a. Ta có f(1)=1. 2x 1 2.1 1 Limf(x) Lim 1 x 1 x 1 x 1 Do đó Limf(x) f (1) 1 . x 1 Vậy f(x) liên tục tại x0=1 b. Ta có f(1)=3. x2 x 2 Limf(x) Lim 3 x 1 x 1 x 1 Do đó Limf(x) f (1) 3 . x 1 Vậy f(x) liên tục tại x0=1 x2 2x , khi x 0 Bài 2. Cho hàm số f (x) x . 2a 1 , khi x 0 Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0. Bài giải. Ta có f(0)=2a+1 x2 2x Limf(x) Lim Lim x 2 2. x 0 x 0 x x 0 Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi 20
12. 3 Limf(x) f (0) 2a 1 2 a x 0 2 x2 16 , khi x 4 Bài 3. Cho hàm số f (x) x 4 . 2a 1 , khi x 4 Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4. Bài giải. Ta có f(4)=2a+1 x2 16 x 4 x 4 Lim f (x) Lim Lim Lim x 4 4 4 8 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi 7 Limf(x) f (4) 2a 1 8 a x 4 2 x2 x 2 , khi x 1 Bài 4. Cho hàm số f (x) x 1 . a 1 , khi x 1 Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1. Bài giải. Ta có f(1)=a+1 x2 x 2 x 1 x 2 Lim f (x) Lim Lim Lim x 2 1 2 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi Lim f(x) f ( 1) a 1 3 a 4 x -1 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra: 2 3 x 3x 2 3 x 1 víi x 2 a)f x x x 3 vµ g x 2 t¹i ®iÓm x0 R b)f x x 2 t¹i ®iÓm x0=2; x 1 1 víi x=2 x3 1 1 víi x 1 víi x 0 c)f x x 1 t¹i ®iÓm x0=1; d)f x x t¹i ®iÓm x0=0; 2 víi x=1 0 víi x=1 21
13. 1 1 x víi x 0 x e)f x | x | t¹i ®iÓm x=0; f)f x t¹i ®iÓm x0 =0; 1 víi x=0 2 x2 1 víi x 1 x2 4 víi x -2 g)f x 1 t¹i ®iÓm x0 =-1; h)f x x 2 t¹i ®iÓm x0 =-2. víi x=-1 2 4 víi x=-2 x2 1víi x 1 x2 4víi x 2 i)f x t¹i ®iÓm x0 =1; k)f x t¹i ®iÓm x0 =2; Bài x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2 2 x víi x -2 2: xét tính liên tục của hàm số tại x0=1 x a víi x=1 x3 x2 2x 2 víi x 1 a)f x x2 1 ; b)f x x 1 . víi x 1 x 1 3x a víi x=1 Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3 a víi x=0 2 x x 6 2 f x 2 víi x 3x 0 . x 3x b víi x=3 Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0 x a khi x 0 x 2a khi x 0 a)f x ; b)f x . 2 2 x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0 x2 3x 2 khi x 1 Bài 5: Cho hàm số f x x 1 . a khi x 1 a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1; b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1; c) Tìm a để hàm số liển tục trên R. Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó 2 2 x2 x khi x 1 x2 víi x 2 x2 3x 2 víi x<2 x2 víi 0 x 1 2x a víi 0 x<1 d)f x 2 ; e)f x ; f)f x . x 2x 2 2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2 mx+m+1 víi x 2 22
14. 2 2x 1 2x 2 khi x > 1 x 1 Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R. x mx2 khi x 1 2 Phần IV: Kết luận: Giới hạn là một nội dung quan trọng trong chương trình đại số lớp 11 không những thế giới hạn chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nhưng đối với học sinh thì đây lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần mà nhiều thầy cô giáo quan tâm. Theo như tôi nhận thấy đối với các bài toán có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng dạy giáo viên cần: - Nhắc lại các công thức đã học. - Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt. - Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài toán Trên đây là một vài ngiên cứu của tôi trong việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”. Tôi đã nghiên cứu và áp dụng vào thực tế giảng dạy ở lớp 11a 1, 11a2 , 11a3 tại trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương. Trước khi áp dụng ngiên cứu tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra kết quả như sau: Sĩ Điểm dưới 5 Điểm 5 đến 6 Điểm 7 đến 8 Điểm 9 đến 10 Lớp số SL % SL % SL % SL % 11a1 38 18 47,4 14 36,8 6 15,8 0 0 11a2 40 23 57,5 12 30 5 12,5 0 0 11a3 39 20 51,3 14 35,9 5 12,8 0 0 Sau khi áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” vào giảng tôi tiếp tục kiểm tra được kết quả như sau: Sĩ Điểm dưới 5 Điểm 5 đến 6 Điểm 7 đến 8 Điểm 9 đến 10 Lớp số SL % SL % SL % SL % 11a1 38 10 26,3 17 44,7 10 26,3 1 2,7 11a2 40 12 30 19 47,5 9 22,5 0 0 11a3 39 10 25,6 18 46,2 11 28,2 0 0 23
15. Kết quả trên cho thấy tác động của việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”. vào nội dung bài học đã giúp các em học sinh tiếp thu nhanh chóng và hiểu sâu hơn về giới hạn. Nâng cao trình độ tư duy toán học, gây niềm say mê học toán. Từ đó tránh được một số sai lầm do không nhận diện được dạng bài tập. Điều đó cho thấy người thầy cần phải có tư duy tìm tòi các biện pháp phù hợp với đối tượng học sinh, giúp học sinh tiếp cận kiến thức mới dễ dàng hơn. Đây chính là động lực để tôi tiếp tục tìm tòi các biện pháp cũng như sáng tạo hơn nữa để có thể làm bài dạy sinh động hơn, dễ hiểu hơn giúp cho học sinh hiểu và nắm bắt bài học một cách dễ dàng hơn, sâu hơn. Đề tài SKKN này chỉ đề cập đến khía cạnh tổng hợp các dạng bài tập về giới hạn nhằm giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức về giới hạn từ đó làm tốt bài tập. Hy vọng rằng qua đề tài SKKN này sẽ giúp ích cho nhiều học sinh trong việc học tập về nội dung chương IV: Giới hạn, hiểu sâu và làm nền cho việc nghiên cứu sang các lĩnh vực khác. Trong quá trình trình bày không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn. Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” giúp học sinh đạt kết quả tốt hơn trong việc tiếp thu kiến thức về giới hạn. Cách làm này có thể áp dụng cho tất cả các lớp học sinh trong trường THPT, GDTX . 8. Những thông tin cần được bảo mật Không có 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Điều kiện cơ sở vật chất trường học bình thường cũng có thể áp dụng phương pháp này. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Học sinh có hứng thú học hơn, tích cực làm bài tập hơn. 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 24
16. Số Tên tổ Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực TT chức/cá nhân áp dụng sáng kiến 1 Lớp 11a1 Trung tâm GDNN –GDTX Giáo dục Tam Dương 2 Lớp 11a2 Trung tâm GDNN –GDTX Giáo dục Tam Dương 3 Lớp 11a3 Trung tâm GDNN –GDTX Giáo dục Tam Dương Tam Dương, ngày tháng năm. 2019. Tam Dương, ngày 12 tháng 4năm.2020. Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương Lê Thị Minh Lý 25